Figurtall 2PY v2025

Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små hvite og grønne kvadrater. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.

Oppgave

Hvor mange små grønne kvadrater vil det være i figur \(5\)?
Lag en formel for antallet hvite kvadrater i figur \(n\).

Fasit

a) \(64\)
b) \(H_n=3n-2\)
c) \(G_n=2n^2+2n+4\)

Løsningsforslag

a

Ulike måter å begrunne svaret på oppgave 1-6

Her kan man tegne opp de neste kvadratene for å vise hvordan man finner svaret, eller så må man beskrive mønsteret eller finne formelen.

Jeg velger å beskrive mønsteret ved å sette opp en oversikt.

Jeg ser at hele figuren er rektangler som øker med 2 i bredden og 1 i høyden for hver figur. De hvite feltene øker med 3 for hver figur. Jeg setter opp en oversikt.

Figurnummer	Antall totalt	Antall hvite	Antall grønne
1	\(3 \cdot 3=9\)	1	8
2	\(5\cdot 4=20\)	4	16
3	\(7 \cdot 5=35\)	7	28
4	\(9\cdot 6=54\)	10	44
5	\(11 \cdot 7=77\)	13	64

Det er 64 grønne ruter i figur 5.

b

Antallet hvite kvadrater øker med 3 for hver figur, og det starter på 1.

Figur 1: Oppdeling av figur 3 i oppgave 1-6b

I figuren over har jeg delt opp figur nr 3 i 4 ulike deler. Jeg ser at vi har tre like deler med lengde 2 merket med lilla farge. Disse er altså 1 mindre enn figurtallet. I tillegg har vi en ekstra hvit rute som er fast i alle figurene, merket med rød farge. For figur 3 kunne vi altså skrevet opp antallet som \(3 \cdot 2 + 1\) eller ved å bruke figurnummeret \(\textcolor{seagreen}{3}\) kunne vi skrevet \(3 \cdot (\textcolor{seagreen}{3}-1) + 1\). Et generelt uttrykk for hvite ruter i figur nummer \(n\) blir derfor

\[\underline{\underline{H_{n}=3 \cdot (n-1) + 1=3n-2}} \]

c

Jeg har allerede sett at det er mulig å finne størrelsen av hele rektangelet og trekke fra de hvite feltene for å finne ut hvor mange grønne ruter det er. Det store rektangelet øker med 2 i bredden og 1 i høyden, og vi ser at bredden er \(2n+1\), mens høyden er \(n+2\). Altså er antall ruter i hele rektangelet

\[\begin{aligned} \text{Antall ruter totalt} &= \left( 2n+1 \right) \cdot \left( n+2 \right)\\ &=2n \cdot n + 2n \cdot 2 + 1 \cdot n + 1 \cdot 2\\ &=2n^{2}+4n+n+2\\ &=2n^{2}+5n+2 \end{aligned} \]

For å finne antallet grønne ruter så kan vi trekke fra antallet hvite ruter.

\[\begin{aligned} \text{Antall grønne} &= \text{Antall ruter totalt} - \text{Antall hvite} \\ &=\left( 2n^{2}+5n+2 \right) - \left( 3n-2 \right) \\ &= 2n^{2}+ 5n +2 -3n +2 \\ &= 2n^{2}+5n-3n+2+2\\ &= 2n^{2}+2n+4 \end{aligned} \]

I figur nummer \(n\) er antallet grønne kvadrater gitt ved:

\[\underline{\underline{G_{n}=2n^{2}+2n+4}} \]

Oppdeling av figur 3 i oppgave 1-6c

Vi kunne også funnet formelen for antallet grønne felter ved å dele opp de grønne feltene i mindre deler, se figuren.

Det er ofte best å blande hvilke type oppgaver man gjør dersom du skal forberede deg til en prøve eller eksamen. Her er tre tilfeldige oppgaver i 2P-Y.

Oppgave	Fag	År	Oppg
Mønster med sirkler i figurer	2P-Y	V23	1-4
Pentagontall rekursiv og induksjon	R2	H23	2-2
Rekursiv sammenheng mellom pentagontall	S2	H23	2-4
Kubikktall og induksjonsbevis	R2	V24	2-4
Kubikktall	S2	V24	2-4
Figurtall med grønne kvadrater	1P	V25	1-6
Figurtall og programmering	1T	V25	2-4
Figurtall for firkanter med hjørnetapper	2P-Y	H24	1-4
Trekantmønster og programmering 2P-Y H25	2P-Y	H25	1-6
Femkanttall og programmering	1T, 1P	H25	1-6
Gråmønster i likesidet trekant	1T	H25	2-4
Figurtall 2P-Y v2024	2P-Y	V24	1-4
Sirkelfigurer og figurmønster	2P-Y	H23	1-5

Figurtall 2PY v2025

a

b

c

Relatert

Tilfeldige oppgaver i samme fag

Lignende oppgaver sortert etter tema

Figurtall