Kontinuitet av funksjoner med delt forskrift
Funksjonene \(f\) og \(g\) er gitt ved
\[f(x) = \begin{cases} x^2 + 2\text{,} \quad & x < 0 \\ 2e^x\text{,} & x \ge 0 \end{cases}
\]
og
\[g(x) = \begin{cases} x^2 + 2\text{,} \quad & x < 0 \\ 1\text{,} & x = 0 \\ 2e^x\text{,} & x > 0 \end{cases}
\]
Oppgave
- Avgjør om \(f\) er kontinuerlig i \(x = 0\).
- Avgjør om \(g\) er kontinuerlig i \(x = 0\).
Fasit
a) \(f\) er kontinuerlig i \(x = 0\).
b) \(g\) er ikke kontinuerlig i \(x = 0\).
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
En funksjon \(h\) er kontinuerlig i \(x = a\) hvis og bare hvis
\[\lim_{x \to a^-} h(x) = \lim_{x \to a^+} h(x) = h(a)
\]
Vi undersøker dette kravet i \(x = 0\) for begge funksjoner.
a
Vi beregner venstregrenseverdi, funksjonsverdi og høyregrenseverdi for \(f\):
\[\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x^2 + 2) = 0^2 + 2 = 2
\]
\[f(0) = 2e^0 = 2 \cdot 1 = 2
\]
(siden \(x \ge 0\) gjelder for \(x = 0\))
\[\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} 2e^x = 2e^0 = 2
\]
Alle tre er like: \(\lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = 2\).
\(f\) er kontinuerlig i \(x = 0\).
b
Vi beregner venstregrenseverdi, funksjonsverdi og høyregrenseverdi for \(g\):
\[\lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^-} (x^2 + 2) = 2
\]
\[g(0) = 1
\]
(spesifisert direkte i definisjonen)
\[\lim_{x \to 0^+} g(x) = \lim_{x \to 0^+} 2e^x = 2
\]
Grenseverdiene fra venstre og høyre er begge \(2\), men \(g(0) = 1 \ne 2\).
Kontinuitetskravet er ikke oppfylt.
\(g\) er ikke kontinuerlig i \(x = 0\).