Trigonometri med arealsetning og cosinus

a) \(\sin 30\degree = \cos 60\degree = \dfrac{1}{2}\) (vist ved halvering av likesidet trekant)
b) Areal \(= \underline{\underline{15}}\)
c) \(\underline{\underline{QR = 7}}\)

a

Vi halverer den likesidede trekanten med et loddrett snitt fra ett hjørne ned til midtpunktet på den motsatte siden.

Dette gir en rettvinklet trekant med:

• hypotenus \(= 2\)
• kort katet \(= 1\) (halvparten av bunnsiden)
• lang katet \(= \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}\)

Vinklene i den rettvinklede trekanten er \(30\degree\), \(60\degree\) og \(90\degree\).

Fra definisjonen av sinus og cosinus:

Dermed er \(\sin 30\degree = \cos 60\degree = \dfrac{1}{2}\).

b

Vi bruker arealsetningen:

c

Vi bruker cosinussetningen:

a) (2 poeng) En kandidat som setter opp riktige uttrykk for sinus og cosinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant, kan få 1 poeng. For å få full uttelling, må det gå tydelig fram hvordan den likesidede trekanten er brukt.
b) (2 poeng) En kandidat som setter opp et riktig uttrykk, men ikke regner ut arealet, kan få 1 poeng.
c) (2 poeng) En kandidat som setter opp et riktig uttrykk, men ikke regner ut lengden av \(QR\), kan få 1 poeng.