Areal av sirkel og kvadrat som skjærer hverandre

\(8\sqrt{2} - 11 \,\mathrm{m}^2 \approx 0{,}31 \,\mathrm{m}^2\)

Koordinatsystem og betingelser

Vi plasserer kvadratet med hjørner i \((0,0)\), \((1,0)\), \((1,1)\) og \((0,1)\).

Sirkelen er tangent til sidekantene \(x = 1\) og \(y = 1\), og passerer gjennom hjørnet \((0,0)\).

Fordi sirkelen er tangent til \(x = 1\) og \(y = 1\), må sentrum ligge like langt fra begge disse sidekantene. Med radius \(r\) er sentrum

Beregne radius

Sirkelen passerer gjennom \((0,0)\), så avstanden fra sentrum til dette punktet er lik \(r\):

Sentrum er \(M = (\sqrt{2}-1,\; \sqrt{2}-1)\) og \(r = 2 - \sqrt{2}\).

Sirkelens areal

Skjæringspunkter med sidekantene

Av symmetri om linjen \(y = x\) er det nok å finne hvor sirkelen krysser \(y = 0\).

Vi setter \(y = 0\) i sirkelligningen \((x - (\sqrt{2}-1))^2 + (\sqrt{2}-1)^2 = (2-\sqrt{2})^2\):

Skjæringspunktene er \((0,\,0)\) og \((2(\sqrt{2}-1),\, 0)\).

Ved symmetri krysser sirkelen \(x = 0\) i \((0,\,0)\) og \((0,\,2(\sqrt{2}-1))\).

Sentralvinkelen for hvert sirkelsegment

Vi ser på segmentet som skjæres av \(y = 0\) (under \(x\)-aksen). Vektorene fra sentrum \(M = (\sqrt{2}-1,\, \sqrt{2}-1)\) til de to skjæringspunktene er:

Disse to vektorene er ortogonale (\(\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = -(\sqrt{2}-1)^2 + (\sqrt{2}-1)^2 = 0\)), så sentralvinkelen er

Areal av ett sirkelsegment

Formelen for et sirkelsegment med sentralvinkel \(\theta\) er \(\frac{1}{2}r^2(\theta - \sin\theta)\):

Areal av sirkelen utenfor kvadratet

Det er to symmetriske segmenter (ett under \(y = 0\), ett til venstre for \(x = 0\)):

Areal av sirkelen innenfor kvadratet

Det fargede arealet (symmetrisk differanse)

Det fargede området er de delene som tilhører enten sirkelen eller kvadratet, men ikke begge: