Ikke kvalitetssikret

Denne oppgaven er lest inn med KI og er ikke kontrollert enda. Det kan forekomme feil.

Oppgaven er hentet fra eksamen R2 V24 del 2 oppgave 5.

Kuleflate og plan

Punktene \(A(1, 2, 1)\) og \(B(3, 0, -3)\) ligger på en kuleflate. \(AB\) er en diameter til kuleflaten. Planet \(\gamma\) er gitt ved likningen \(x + 2y + 2z = 14\).

Oppgave

Finn den minste avstanden fra kuleflaten til planet \(\gamma\).

Et plan \(\alpha\) har samme avstand til kuleflaten og er parallelt med planet \(\gamma\).

Oppgave

Bestem en likning for planet \(\alpha\).

Fasit

a) \(\underline{\underline{4 - \sqrt{6} \approx 1{,}55}}\)
b) \(\underline{\underline{x + 2y + 2z = -10}}\)

Løsningsforslag

Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.

Vi bruker GeoGebra CAS til å utføre beregningene.

Kuleflate og plan – CAS-beregninger

Sentrum og radius:

Siden \(AB\) er diameter, er sentrum \(M\) midtpunktet av \(AB\):

\[M = \left(\frac{1+3}{2},\ \frac{2+0}{2},\ \frac{1+(-3)}{2}\right) = (2, 1, -1) \]

Radius er halvparten av \(|AB|\):

\[r = \frac{|AB|}{2} = \frac{\sqrt{(3-1)^2 + (0-2)^2 + (-3-1)^2}}{2} = \frac{\sqrt{4+4+16}}{2} = \frac{\sqrt{24}}{2} = \sqrt{6} \]

Planet \(\gamma\) har normalvektor \(\mathbf{n} = (1, 2, 2)\) med \(|\mathbf{n}| = \sqrt{1+4+4} = 3\).

a

Avstanden fra sentrum \(M(2, 1, -1)\) til planet \(\gamma\colon x + 2y + 2z = 14\) er:

\[d(M, \gamma) = \frac{|1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) - 14|}{3} = \frac{|2 + 2 - 2 - 14|}{3} = \frac{12}{3} = 4 \]

Den minste avstanden fra kuleflaten til planet er avstanden fra sentrum minus radius:

\[d_{\min} = d(M, \gamma) - r = 4 - \sqrt{6} \approx \mathbf{\underline{\underline{1{,}55}}} \]

Den minste avstanden fra kuleflaten til planet \(\gamma\) er \(4 - \sqrt{6} \approx 1{,}55\).

b

Planet \(\alpha\) er parallelt med \(\gamma\), altså på formen \(x + 2y + 2z = D\).

Avstanden fra \(M(2, 1, -1)\) til \(\alpha\) er den samme som til \(\gamma\), det vil si \(4\), men \(\alpha\) ligger på motsatt side av sentrum:

\[d(M, \alpha) = \frac{|1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) - D|}{3} = \frac{|2 - D|}{3} = 4 \]

\[|2 - D| = 12 \implies D = 14 \quad \text{eller} \quad D = -10 \]

\(D = 14\) gir planet \(\gamma\) selv, så \(\alpha\) har \(D = -10\).

En likning for planet \(\alpha\) er \(\underline{\underline{x + 2y + 2z = -10}}\).

Relatert

Tilfeldige oppgaver i samme fag

Det er ofte best å blande hvilke type oppgaver man gjør dersom du skal forberede deg til en prøve eller eksamen. Her er tre tilfeldige oppgaver i R2.

Lignende oppgaver sortert etter tema

Vektorer

Oppgave	Fag	År	Oppg
Avstand fra punkt til linje og graf	R1	V23	2-6
Parallellogram og vektorer	R1	V23	2-2
Vinkler og vinkelrette vektorer	R1	V23	1-3
Banefart til 3D-printer	R2	V23	2-3
Parallelle plan og kule	R2	V23	2-2
Pyramide med fire punkter i rommet	R2	V23	1-3
Ishockeypuck med vektorfunksjon	R1	H23	2-5
Vektorer til å bestemme sidekanter og vinkler i trekant	R1	H23	1-3
Areal av sideflaten i avkortet pyramide	R2	H23	1-6
Plan, normalvektor og avstand til punkt	R2	H23	1-4
Vektorfunksjoner og smygplan	R2	H23	2-5
To biler på kryss og motorvei	R1	V24	2-3
Tre punkter på linje og rettvinklet trekant	R1	V24	1-4
Fotball hjørnespark og vektorer	R2	V24	2-1
Trekant og plan i rommet	R2	V24	1-4
Koordinatvektorer, lengde og ortogonalitet	R1	H24	1-5
Posisjonsvektorer for småfugler og rovfugl	R1	H24	2-6
Ball i bevegelse med posisjonsvektor	R2	H24	2-1
Telt med vektorer i rommet	R2	H24	1-3
Vurder påstander om rekke, plan og areal	R2	H24	2-2
Bil på spiralvei i parkeringshus	R2	V25	2-1
Bordplate som trekant i 3D	R2	V25	1-5
Fiskebåt og vektorbevegelse	R1	V25	2-4
Vektorer og basketball	R1	V25	1-6
Kuleflate og tangentplan	R2	H25	1-7
Miniubåt, fart og kollisjon med fiskestim	R2	H25	2-1
Koordinater, linje og ortogonalitet	R1	H25	1-4
Parameterframstilling og møtepunkt	R1	H25	2-4
Vektorer, lengde og ortogonalitet	R1	H25	2-5
Bevis at ortogonale vektorer oppfyller Pytagoras R2 V26	R2	V26	1-8
Plan og tangerende kuleflate R2 V26	R2	V26	1-7

Geometri

Oppgave	Fag	År	Oppg
Avstand fra punkt til linje og graf	R1	V23	2-6
Likebeinte og formlike trekanter	2P	V23	1-2
Parallellogram og vektorer	R1	V23	2-2
Vinkler og vinkelrette vektorer	R1	V23	1-3
Parallelle plan og kule	R2	V23	2-2
Pyramide med fire punkter i rommet	R2	V23	1-3
Sekskantmønster og vinkelsum	1P-Y IM	V23	1-4
Solcellepanel areal og kostnad	1P-Y EL	V23	2-3
Areal av firkant ved hjelp av trigonometri	1T	V23	2-3
Areal av område begrenset av sirkler	GRUBLE	Ingen	Ingen
Areal av sirkel og kvadrat som skjærer hverandre	1T, R1, R2	Ingen	Ingen
Kasse uten lokk	S1, R1	H23	2-5
Areal av sideflaten i avkortet pyramide	R2	H23	1-6
Ellipse og Ramanujans formel	1P	H23	2-7
Plan, normalvektor og avstand til punkt	R2	H23	1-4
Rektangel innskrevet i trekant	1P	H23	2-5
Seilbåt med to seil og formlikhet	1P-Y NA	H23	2-1
Takstol til garasje	1P-Y BA	H23	2-2
Trekant med to løsninger	2P	H23	2-5
Bindingsverk og kappliste for vegg	1P-Y BA	V24	2-1
Blomsterkrukker og sylindervolum Sander	1P-Y NA	V24	2-2
Formlike rammer og diagonal	1P-Y FD, 1P-Y DT	V24	1-4
Garasjeloft og trigonometri	1P-Y BA	V24	1-5
Husvegg tak og solcellepaneler	1P-Y BA	V24	2-2
Logoer med parallellogrammer og symmetri	1P-Y IM	V24	1-4
Sylinderformet lampe med hull	1P-Y FD, 1P-Y DT	V24	2-1
Terrassestolper i betong sylinder	1P-Y TP	V24	2-2
Kartmålestokk Oslo	2P	V24	1-3
Klatrevegg rettavkortet kjegle	2P	V24	2-5
Pyramide i halvkule – størst mulig volum	S1, R1	V24	2-8
Tre punkter på linje og rettvinklet trekant	R1	V24	1-4
Trekant og plan i rommet	R2	V24	1-4
Bindingsverk og kappliste for hytte	1P-Y BA	H24	1-5
Blomsterpotte og likebeint trekant	1P-Y FD, 1P-Y TP, 1P-Y DT	H24	1-5
Lykkehjul med sektorer og trekanter	1P-Y IM	H24	1-4
Symmetri i logo	1P-Y IM	H24	1-5
Vimpler i to størrelser	1P-Y FD, 1P-Y DT	H24	1-4
Formlike trekanter og areal	2P	H24	1-3
Volum og areal for lesehule	2P	H24	2-8
Bordplate som trekant i 3D	R2	V25	1-5
Areal og omkrets av halvsirkel og trekant	2P	V25	1-4
Formlike trekanter over elv	2P	V25	2-3
Vektorer og basketball	R1	V25	1-6
Konusformet aksling og konisitet	1P-Y TP	V25	1-5
Nomogram for omdreiningstall og boring	1P-Y TP	V25	2-1
Parkbenk og svinn av terrassebord	1P-Y BA	V25	1-4
Rom med skråtak og volum	1P-Y IM	V25	1-4
Sylinderformede sittepuffer	1P-Y FD, 1P-Y DT	V25	2-2
Takstol og trekant ABC	1P-Y BA	V25	2-1
Tannhjul og skyvelære	1P-Y TP	V25	1-4
Tolvkant innskrevet i sirkel	1T	V25	2-3
Kuleflate og tangentplan	R2	H25	1-7
Miniubåt, fart og kollisjon med fiskestim	R2	H25	2-1
Volum av omdreiningslegeme – kopp	R2	H25	1-2
Koordinater, linje og ortogonalitet	R1	H25	1-4
Parameterframstilling og møtepunkt	R1	H25	2-4
Grus på sti og kjeglehaug	2P	H25	2-6
Modell av Eiffeltårnet	2P	H25	1-3
Trekant i sirkel	2P	H25	1-5
App-ikon med sirkel og trekant	1P-Y IM	H25	1-5
Areal av firkant med trigonometri	1T	H25	2-3
Blomsterbed med halvsirkel	1P	H25	2-7
Breddegrader og jordomkrets	1P	H25	2-6
Naomi sine søppelbøtter	1P-Y TP	H25	2-2
Pyramide med proporsjonal høyde	1P	H25	1-4
Rombe-duk og Pytagoras	1P-Y FD, 1P-Y DT	H25	1-4
Solcellepaneler og trigonometri	1P-Y EL	H25	2-1
Størst mulig rektangel under kurve	1T	H25	2-5
Tangent til parabel og lagerhall	1T	H25	2-6
Terrasse med Pytagoras	1P-Y BA	H25	1-5
Plan og tangerende kuleflate R2 V26	R2	V26	1-7