Polynomdivisjon og eksponentiallikning

a) Vis med polynomdivisjon
b) \(x \geq -1\), dvs. \(x \in [-1, \,\to \rangle\)
c) \(x = \ln 2\)

a

Vi prøver å finne et nullpunkt ved innsetting. Vi prøver \(x = -1\):

Så \((x+1)\) er en faktor. Vi utfører polynomdivisjon:

Vi faktoriserer kvotienten:

Dermed er

b

Vi skal løse \(f(x) \leq 0\), altså \(-2(x+1)(x-2)^2 \leq 0\).

Nullpunktene er \(x = -1\) og \(x = 2\). Faktoren \((x-2)^2 \geq 0\) alltid, og \(-2 < 0\), så fortegnet til \(f(x)\) bestemmes av \((x+1)\):

• For \(x < -1\): \((x+1) < 0\), så \(f(x) = -2 \cdot (\text{negativ}) \cdot (\text{positiv}) > 0\)
• For \(x > -1\): \((x+1) > 0\), så \(f(x) = -2 \cdot (\text{positiv}) \cdot (\text{positiv}) < 0\) (unntatt \(x=2\) der \(f=0\))

Løsningen er \(\underline{\underline{x \geq -1}}\).

c

Vi skal løse \(e^{3x} - 3e^{2x} + 4 = 0\).

Vi substituerer \(u = e^x\) (der \(u > 0\)):

Vi prøver \(u = 2\): \(8 - 12 + 4 = 0\) ✓

Vi utfører polynomdivisjon:

Altså \(u^3 - 3u^2 + 4 = (u-2)^2(u+1) = 0\), som gir \(u = 2\) eller \(u = -1\).

Siden \(u = e^x > 0\), forkaster vi \(u = -1\).

Fra \(e^x = 2\) får vi \(\underline{\underline{x = \ln 2}}\).