Trigonometri med arealsetning og cosinus
Oppgave
- Bruk den likesidede trekanten ovenfor til å vise at \(\sin 30\degree = \cos 60\degree = \dfrac{1}{2}\)
Gitt en trekant \(ABC\) der \(AB = 10\), \(AC = 6\) og \(\angle A = 30\degree\)
Oppgave
- Bestem arealet av trekanten.
Gitt en trekant \(PQR\) der \(PQ = 8\), \(PR = 3\) og \(\angle P = 60\degree\)
Oppgave
- Bestem lengden av siden \(QR\).
Fasit
a) \(\sin 30\degree = \cos 60\degree = \dfrac{1}{2}\) (vist ved halvering av likesidet trekant)
b) Areal \(= \underline{\underline{15}}\)
c) \(\underline{\underline{QR = 7}}\)
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
a
Vi halverer den likesidede trekanten med et loddrett snitt fra ett hjørne ned til midtpunktet på den motsatte siden.
Dette gir en rettvinklet trekant med:
- hypotenus \(= 2\)
- kort katet \(= 1\) (halvparten av bunnsiden)
- lang katet \(= \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}\)
Vinklene i den rettvinklede trekanten er \(30\degree\), \(60\degree\) og \(90\degree\).
Fra definisjonen av sinus og cosinus:
\[\sin 30\degree = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}} = \frac{1}{2} \]
\[\cos 60\degree = \frac{\text{hosliggende katet}}{\text{hypotenus}} = \frac{1}{2} \]
Dermed er \(\sin 30\degree = \cos 60\degree = \dfrac{1}{2}\).
b
Vi bruker arealsetningen:
\[T = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A \]
\[T = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 \cdot \sin 30\degree = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = \underline{\underline{15}} \]
c
Vi bruker cosinussetningen:
\[QR^2 = PQ^2 + PR^2 - 2 \cdot PQ \cdot PR \cdot \cos P \]
\[QR^2 = 8^2 + 3^2 - 2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot \cos 60\degree \]
\[QR^2 = 64 + 9 - 48 \cdot \frac{1}{2} = 73 - 24 = 49 \]
\[QR = \sqrt{49} = \underline{\underline{7}} \]