Ikke kvalitetssikret

Denne oppgaven er lest inn med KI og er ikke kontrollert enda. Det kan forekomme feil.

Oppgaven er hentet fra eksamen 1T H24 del 2 oppgave 6.

Areal av firkant ABCD med trigonometri

Klassen til Isabel og Anniken skal vise at de kan bruke trigonometri for å bestemme arealet av figuren nedenfor.

Firkant med og

Læreren har delt klassen i grupper og gitt hver gruppe noen opplysninger i tillegg til informasjonen som kan leses ut fra figuren.

Gruppen til Isabel har fått vite at \(AD = 6{,}0\), \(BC = 10{,}0\) og at diagonalen \(AC = 16{,}4\).

Oppgave

Vis hvordan gruppen til Isabel kan bestemme arealet ved å bruke opplysningene de har tilgang til. Husk å gjøre rede for hvilke trigonometriske sammenhenger du bruker.

Gruppen til Anniken har fått vite at \(\angle A = 62{,}5\degree\), \(\angle C = 38{,}3\degree\), \(\angle ABD = 45{,}5\degree\) og \(\angle CBD = 85{,}5\degree\).

Oppgave

Vis hvordan gruppen til Anniken kan bestemme arealet ved å bruke opplysningene de har tilgang til. Husk å gjøre rede for hvilke trigonometriske sammenhenger du bruker.

Fasit

a) \(\underline{\underline{\text{Areal} \approx 58{,}5 \, \mathrm{m}^2}}\)

b) \(\underline{\underline{\text{Areal} \approx 58{,}5 \, \mathrm{m}^2}}\)

Løsningsforslag

Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.

Utregningene er gjort i GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS-utregning for begge deloppgavene

a

Vi deler firkanten \(ABCD\) i to trekanter ved å trekke diagonalen \(AC\).

Trekant \(ABC\) — finn \(\angle B\) med cosinussetningen:

Vi kjenner alle tre sidene \(AB = 8{,}0\), \(BC = 10{,}0\) og \(AC = 16{,}4\), og bruker cosinussetningen til å finne \(\angle ABC\):

\[\cos(\angle B) = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{64 + 100 - 268{,}96}{160} \approx -0{,}656 \]

\[\angle B \approx 131{,}0\degree \]

Areal av \(\triangle ABC\) med arealsetningen:

\[T_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle B) = \frac{1}{2} \cdot 8{,}0 \cdot 10{,}0 \cdot \sin(131{,}0\degree) \approx 30{,}2 \]

Trekant \(ACD\) — finn \(\angle D\) med cosinussetningen:

Vi kjenner \(AD = 6{,}0\), \(DC = 12{,}0\) og \(AC = 16{,}4\):

\[\cos(\angle D) = \frac{AD^2 + DC^2 - AC^2}{2 \cdot AD \cdot DC} = \frac{36 + 144 - 268{,}96}{144} \approx -0{,}618 \]

\[\angle D \approx 128{,}2\degree \]

Areal av \(\triangle ACD\) med arealsetningen:

\[T_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DC \cdot \sin(\angle D) = \frac{1}{2} \cdot 6{,}0 \cdot 12{,}0 \cdot \sin(128{,}2\degree) \approx 28{,}3 \]

Totalt areal:

\[T_{ABCD} = T_{ABC} + T_{ACD} \approx 30{,}2 + 28{,}3 \approx \underline{\underline{58{,}5 \, \mathrm{m}^2}} \]

b

Vi deler firkanten \(ABCD\) i to trekanter ved å trekke diagonalen \(BD\).

Trekant \(ABD\) — finn \(BD\) med sinussetningen:

Vinklene i \(\triangle ABD\) er \(\angle A = 62{,}5\degree\), \(\angle ABD = 45{,}5\degree\), og dermed:

\[\angle ADB = 180\degree - 62{,}5\degree - 45{,}5\degree = 72{,}0\degree \]

Vi bruker sinussetningen med den kjente siden \(AB = 8{,}0\):

\[\frac{BD}{\sin(\angle A)} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)} \implies BD = \frac{8{,}0 \cdot \sin(62{,}5\degree)}{\sin(72{,}0\degree)} \approx 7{,}46 \]

Areal av \(\triangle ABD\) med arealsetningen:

\[T_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BD \cdot \sin(\angle ABD) = \frac{1}{2} \cdot 8{,}0 \cdot 7{,}46 \cdot \sin(45{,}5\degree) \approx 21{,}3 \]

Trekant \(BCD\) — finn \(\angle BDC\):

Vinklene er \(\angle C = 38{,}3\degree\), \(\angle CBD = 85{,}5\degree\), og dermed:

\[\angle BDC = 180\degree - 38{,}3\degree - 85{,}5\degree = 56{,}2\degree \]

Areal av \(\triangle BCD\) med arealsetningen:

\[T_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot DC \cdot \sin(\angle BDC) = \frac{1}{2} \cdot 7{,}46 \cdot 12{,}0 \cdot \sin(56{,}2\degree) \approx 37{,}2 \]

Totalt areal:

\[T_{ABCD} = T_{ABD} + T_{BCD} \approx 21{,}3 + 37{,}2 \approx \underline{\underline{58{,}5 \, \mathrm{m}^2}} \]

Relatert

Tilfeldige oppgaver i samme fag

Det er ofte best å blande hvilke type oppgaver man gjør dersom du skal forberede deg til en prøve eller eksamen. Her er tre tilfeldige oppgaver i 1T.

Lignende oppgaver sortert etter tema

Trigonometri

Oppgave	Fag	År	Oppg
Bevis for grenseverdien til sin v delt på v	R2	V23	1-5
Omdreiingslegeme til trigonometrisk funksjon	R2	V23	2-5
Tangens, derivert og integral	R2	V23	1-2
Endevegg hus areal og takvinkel	1P-Y BA	V23	2-1
Solcellepanel areal og kostnad	1P-Y EL	V23	2-3
Trigonometri og effekttrekant	1P-Y EL	V23	1-4
Areal av trekant i sirkel	1T	V23	2-5
Areal av firkant ved hjelp av trigonometri	1T	V23	2-3
Begrunn hvorfor sin² u + cos² u = 1	1T	V23	1-1
Vis at (sin u) / (cos u) = tan u	1T	H22	1-1
Areal av område begrenset av sirkler	GRUBLE	Ingen	Ingen
Areal av sirkel og kvadrat som skjærer hverandre	1T, R1, R2	Ingen	Ingen
Areal av firekantet figur	1T	H23	2-2
Areal mellom cosinus og sinus	R2	H23	1-2
Likesidet trekant og cos 60°	1T	H23	1-1
Luftforurensning og sinusfunksjon	R2	H23	2-4
Strømproduksjon, trekant og resistans	1P-Y EL	H23	1-4
Takstol til garasje	1P-Y BA	H23	2-2
Tidevann og trigonometrisk modell	R2	H23	2-1
To trekanter og størst areal	1T	H23	1-4
Trekant med to løsninger	2P	H23	2-5
Garasjeloft og trigonometri	1P-Y BA	V24	1-5
Husvegg tak og solcellepaneler	1P-Y BA	V24	2-2
Lysbrytning i vann	1T	V24	2-2
Trekant med arealsetning og cosinussetning	1T	V24	2-3
Trigonometri i rettvinklet trekant	1T	V24	1-1
Sensor for utelys og trigonometri	R2	V24	2-3
Sinusfunksjon og egenskaper	R2	V24	1-5
Begrunn tangensverdier i enhetssirkelen	1T	H24	1-4
Integral med delvis integrasjon og trigonometri	R2	H24	1-1
Radianer og eksakte trigonometriske verdier	R2	H24	1-4
Russebil med trigonometrisk fartsfunksjon	R2	H24	2-4
Sinusfunksjon og cosinusfunksjon	R2	H24	1-5
Stjernens areal med arealsetningen	1T	H24	2-2
Verifiser dobbeltvinkelformel med 30-60-90-trekant	1T	H24	1-1
Trigonometrisk funksjon og likning	R2	V25	1-4
Vinkel i sirkel og trigonometri	R2	V25	1-7
Takstol og trekant ABC	1P-Y BA	V25	2-1
Tolvkant innskrevet i sirkel	1T	V25	2-3
Trigonometri med arealsetning og cosinus	1T	V25	1-5
Sanne og usanne påstander om fart og vinkel	R2	H25	1-5
Sinusmodell for elektrisk spenning	R2	H25	2-2
Trigonometriske likninger og antall løsninger	R2	H25	1-4
Vektorer, lengde og ortogonalitet	R1	H25	2-5
App-ikon med sirkel og trekant	1P-Y IM	H25	1-5
Areal av firkant med trigonometri	1T	H25	2-3
Kledning og takkonstruksjon	1P-Y BA	H25	2-1
Solcellepaneler og trigonometri	1P-Y EL	H25	2-1
Trekantareal og sin 45 grader	1T	H25	1-5
Bruke definisjonene av sinus og cosinus til å sette opp forhold	1P-Y EL	H24	1-5
Lukas sin ukjente trekant	1P-Y EL	V25	1-5
Bruk enhetssirkel til å finne sinus og cosinusverdier	1P-Y EL	V24	1-4
Effekttrekant for motor Effekttrekant for motor	1P-Y EL	H24	2-1
Felix sine effektdiagrammer Felix sine effektdiagrammer	1P-Y EL	H25	1-5

Areal

Oppgave	Fag	År	Oppg
Parkeringsplass og prosentendring	2P	V23	2-6
Pyramide med fire punkter i rommet	R2	V23	1-3
Endevegg hus areal og takvinkel	1P-Y BA	V23	2-1
Flo og fjære og lufteområde for hester	1P-Y NA	V23	2-1
Hette til krakk og stoffsvinn	1P-Y FD, 1P-Y DT	V23	2-2
Logo skalering og målestokk	1P-Y IM	V23	2-2
Møbeltapetserer og putetrekk til stol	1P-Y DT	V23	2-1
Aluminiumplate med hull	1P-Y TP	H23	2-1
Areal av firekantet figur	1T	H23	2-2
Areal av sideflaten i avkortet pyramide	R2	H23	1-6
Bakgrunnsgrafikk og pc-skjerm	1P-Y IM	H23	2-1
Fiske, poteter og melkekyr	1P-Y NA	H23	1-4
Pizzarestaurant og lønn	1P-Y RM, 1P-Y SR	H23	2-2
Rektangel innskrevet i trekant	1P	H23	2-5
Seilbåt med to seil og formlikhet	1P-Y NA	H23	2-1
Sofie og prosentvis arealendring	1P	H23	2-2
Stort bord og målestokk	1P-Y FD, 1P-Y DT	H23	1-4
Ungdomsbedrift og tapetsering	1P-Y FD	H23	2-3
Husvegg tak og solcellepaneler	1P-Y BA	V24	2-2
Hveteåker og spireprosent	1P-Y NA	V24	1-4
Logoer med parallellogrammer og symmetri	1P-Y IM	V24	1-4
Matematisk identitet fra arealmodell	1T	V24	1-3
Sylinderformet lampe med hull	1P-Y FD, 1P-Y DT	V24	2-1
Klatrevegg rettavkortet kjegle	2P	V24	2-5
Identitet for kvadrert sum fra arealmodell	1T	H24	1-5
Oljetanker av rustfritt stål	1P-Y TP	H24	2-2
Optimalisering av grønnsakhage med 100 m gjerde	1T	H24	2-7
Stjernens areal med arealsetningen	1T	H24	2-2
Telt med vektorer i rommet	R2	H24	1-3
Brage og oppdrettsanlegg for laks	1P-Y NA	H24	2-2
Hans og Pia og frisørdukker	1P-Y FD, 1P-Y DT	H24	2-2
Kledning til vegg og tilbud	1P-Y BA	H24	1-4
Lykkehjul med sektorer og trekanter	1P-Y IM	H24	1-4
Terrasse med nedfelt sandkasse	1P-Y BA	H24	2-1
Vimpler i to størrelser	1P-Y FD, 1P-Y DT	H24	1-4
Formlike trekanter og areal	2P	H24	1-3
Volum og areal for lesehule	2P	H24	2-8
Bordplate som trekant i 3D	R2	V25	1-5
Areal og omkrets av halvsirkel og trekant	2P	V25	1-4
Tangent til ln og trekantareal	R1	V25	2-5
Gatekunstner og kvadratiske fliser	1P-Y IM	V25	1-5
Isabels sylinderformede bokser	1P	V25	2-6
Male veggen med fire farger	1P-Y BA, 1P-Y FD, 1P-Y DT	V25	1-5
Pris per kvadratmeter terrassebord	1P	V25	2-5
Sylinderformede sittepuffer	1P-Y FD, 1P-Y DT	V25	2-2
Tolvkant innskrevet i sirkel	1T	V25	2-3
Åker og spireprosent av havrekorn	1P-Y NA	V25	1-4
Bindingsverk og svilltykkelse	1P-Y BA	H25	1-4
Blomsterbed med halvsirkel	1P	H25	2-7
Kledning og takkonstruksjon	1P-Y BA	H25	2-1
Naomi sine søppelbøtter	1P-Y TP	H25	2-2
Sofabord med areal og volum	1P-Y FD, 1P-Y DT	H25	2-2
Terrasse med Pytagoras	1P-Y BA	H25	1-5

Cosinussetningen

Oppgave	Fag	År	Oppg
Areal av trekant i sirkel	1T	V23	2-5
Areal av firkant ved hjelp av trigonometri	1T	V23	2-3
Areal av firekantet figur	1T	H23	2-2
Trekant med arealsetning og cosinussetning	1T	V24	2-3
Trigonometri med arealsetning og cosinus	1T	V25	1-5

Arealsetningen

Oppgave	Fag	År	Oppg
Areal av trekant i sirkel	1T	V23	2-5
Areal av firkant ved hjelp av trigonometri	1T	V23	2-3
Areal av firekantet figur	1T	H23	2-2
To trekanter og størst areal	1T	H23	1-4
Trekant med arealsetning og cosinussetning	1T	V24	2-3
Stjernens areal med arealsetningen	1T	H24	2-2
Trigonometri med arealsetning og cosinus	1T	V25	1-5
Trekantareal og sin 45 grader	1T	H25	1-5