Koordinatvektorer, lengde og ortogonalitet
Fire vektorer er gitt ved \(\vec{u} = [3, -2]\), \(\vec{v} = [4, -6]\), \(\vec{w} = [2, -3]\) og \(\vec{p} = [8, 12]\)
- Avgjør om noen av vektorene er
- like lange
- ortogonale
En vektor er gitt ved \(\vec{q} = [2a - 3,\ 1 + 3b]\)
- Bestem \(a\) og \(b\) slik at \(\vec{u} + 2\vec{q} = [7, 5]\)
a) \(\vec{u}\) og \(\vec{w}\) er like lange. \(\vec{u}\) og \(\vec{p}\) er ortogonale.
b) \(a = \dfrac{5}{2}\), \(\quad b = \dfrac{5}{6}\)
a
Vi beregner lengden av hver vektor:
\(|\vec{u}| = |\vec{w}| = \sqrt{13}\), så \(\underline{\underline{\vec{u} \text{ og } \vec{w} \text{ er like lange}}}\).
For å avgjøre ortogonalitet beregner vi skalarproduktet for alle par. To vektorer er ortogonale hvis og bare hvis skalarproduktet er null.
\(\vec{u} \cdot \vec{p} = 0\), så \(\underline{\underline{\vec{u} \text{ og } \vec{p} \text{ er ortogonale}}}\). Ingen andre par er ortogonale.
b
Vi setter inn \(\vec{u} = [3, -2]\) og \(\vec{q} = [2a - 3,\ 1 + 3b]\):
Dette gir likningssystemet:
Fra første likning: \(4a = 10\), altså \(\underline{\underline{a = \dfrac{5}{2}}}\).
Fra andre likning: \(\underline{\underline{b = \dfrac{5}{6}}}\).