Modell for reduksjon av utslipp Modell for reduksjon av utslipp
Ledelsen ved en bedrift ønsker å redusere utslippet av miljøskadelige stoffer de neste årene. I dag har bedriften to produksjonsprosesser:
- Den ene slipper ut \(5000\text{~tonn}\) per år
- Den andre slipper ut \(1000\text{~tonn}\) per år.
Ledelsen mener funksjonen
er en god modell for utslippet \(U(x)\) tonn per år etter \(x\) år.
- Forklar hva modellen forteller om ledelsens plan for å redusere utslippet.
- Hvor lang tid vil det gå før bedriften har halvert det årlige utslippet ifølge modellen?
- Hvor mange prosent er det årlige utslippet redusert med etter \(10\) år ifølge modellen?
- Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene \((0,U(0))\) og \((30,U(30))\). Gi en praktisk tolkning av svaret.
Myndighetene har krevd at utslippet skal reduseres til \(800\text{ tonn}\) per år.
Vurder om det ifølge modellen \(U\) er mulig å oppfylle dette kravet.
a) Den ene prosessen reduseres med \(5\%\) per år, den andre holdes konstant på \(1000\text{ tonn}\).
b) \(18\) år.
c) \(33{,}4\%\) reduksjon.
d) Stigningstallet ≈\(-131\), som betyr en gjennomsnittlig årlig nedgang på \(131\text{ tonn}\) de første 30 årene.
e) Nei, modellen har alltid \(U(x)>1000\) og vil aldri nå \(800\)).
a
\(U(x)\) består av to ledd: \(\textcolor{maroon}{5000 \cdot 0{,}95^{x}}\) og \(\textcolor{seagreen}{1000}\).
- \(\textcolor{maroon}{5000 \cdot 0{,}95^{x}}\) er en eksponentialfunksjon som synker med 5 % for hvert år. Dette viser at prosessen som i dag slipper ut 5000 tonn per år kommer til å reduseres med 5 %.
- \(\textcolor{seagreen}{1000}\) er en konstant funksjon, denne verdiene endrer seg altså ikke i framtiden. Dette viser at prosessen som i dag slipper ut 1000 tonn per år kommer til å fortsette på samme måte i framtiden.
Ledelsen ønsker å minke utslippet fra den ene prosessen med 5 % per år, og ikke gjøre noe med den andre prosessen.
b
Til de neste oppgavene har jeg brukt GeoGebra til å regne ut svarene, se figur 1.
For å finne antall år før utslippene blir halvert har jeg lagt ut linja \(y=\frac{6000}{2}\) og funnet skjæringen med \(U\), se punkt \(A\).
Utslippene vil være halvert til 3000 tonn per år etter 18 år.
c
For å finne utslippet etter 10 år har jeg lagt ut linja \(x=10\) og funnet skjæringen med \(U\), se punkt \(B\). Utslippene er 3993,7 tonn etter 10 år.
Jeg har beregnet den prosentvise endringen i algebrafeltet, se linjen merket c) ProsEndring.
Utslippene har minket med 33,4 % etter 10 år.
d
Jeg la ut punktene \(C(0,U(0))\) og \(D(30,U(30))\) i GeoGebra og trakk en linje mellom dem. Etter å ha ordnet uttrykket for linja ser jeg at stigningstallet til linja er \(-130{,}9\).
Stigningstallet til linja er omtrent -131, dette betyr at utslippene i gjennomsnitt minker med 131 tonn per år hvert år i løpet av de 30 første årene.
e
Jeg sjekket dette ved å lete etter skjæringen i mellom \(y=800\) og \(U(x)\) i GeoGebra. Da fikk jeg svaret Udefinert siden disse funksjonene ikke skjærer hverandre. Dette kunne jeg også sett fra funksjonsuttrykket med leddet \(+1000\), som gjør at \(U(x)\) alltid vil være større enn 1000.
Det er ikke mulig å komme ned til 800 tonn per år med dagens modell.