Oppgaven er hentet fra eksamen R2 H24 del 1 oppgave 3.

Telt med vektorer i rommet

Et telt står i en plan skråning. Teltet har tre rette teltstenger som er plassert i punktene \(A(0, 0, 0)\), \(B(3, 1, 2)\) og \(C(-1, 3, 1)\). De tre teltstengene er samlet i toppunktet \(T\).

Oppgave

Bestem arealet av bunnen i teltet.

Lengden av teltstanga fra punkt \(C\) til punkt \(T\) er \(\sqrt{17}\). Teltstanga fra punkt \(A\) til punkt \(T\) følger linja \(\ell\), gitt ved

\[\ell: \begin{cases} x=t &\\ y=t &\\ z=4t & \end{cases} \]

Oppgave

Bestem koordinatene til toppunktet \(T\).

Fasit

a) \(\dfrac{5}{2}\sqrt{6}\)
b) \(T(1,\ 1,\ 4)\)

Løsningsforslag

a

Jeg vet at arealet til et parallellogram utspent av \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\) er gitt ved \(\lvert \vec{a} \times \vec{b} \rvert\), derfor må arealet av bunnen av teltet være gitt ved

\[A_{\triangle}=\frac{1}{2} \left| \vec{AB} \times \vec{AC} \right| \]

\[\begin{aligned} \vec{AB} \times \vec{AC} &=\begin{vmatrix} \vec{e}_{x} &\vec{e}_{y} & \vec{e}_{z}\\ 3 & 1 & 2\\ -1 & 3 & 1 \end{vmatrix} \\ &= \vec{e}_{x} \left( 1 \cdot 1 - 2 \cdot 3 \right)- \vec{e}_{y} \left( 3 \cdot 1 - 2 \cdot (-1) \right)+ \vec{e}_{z} ( 3 \cdot 3 - 1 \cdot (-1) ) \\ &=\begin{bmatrix} -5, & -5, & 10 \end{bmatrix} \end{aligned} \]

Arealet er derfor

\[A_{\triangle}=\frac{1}{2} \left| \vec{AB} \times \vec{AC} \right|=\frac{1}{2}\sqrt{ (-5)^{2}+(-5)^{2}+10^{2} }=\frac{1}{2}\sqrt{ 150 }=\frac{1}{2}\sqrt{ 25 \cdot 6 }=\frac{1}{2}5\cdot \sqrt{ 6 }=\underline{\underline{\frac{5}{2}\sqrt{ 6 }}} \]

Arealet av bunnen av teltet er \(\underline{\underline{\frac{5}{2}\sqrt{ 6 }}}\).

b

\(T\) ligger på linja \(\ell\) med parameterframstillingen \(T(t, t, 4t)\). Vi vet at lengden av teltstanga \(CT\) er \(\sqrt{17}\), altså \(|\vec{CT}| = \sqrt{17}\). Vi setter opp:

\[\begin{aligned} |\vec{CT}|^{2} &= 17\\ (t-(-1))^{2}+(t-3)^{2}+(4t-1)^{2} &= 17\\ (t+1)^{2}+(t-3)^{2}+(4t-1)^{2} &= 17\\ t^{2}+2t+1+t^{2}-6t+9+16t^{2}-8t+1 &= 17\\ 18t^{2}-12t+11 &= 17\\ 18t^{2}-12t-6 &= 0\\ 3t^{2}-2t-1 &= 0\\ (3t+1)(t-1) &= 0\\ t &= 1 \quad \vee \quad t=-\frac{1}{3} \end{aligned} \]

Fra figuren skal toppunktet befinne seg over \(xy\)-planet, så vi velger \(t=1\).

Koordinatene til toppunktet er \(\underline{\underline{T(1,\,1,\,4)}}\).

Relatert

Tilfeldige oppgaver i samme fag

Det er ofte best å blande hvilke type oppgaver man gjør dersom du skal forberede deg til en prøve eller eksamen. Her er tre tilfeldige oppgaver i R2.

Lignende oppgaver sortert etter tema

Vektorer

Oppgave	Fag	År	Oppg
Avstand fra punkt til linje og graf	R1	V23	2-6
Parallellogram og vektorer	R1	V23	2-2
Vinkler og vinkelrette vektorer	R1	V23	1-3
Banefart til 3D-printer	R2	V23	2-3
Parallelle plan og kule	R2	V23	2-2
Pyramide med fire punkter i rommet	R2	V23	1-3
Ishockeypuck med vektorfunksjon	R1	H23	2-5
Vektorer til å bestemme sidekanter og vinkler i trekant	R1	H23	1-3
Areal av sideflaten i avkortet pyramide	R2	H23	1-6
Plan, normalvektor og avstand til punkt	R2	H23	1-4
Vektorfunksjoner og smygplan	R2	H23	2-5
To biler på kryss og motorvei	R1	V24	2-3
Tre punkter på linje og rettvinklet trekant	R1	V24	1-4
Fotball hjørnespark og vektorer	R2	V24	2-1
Kuleflate og plan	R2	V24	2-5
Trekant og plan i rommet	R2	V24	1-4
Koordinatvektorer, lengde og ortogonalitet	R1	H24	1-5
Posisjonsvektorer for småfugler og rovfugl	R1	H24	2-6
Ball i bevegelse med posisjonsvektor	R2	H24	2-1
Vurder påstander om rekke, plan og areal	R2	H24	2-2
Bil på spiralvei i parkeringshus	R2	V25	2-1
Bordplate som trekant i 3D	R2	V25	1-5
Fiskebåt og vektorbevegelse	R1	V25	2-4
Vektorer og basketball	R1	V25	1-6
Kuleflate og tangentplan	R2	H25	1-7
Miniubåt, fart og kollisjon med fiskestim	R2	H25	2-1
Koordinater, linje og ortogonalitet	R1	H25	1-4
Parameterframstilling og møtepunkt	R1	H25	2-4
Vektorer, lengde og ortogonalitet	R1	H25	2-5
Bevis at ortogonale vektorer oppfyller Pytagoras R2 V26	R2	V26	1-8
Plan og tangerende kuleflate R2 V26	R2	V26	1-7

Areal

Oppgave	Fag	År	Oppg
Parkeringsplass og prosentendring	2P	V23	2-6
Pyramide med fire punkter i rommet	R2	V23	1-3
Endevegg hus areal og takvinkel	1P-Y BA	V23	2-1
Flo og fjære og lufteområde for hester	1P-Y NA	V23	2-1
Hette til krakk og stoffsvinn	1P-Y FD, 1P-Y DT	V23	2-2
Logo skalering og målestokk	1P-Y IM	V23	2-2
Møbeltapetserer og putetrekk til stol	1P-Y DT	V23	2-1
Aluminiumplate med hull	1P-Y TP	H23	2-1
Areal av firekantet figur	1T	H23	2-2
Areal av sideflaten i avkortet pyramide	R2	H23	1-6
Bakgrunnsgrafikk og pc-skjerm	1P-Y IM	H23	2-1
Fiske, poteter og melkekyr	1P-Y NA	H23	1-4
Pizzarestaurant og lønn	1P-Y RM, 1P-Y SR	H23	2-2
Rektangel innskrevet i trekant	1P	H23	2-5
Seilbåt med to seil og formlikhet	1P-Y NA	H23	2-1
Sofie og prosentvis arealendring	1P	H23	2-2
Stort bord og målestokk	1P-Y FD, 1P-Y DT	H23	1-4
Ungdomsbedrift og tapetsering	1P-Y FD	H23	2-3
Husvegg tak og solcellepaneler	1P-Y BA	V24	2-2
Hveteåker og spireprosent	1P-Y NA	V24	1-4
Logoer med parallellogrammer og symmetri	1P-Y IM	V24	1-4
Matematisk identitet fra arealmodell	1T	V24	1-3
Sylinderformet lampe med hull	1P-Y FD, 1P-Y DT	V24	2-1
Klatrevegg rettavkortet kjegle	2P	V24	2-5
Areal av firkant ABCD med trigonometri	1T	H24	2-6
Identitet for kvadrert sum fra arealmodell	1T	H24	1-5
Oljetanker av rustfritt stål	1P-Y TP	H24	2-2
Optimalisering av grønnsakhage med 100 m gjerde	1T	H24	2-7
Stjernens areal med arealsetningen	1T	H24	2-2
Brage og oppdrettsanlegg for laks	1P-Y NA	H24	2-2
Hans og Pia og frisørdukker	1P-Y FD, 1P-Y DT	H24	2-2
Kledning til vegg og tilbud	1P-Y BA	H24	1-4
Lykkehjul med sektorer og trekanter	1P-Y IM	H24	1-4
Terrasse med nedfelt sandkasse	1P-Y BA	H24	2-1
Vimpler i to størrelser	1P-Y FD, 1P-Y DT	H24	1-4
Formlike trekanter og areal	2P	H24	1-3
Volum og areal for lesehule	2P	H24	2-8
Bordplate som trekant i 3D	R2	V25	1-5
Areal og omkrets av halvsirkel og trekant	2P	V25	1-4
Tangent til ln og trekantareal	R1	V25	2-5
Gatekunstner og kvadratiske fliser	1P-Y IM	V25	1-5
Isabels sylinderformede bokser	1P	V25	2-6
Male veggen med fire farger	1P-Y BA, 1P-Y FD, 1P-Y DT	V25	1-5
Pris per kvadratmeter terrassebord	1P	V25	2-5
Sylinderformede sittepuffer	1P-Y FD, 1P-Y DT	V25	2-2
Tolvkant innskrevet i sirkel	1T	V25	2-3
Åker og spireprosent av havrekorn	1P-Y NA	V25	1-4
Bindingsverk og svilltykkelse	1P-Y BA	H25	1-4
Blomsterbed med halvsirkel	1P	H25	2-7
Kledning og takkonstruksjon	1P-Y BA	H25	2-1
Naomi sine søppelbøtter	1P-Y TP	H25	2-2
Sofabord med areal og volum	1P-Y FD, 1P-Y DT	H25	2-2
Terrasse med Pytagoras	1P-Y BA	H25	1-5