Plan, normalvektor og avstand til punkt
Et plan \(\alpha\) er gitt ved likningen
Vi har gitt punktet \(A(4,\ 2,\ 2)\).
- Bestem en parameterframstilling for linjen gjennom \(A\) som står normalt på planet \(\alpha\).
- Bestem avstanden fra \(A\) til \(\alpha\).
a) \((x, y, z) = (4 + t,\ 2 - 2t,\ 2 + 2t),\quad t \in \mathbb{R}\)
b) \(\underline{\underline{d = \dfrac{5}{3}}}\)
Planet \(\alpha\) er gitt ved \(x - 2y + 2z + 1 = 0\), og vi leser av normalvektoren direkte fra koeffisientene:
Lengden av normalvektoren er
a
En linje normalt på planet \(\alpha\) har retning \(\vec{n}\). Linjen gjennom \(A(4,\ 2,\ 2)\) med retning \(\vec{n}\) kan skrives som
Det vil si
b
Avstanden fra et punkt \(A(x_0, y_0, z_0)\) til planet \(ax + by + cz + d = 0\) er gitt ved formelen
Her er \(A(4,\ 2,\ 2)\) og planet er \(x - 2y + 2z + 1 = 0\), altså \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = 2\), \(d = 1\).
Vi setter inn:
a) (2 poeng) For å få full uttelling må kandidaten kommunisere hvordan retningsvektoren til linjen er funnet. Dersom kandidaten bruker \(\vec{n} = [1, -2, 2]\), er det for eksempel nok å kommentere at dette er en normalvektor til planet. Riktig svar uten begrunnelser kan gi 1 poeng.
b) (2 poeng) Kandidater som bruker en strategi som kan gi oss avstanden, men som ikke klarer å gjennomføre strategien, kan få 1 poeng.