Figurtall 2PY v2025
Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små hvite og grønne kvadrater. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.
- Hvor mange små grønne kvadrater vil det være i figur \(5\)?
- Lag en formel for antallet hvite kvadrater i figur \(n\).
a) \(64\)
b) \(H_n=3n-2\)
c) \(G_n=2n^2+2n+4\)
a
Her kan man tegne opp de neste kvadratene for å vise hvordan man finner svaret, eller så må man beskrive mønsteret eller finne formelen.
Jeg velger å beskrive mønsteret ved å sette opp en oversikt.
Jeg ser at hele figuren er rektangler som øker med 2 i bredden og 1 i høyden for hver figur. De hvite feltene øker med 3 for hver figur. Jeg setter opp en oversikt.
| Figurnummer | Antall totalt | Antall hvite | Antall grønne |
|---|---|---|---|
| 1 | \(3 \cdot 3=9\) | 1 | 8 |
| 2 | \(5\cdot 4=20\) | 4 | 16 |
| 3 | \(7 \cdot 5=35\) | 7 | 28 |
| 4 | \(9\cdot 6=54\) | 10 | 44 |
| 5 | \(11 \cdot 7=77\) | 13 | 64 |
Det er 64 grønne ruter i figur 5.
b
Antallet hvite kvadrater øker med 3 for hver figur, og det starter på 1.
I figuren over har jeg delt opp figur nr 3 i 4 ulike deler. Jeg ser at vi har tre like deler med lengde 2 merket med lilla farge. Disse er altså 1 mindre enn figurtallet. I tillegg har vi en ekstra hvit rute som er fast i alle figurene, merket med rød farge. For figur 3 kunne vi altså skrevet opp antallet som \(3 \cdot 2 + 1\) eller ved å bruke figurnummeret \(\textcolor{seagreen}{3}\) kunne vi skrevet \(3 \cdot (\textcolor{seagreen}{3}-1) + 1\). Et generelt uttrykk for hvite ruter i figur nummer \(n\) blir derfor
c
Jeg har allerede sett at det er mulig å finne størrelsen av hele rektangelet og trekke fra de hvite feltene for å finne ut hvor mange grønne ruter det er. Det store rektangelet øker med 2 i bredden og 1 i høyden, og vi ser at bredden er \(2n+1\), mens høyden er \(n+2\). Altså er antall ruter i hele rektangelet
For å finne antallet grønne ruter så kan vi trekke fra antallet hvite ruter.
I figur nummer \(n\) er antallet grønne kvadrater gitt ved:
Vi kunne også funnet formelen for antallet grønne felter ved å dele opp de grønne feltene i mindre deler, se figuren.
a) (1 poeng) Riktig svar uten begrunnelse gir ingen uttelling. En riktig formel i oppgave c) gjelder som begrunnelse i oppgave a).
b) (1 poeng) En riktig formel som ikke er gjort rede for, gir full uttelling.
c) (1 poeng) En riktig formel som ikke er gjort rede for, gir full uttelling.