Trigonometrisk funksjon og likning
En funksjon \(f\) er gitt ved
\[f(x) = 2\sqrt{3} \cdot \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) \quad , \quad D_f = \left\langle 0, \frac{\pi}{2} \right\rangle \]
Oppgave
- Bestem amplituden, likevektslinja, perioden og faseforskyvningen.
- Løs likningen \(f(x) = \sqrt{3}\)
En funksjon \(g\) er gitt ved
\[g(x) = 3\sin(2x) + \sqrt{3}\cos(2x) \quad , \quad D_g = \langle 0, 2\pi \rangle \]
Oppgave
- Løs likningen \(g(x) = \sqrt{3}\)
Fasit
a) Amplitude \(2\sqrt{ 3 }\), likevektslinje \(y=0\), periode \(\pi\), faseforskyvning \(\frac{\pi}{12}\) mot venstre.
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
a
Vi sammenligner med det generelle uttrykket for sinusfunksjoner
\[\textcolor{seagreen}{A} \sin(\textcolor{steelblue}{k}x + \textcolor{tomato}{\phi})+\textcolor{maroon}{d} \]
Vi ser fra funksjonsuttrykket til \(g\) at
\[\textcolor{seagreen}{A=2\sqrt{ 3 }}, \quad \textcolor{steelblue}{k=2}, \quad \textcolor{tomato}{\phi=\frac{\pi}{6}}, \quad \textcolor{maroon}{d=0} \]
Når \(k=2\) så har sinusfunksjonen dobbelt så «tette» svingninger og perioden blir derfor \(T=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{2}=\pi\). Da blir også faseforskyvningen \(\frac{\phi}{2}=\frac{\pi}{12}\).
Amplituden er \(2\sqrt{ 3 }\), likevektslinja er \(y=0\), perioden er \(\pi\) og faseforskyvningen er \(\frac{\pi}{12}\) mot venstre.
b
\[\begin{aligned} 2\sqrt{3} \cdot \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)&=\sqrt{ 3 } \\ 2 \cdot \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)&=1 \\ \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)&=\frac{1}{2} \end{aligned} \]