- deloppgave: c
poeng: 1
Trekantareal og sin 45 grader
Oppgave
- Bruk trekanten ovenfor til å vise at \(\sin 45\degree = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
Gitt en trekant \(ABC\) der \(AB = 3\sqrt{2}\), \(AC = 8\) og \(\angle A = 45\degree\).
Oppgave
- Bestem arealet av trekanten.
Gitt en trekant \(PQR\) der \(PQ = 3\sqrt{2}\), \(PR = 8\) og \(\angle P = 140\degree\).
Oppgave
- Hvilken av trekantene \(ABC\) og \(PQR\) har størst areal? Husk å argumentere for svaret ditt.
Fasit
a) Vis ved hjelp av trekanten
b) \(T = 12\)
c) Trekant \(ABC\)
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
a
Trekanten er rettvinklet og likebeint med kateter \(= 1\) og hypotenus \(= \sqrt{2}\).
\[\sin 45\degree = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenuse}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \qquad \square
\]
b
\[T = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 8 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \underline{\underline{12}}
\]
c
\[T_{PQR} = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 8 \cdot \sin 140\degree
\]
\(\sin 140\degree = \sin 40\degree \approx 0{,}643 < \sin 45\degree \approx 0{,}707\)
Siden sidene er like men \(\sin 45\degree > \sin 140\degree\), har trekant \(ABC\) størst areal.
Sensorveiledning · 5 poeng
a) (2 poeng) En riktig definisjon av sinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant gir 1 poeng.
b) (2 poeng) En kandidat som setter opp et riktig uttrykk, men ikke kommer fram til riktig areal, får 1 poeng.