Kubikktall og induksjonsbevis
De fem første kubikktallene er \(1^{3}, 2^{3}, 3^{3}, 4^{3}\) og \(5^{3}\), se figuren over. La \(S_{n}\) være summen av de \(n\) første kubikktallene.
- Beskriv den rekursive sammenhengen mellom \(S_{n}\) og \(S_{n+1}\). Bestem en eksplisitt formel for \(S_{n}\).
- Lag et program som regner ut \(S_{50}\) ved å bruke den rekursive sammenhengen du fant i oppgave a.
- Bruk induksjonsbevis til å bevise den eksplisitte formelen for \(S_{n}\).
a) \(S_{n+1}=S_{n}+(n+1)^{3}\) og \(S_{n}=\frac{1}{4}\left( n^{4}+2n^{3}+n^{2} \right)\)
b) \(S_{50}=1\,625\,625\)
a
Jeg setter opp de første leddene og ser om jeg finner en rekursiv sammenheng som jeg kan bruke.
Jeg ser at hvert ledd er det forrige leddet, pluss det neste kubikktallet. En rekursiv sammenheng mellom summene er altså
For å bestemme en eksplisitt formel brukte jeg regresjon i GeoGebra.
En eksplisitt formel for summene er
b
Jeg bruker følgende program
S = 0 # starter summen på 0
for n in range(1, 51):
# kjører løkka 50 ganger
S = S + n**3 #legger n^3 til S
print(S)
Programmet gir at \(S_{50}=1 \, 625 \, 625\).
c
Påstanden vår er at
Vi viser først at formelen stemmer for \(k=1\).
Vi antar at formelen stemmer for \(k=n\). Vi finner \(S_{k+1}\).
Så finner vi \(S_{k+1}\) ved å bruke den rekursive formelen.
Vi tester om disse er identiske.
Venstre side er lik høyre side. Vi har vist at formlen gjelder for \(n=1\) og at dersom formelen gjelder for \(n=k\) så gjelder den også for \(n=k+1\). Vi har derfor bevist ved induksjon at følgende formel gjelder for summen av kubikktallene: