Polynomdivisjon og ulikhet
Polynomet \(P\) er gitt ved
\[P(x) = x^3 - 19x + 30
\]
Oppgave
- Utfør polynomdivisjonen \(P(x) : (x - 2)\).
- Løs ulikheten \(P(x) \geq 0\).
- Forkort brøken
\[\frac{x^3 - 19x + 30}{x^3 - 2x^2 - 9x + 18} \]
Fasit
a) \(P(x) : (x-2) = x^2 + 2x - 15\)
b) \(x \in [-5{,}\ 2] \cup [3{,}\ \to\rangle\)
c) \(\dfrac{x+5}{x+3}\)
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
a
Vi utfører polynomdivisjonen \(P(x) : (x - 2)\):
\[\begin{aligned}
&\quad (x^3 - 19x + 30) : (x - 2) = x^2 + 2x - 15 \\[4pt]
&\quad\underline{-(x^3 - 2x^2)} \\
&\quad\quad 2x^2 - 19x \\
&\quad\quad \underline{-(2x^2 - 4x)} \\
&\quad\quad\quad -15x + 30 \\
&\quad\quad\quad \underline{-(-15x + 30)} \\
&\quad\quad\quad\quad 0
\end{aligned}\]
Vi får \(P(x) = (x-2)(x^2 + 2x - 15)\).
b
Vi faktoriserer \(x^2 + 2x - 15\):
\[x^2 + 2x - 15 = (x + 5)(x - 3)
\]
Dermed er \(P(x) = (x-2)(x+5)(x-3)\) med nullpunkter \(x = -5\), \(x = 2\) og \(x = 3\).
Vi lager en fortegnslinje:
| \(x < -5\) | \(-5 < x < 2\) | \(2 < x < 3\) | \(x > 3\) | |
|---|---|---|---|---|
| \(P(x)\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) | \(+\) |
\[\underline{\underline{P(x) \geq 0 \quad \text{for} \quad x \in [-5{,}\ 2] \cup [3{,}\ \to\rangle}}
\]
c
Vi faktoriserer nevneren. Vi prøver \(x = 2\):
\[Q(2) = 8 - 8 - 18 + 18 = 0 \quad \checkmark
\]
Vi utfører \(Q(x) : (x-2)\) og får \(Q(x) = (x-2)(x^2 - 9) = (x-2)(x-3)(x+3)\).
Dermed:
\[\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{(x-2)(x+5)(x-3)}{(x-2)(x-3)(x+3)} = \underline{\underline{\frac{x+5}{x+3}}}
\]
der \(x \neq 2\) og \(x \neq 3\).