Oppgaven er hentet fra eksamen 2P V24 del 2 oppgave 5.

Klatrevegg rettavkortet kjegle

Henrik og Hanne arbeider i et byggefirma. Byggefirmaet har fått i oppdrag å lage en klatrevegg til en skolegård. Klatreveggen skal ha form som en rettavkortet kjegle slik at elevene kan klatre opp til en plattform på toppen. Firmaet vurderer å støpe klatreveggen i betong. Se skissen nedenfor.

Klatreveggen

Skolen har to krav når det gjelder utforming av klatreveggen.

Klatreveggen må få plass på et kvadratisk område med areal \(20 \mathrm{~m^2}\).
Plattformen på toppen må ikke være mer enn \(2{,}5 \mathrm{~m}\) over bakken, og den skal ha et areal på \(10 \mathrm{~m^2}\).

Hanne og Henrik skal lage et forslag til hvordan klatreveggen kan utformes, og beregne hvor mye betong som vil gå med for å lage den.

Henrik

Først må vi finne ut hvor stor grunnflaten kan være.

Hanne

For å regne ut volumet kan vi kanskje ta utgangspunkt i en hel kjegle og så kutte av den øverste delen?

Henrik

Det var lurt. Vi må passe på at den nederste delen blir en rettavkortet kjegle som oppfyller kravene. Hvor høy skal vi la hele kjeglen være?

Oppgave

Lag en skisse som viser hvordan klatreveggen kan utformes for å oppfylle kravene fra skolen. Sett mål på skissen. Forklar hvordan du har tenkt, og vis utregningene dine.
Hvor mye betong vil gå med for å lage klatreveggen?

Fasit

a) Grunnradius \(R = \sqrt{5} \approx 2{,}24 \, \mathrm{m}\), toppradius \(r = \sqrt{\frac{10}{\pi}} \approx 1{,}78 \, \mathrm{m}\), høyde \(h = 2{,}5 \, \mathrm{m}\)
b) \(\underline{\underline{V \approx 31{,}87 \, \mathrm{m^3}}}\)

Løsningsforslag

Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.

a

Henrik påpeker at klatreveggen må få plass på et kvadratisk område med areal \(20 \, \mathrm{m^2}\). Arealet av kvadratet er

\[A_{\text{kvadrat}} = s^2 = 20 \, \mathrm{m^2} \]

som gir sidelengde \(s = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47 \, \mathrm{m}\).

Den størst mulige sirkelgrunnflaten som passer inni kvadratet er den innskrevne sirkelen med diameter lik kvadratets side. Da er grunnradiusen

\[R = \frac{s}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5} \approx 2{,}24 \, \mathrm{m} \]

Plattformen på toppen skal ha areal \(10 \, \mathrm{m^2}\), altså

\[\pi r^2 = 10 \implies r^2 = \frac{10}{\pi} \implies r = \sqrt{\frac{10}{\pi}} \approx 1{,}78 \, \mathrm{m} \]

For å oppfylle kravet om at plattformen ikke er mer enn \(2{,}5 \, \mathrm{m}\) over bakken, setter vi høyden til det maksimale

\[h = 2{,}5 \, \mathrm{m} \]

Skisse av klatreveggen (sett fra siden):

        ←2r≈3,56 m→
        ___________
       /           \    ↑
      /             \   | h = 2,5 m
     /               \  ↓
    /_________________\
    ←— 2R ≈ 4,47 m —→

Klatreveggen er en rettavkortet kjegle med \(\textcolor{seagreen}{R = \sqrt{5} \approx 2{,}24 \, \mathrm{m}}\), \(\textcolor{steelblue}{r = \sqrt{\frac{10}{\pi}} \approx 1{,}78 \, \mathrm{m}}\) og \(h = 2{,}5 \, \mathrm{m}\).

b

Hanne foreslår å beregne volumet ved å ta en hel kjegle og trekke fra toppkjeglen som kuttes av.

Siden den rettavkortede kjeglen og den helhetlige kjeglen har samme halvvinkel, er forholdet mellom toppradius og grunnradius det samme som forholdet mellom høydene:

\[\frac{r}{R} = \frac{H - h}{H} \]

der \(H\) er høyden til den hele kjeglen. Vi løser for \(H\):

\[\frac{r}{R} = 1 - \frac{h}{H} \implies \frac{h}{H} = 1 - \frac{r}{R} \implies H = \frac{h}{1 - \dfrac{r}{R}} \]

Vi regner ut forholdet

\[\frac{r}{R} = \frac{\sqrt{10/\pi}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{10}{5\pi}} = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \approx 0{,}798 \]

og den hele kjeglens høyde

\[H = \frac{2{,}5}{1 - \sqrt{2/\pi}} \approx \frac{2{,}5}{0{,}202} \approx 12{,}37 \, \mathrm{m} \]

Høyden til toppkjeglen (den som kuttes av) er

\[H_{\text{topp}} = H - h \approx 12{,}37 - 2{,}5 = 9{,}87 \, \mathrm{m} \]

Volumet av den hele kjeglen er

\[V_{\text{hel}} = \frac{\pi}{3} R^2 H = \frac{\pi}{3} \cdot 5 \cdot 12{,}37 \approx 64{,}76 \, \mathrm{m^3} \]

Volumet av toppkjeglen som fjernes er

\[V_{\text{topp}} = \frac{\pi}{3} r^2 H_{\text{topp}} = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{10}{\pi} \cdot 9{,}87 \approx 32{,}90 \, \mathrm{m^3} \]

Volumet av klatreveggen (den rettavkortede kjeglen) er

\[V = V_{\text{hel}} - V_{\text{topp}} \approx 64{,}76 - 32{,}90 \approx 31{,}87 \, \mathrm{m^3} \]

Man kan også bruke formelen for rettavkortet kjegle direkte:

\[V = \frac{\pi h}{3}\left(R^2 + Rr + r^2\right) = \frac{\pi \cdot 2{,}5}{3}\left(5 + \sqrt{5} \cdot \sqrt{\frac{10}{\pi}} + \frac{10}{\pi}\right) \approx 31{,}87 \, \mathrm{m^3} \]

Det vil gå med omtrent \(\underline{\underline{31{,}87 \, \mathrm{m^3}}}\) betong for å lage klatreveggen.

Relatert

Tilfeldige oppgaver i samme fag

Det er ofte best å blande hvilke type oppgaver man gjør dersom du skal forberede deg til en prøve eller eksamen. Her er tre tilfeldige oppgaver i 2P.

Lignende oppgaver sortert etter tema

Geometri

Oppgave	Fag	År	Oppg
Avstand fra punkt til linje og graf	R1	V23	2-6
Likebeinte og formlike trekanter	2P	V23	1-2
Parallellogram og vektorer	R1	V23	2-2
Vinkler og vinkelrette vektorer	R1	V23	1-3
Parallelle plan og kule	R2	V23	2-2
Pyramide med fire punkter i rommet	R2	V23	1-3
Sekskantmønster og vinkelsum	1P-Y IM	V23	1-4
Solcellepanel areal og kostnad	1P-Y EL	V23	2-3
Areal av firkant ved hjelp av trigonometri	1T	V23	2-3
Areal av område begrenset av sirkler	GRUBLE	Ingen	Ingen
Areal av sirkel og kvadrat som skjærer hverandre	1T, R1, R2	Ingen	Ingen
Kasse uten lokk	S1, R1	H23	2-5
Areal av sideflaten i avkortet pyramide	R2	H23	1-6
Ellipse og Ramanujans formel	1P	H23	2-7
Plan, normalvektor og avstand til punkt	R2	H23	1-4
Rektangel innskrevet i trekant	1P	H23	2-5
Seilbåt med to seil og formlikhet	1P-Y NA	H23	2-1
Takstol til garasje	1P-Y BA	H23	2-2
Trekant med to løsninger	2P	H23	2-5
Bindingsverk og kappliste for vegg	1P-Y BA	V24	2-1
Blomsterkrukker og sylindervolum Sander	1P-Y NA	V24	2-2
Formlike rammer og diagonal	1P-Y FD, 1P-Y DT	V24	1-4
Garasjeloft og trigonometri	1P-Y BA	V24	1-5
Husvegg tak og solcellepaneler	1P-Y BA	V24	2-2
Logoer med parallellogrammer og symmetri	1P-Y IM	V24	1-4
Sylinderformet lampe med hull	1P-Y FD, 1P-Y DT	V24	2-1
Terrassestolper i betong sylinder	1P-Y TP	V24	2-2
Kartmålestokk Oslo	2P	V24	1-3
Pyramide i halvkule – størst mulig volum	S1, R1	V24	2-8
Tre punkter på linje og rettvinklet trekant	R1	V24	1-4
Kuleflate og plan	R2	V24	2-5
Trekant og plan i rommet	R2	V24	1-4
Bindingsverk og kappliste for hytte	1P-Y BA	H24	1-5
Blomsterpotte og likebeint trekant	1P-Y FD, 1P-Y TP, 1P-Y DT	H24	1-5
Lykkehjul med sektorer og trekanter	1P-Y IM	H24	1-4
Symmetri i logo	1P-Y IM	H24	1-5
Vimpler i to størrelser	1P-Y FD, 1P-Y DT	H24	1-4
Formlike trekanter og areal	2P	H24	1-3
Volum og areal for lesehule	2P	H24	2-8
Bordplate som trekant i 3D	R2	V25	1-5
Areal og omkrets av halvsirkel og trekant	2P	V25	1-4
Formlike trekanter over elv	2P	V25	2-3
Vektorer og basketball	R1	V25	1-6
Konusformet aksling og konisitet	1P-Y TP	V25	1-5
Nomogram for omdreiningstall og boring	1P-Y TP	V25	2-1
Parkbenk og svinn av terrassebord	1P-Y BA	V25	1-4
Rom med skråtak og volum	1P-Y IM	V25	1-4
Sylinderformede sittepuffer	1P-Y FD, 1P-Y DT	V25	2-2
Takstol og trekant ABC	1P-Y BA	V25	2-1
Tannhjul og skyvelære	1P-Y TP	V25	1-4
Tolvkant innskrevet i sirkel	1T	V25	2-3
Kuleflate og tangentplan	R2	H25	1-7
Miniubåt, fart og kollisjon med fiskestim	R2	H25	2-1
Volum av omdreiningslegeme – kopp	R2	H25	1-2
Koordinater, linje og ortogonalitet	R1	H25	1-4
Parameterframstilling og møtepunkt	R1	H25	2-4
Grus på sti og kjeglehaug	2P	H25	2-6
Modell av Eiffeltårnet	2P	H25	1-3
Trekant i sirkel	2P	H25	1-5
App-ikon med sirkel og trekant	1P-Y IM	H25	1-5
Areal av firkant med trigonometri	1T	H25	2-3
Blomsterbed med halvsirkel	1P	H25	2-7
Breddegrader og jordomkrets	1P	H25	2-6
Naomi sine søppelbøtter	1P-Y TP	H25	2-2
Pyramide med proporsjonal høyde	1P	H25	1-4
Rombe-duk og Pytagoras	1P-Y FD, 1P-Y DT	H25	1-4
Solcellepaneler og trigonometri	1P-Y EL	H25	2-1
Størst mulig rektangel under kurve	1T	H25	2-5
Tangent til parabel og lagerhall	1T	H25	2-6
Terrasse med Pytagoras	1P-Y BA	H25	1-5

Areal

Oppgave	Fag	År	Oppg
Parkeringsplass og prosentendring	2P	V23	2-6
Pyramide med fire punkter i rommet	R2	V23	1-3
Endevegg hus areal og takvinkel	1P-Y BA	V23	2-1
Flo og fjære og lufteområde for hester	1P-Y NA	V23	2-1
Hette til krakk og stoffsvinn	1P-Y FD, 1P-Y DT	V23	2-2
Logo skalering og målestokk	1P-Y IM	V23	2-2
Møbeltapetserer og putetrekk til stol	1P-Y DT	V23	2-1
Aluminiumplate med hull	1P-Y TP	H23	2-1
Areal av firekantet figur	1T	H23	2-2
Areal av sideflaten i avkortet pyramide	R2	H23	1-6
Bakgrunnsgrafikk og pc-skjerm	1P-Y IM	H23	2-1
Fiske, poteter og melkekyr	1P-Y NA	H23	1-4
Pizzarestaurant og lønn	1P-Y RM, 1P-Y SR	H23	2-2
Rektangel innskrevet i trekant	1P	H23	2-5
Seilbåt med to seil og formlikhet	1P-Y NA	H23	2-1
Sofie og prosentvis arealendring	1P	H23	2-2
Stort bord og målestokk	1P-Y FD, 1P-Y DT	H23	1-4
Ungdomsbedrift og tapetsering	1P-Y FD	H23	2-3
Husvegg tak og solcellepaneler	1P-Y BA	V24	2-2
Hveteåker og spireprosent	1P-Y NA	V24	1-4
Logoer med parallellogrammer og symmetri	1P-Y IM	V24	1-4
Matematisk identitet fra arealmodell	1T	V24	1-3
Sylinderformet lampe med hull	1P-Y FD, 1P-Y DT	V24	2-1
Areal av firkant ABCD med trigonometri	1T	H24	2-6
Identitet for kvadrert sum fra arealmodell	1T	H24	1-5
Oljetanker av rustfritt stål	1P-Y TP	H24	2-2
Optimalisering av grønnsakhage med 100 m gjerde	1T	H24	2-7
Stjernens areal med arealsetningen	1T	H24	2-2
Telt med vektorer i rommet	R2	H24	1-3
Brage og oppdrettsanlegg for laks	1P-Y NA	H24	2-2
Hans og Pia og frisørdukker	1P-Y FD, 1P-Y DT	H24	2-2
Kledning til vegg og tilbud	1P-Y BA	H24	1-4
Lykkehjul med sektorer og trekanter	1P-Y IM	H24	1-4
Terrasse med nedfelt sandkasse	1P-Y BA	H24	2-1
Vimpler i to størrelser	1P-Y FD, 1P-Y DT	H24	1-4
Formlike trekanter og areal	2P	H24	1-3
Volum og areal for lesehule	2P	H24	2-8
Bordplate som trekant i 3D	R2	V25	1-5
Areal og omkrets av halvsirkel og trekant	2P	V25	1-4
Tangent til ln og trekantareal	R1	V25	2-5
Gatekunstner og kvadratiske fliser	1P-Y IM	V25	1-5
Isabels sylinderformede bokser	1P	V25	2-6
Male veggen med fire farger	1P-Y BA, 1P-Y FD, 1P-Y DT	V25	1-5
Pris per kvadratmeter terrassebord	1P	V25	2-5
Sylinderformede sittepuffer	1P-Y FD, 1P-Y DT	V25	2-2
Tolvkant innskrevet i sirkel	1T	V25	2-3
Åker og spireprosent av havrekorn	1P-Y NA	V25	1-4
Bindingsverk og svilltykkelse	1P-Y BA	H25	1-4
Blomsterbed med halvsirkel	1P	H25	2-7
Kledning og takkonstruksjon	1P-Y BA	H25	2-1
Naomi sine søppelbøtter	1P-Y TP	H25	2-2
Sofabord med areal og volum	1P-Y FD, 1P-Y DT	H25	2-2
Terrasse med Pytagoras	1P-Y BA	H25	1-5

Volum

Oppgave	Fag	År	Oppg
Pyramide med fire punkter i rommet	R2	V23	1-3
Kopplam kjølekonteiner og sjøkart	1P-Y NA	V23	1-4
Pastadeig og cannelloni	1P-Y RM	V23	2-1
Tank for skjæreolje og pumpe	1P-Y TP	V23	2-2
Austenitt og anleggsrør	1P-Y TP	H23	2-2
Betonggulv og meterstokk	1P-Y BA	H23	1-4
Blomkålsuppe og kjeler	1P-Y RM	H23	2-1
Bordplate av eik og massetetthet	1P-Y BA, 1P-Y DT	H23	2-3
Volum av tønne ved integrasjon	R2	H23	2-3
Blomsterkrukker og sylindervolum Sander	1P-Y NA	V24	2-2
Stålplate volum og tetthet	1P-Y TP	V24	1-5
Terrassestolper i betong sylinder	1P-Y TP	V24	2-2
Volum av pære med omdreiningslegeme	R2	V24	2-2
Jordbær som omdreiningslegeme	R2	H24	2-3
Kasser av metallplater	1P	H24	2-8
Oljetanker av rustfritt stål	1P-Y TP	H24	2-2
Omdreiningslegeme av sirkel om y-aksen	R2	H24	2-6
Brage og oppdrettsanlegg for laks	1P-Y NA	H24	2-2
Fisker og oppbevaringskar	1P-Y NA	H24	1-4
Hans og Pia og frisørdukker	1P-Y FD, 1P-Y DT	H24	2-2
Terrasse med nedfelt sandkasse	1P-Y BA	H24	2-1
Volum og areal for lesehule	2P	H24	2-8
Anitas betongstøp og tilbud	1P-Y BA	V25	2-2
Elevbedrift lager lasagne til skoleavslutning	1P-Y RM	V25	2-2
Isabels sylinderformede bokser	1P	V25	2-6
Nomogram for omdreiningstall og boring	1P-Y TP	V25	2-1
Rom med skråtak og volum	1P-Y IM	V25	1-4
Sylinderboks med minst overflate	1T	V25	2-5
Sylinderformede sittepuffer	1P-Y FD, 1P-Y DT	V25	2-2
Trine og Geir og høyballer til hester	1P-Y NA	V25	2-2
Fiskekar og skrei	1P-Y NA	H25	1-4
MAG-sveising og gassflasker	1P-Y TP	H25	2-1
Melkeproduksjon med kuer	1P-Y NA	H25	2-2
Naomi sine søppelbøtter	1P-Y TP	H25	2-2
Sofabord med areal og volum	1P-Y FD, 1P-Y DT	H25	2-2