Ikke kvalitetssikret

Denne oppgaven er lest inn med KI og er ikke kontrollert enda. Det kan forekomme feil.

Oppgaven er hentet fra eksamen S2 V19 del 1 oppgave 6.

Tredjegradsfunksjon med transformasjon

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[f(x) = (x - 1)^2 \cdot (x - 4) \]

Oppgave

Bestem eventuelle toppunkter og bunnpunkter på grafen til \(f\).
Bestem eventuelle vendepunkter på grafen til \(f\).
Lag en skisse av grafen til \(f\).

Funksjonen \(g\) er gitt ved

\[g(x) = -2 \cdot f(x) + 3 \]

Oppgave

Bestem eventuelle toppunkter og bunnpunkter på grafen til \(g\).

Fasit

a) Toppunkt \((1, 0)\), bunnpunkt \((3, -4)\)
b) Vendepunkt \((2, -2)\)
c) Se løsningsforslag
d) Toppunkt \((3, 11)\), bunnpunkt \((1, 3)\)

Løsningsforslag

Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.

a

Vi utvider \(f(x)\):

\[f(x) = (x-1)^2(x-4) = (x^2 - 2x + 1)(x - 4) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4 \]

Deriverer:

\[f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3) \]

Setter \(f'(x) = 0\): \(x = 1\) eller \(x = 3\).

Fortegnslinje for \(f'(x)\):

\(x\)	\(x < 1\)	\(x = 1\)	\(1 < x < 3\)	\(x = 3\)	\(x > 3\)
\(f'(x)\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f\)	stiger		synker		stiger

\(f(1) = 0\): Toppunkt \(\underline{\underline{(1, 0)}}\)
\(f(3) = (3-1)^2(3-4) = 4 \cdot (-1) = -4\): Bunnpunkt \(\underline{\underline{(3, -4)}}\)

b

\[f''(x) = 6x - 12 = 0 \implies x = 2 \]

\(f''\) skifter fortegn i \(x = 2\) (fra negativ til positiv), så dette er et vendepunkt.

\[f(2) = (2-1)^2(2-4) = 1 \cdot (-2) = -2 \]

Vendepunkt \(\underline{\underline{(2, -2)}}\)

c

Grafen krysser \(x\)-aksen i \(x = 1\) (dobbeltrot) og \(x = 4\). Vi har toppunkt \((1, 0)\), bunnpunkt \((3, -4)\) og vendepunkt \((2, -2)\).

d

Siden \(g(x) = -2 \cdot f(x) + 3\), er grafen til \(g\) en speiling av \(f\) om \(x\)-aksen, strukket med faktor 2, og flyttet 3 opp. De stasjonære punktene har samme \(x\)-verdier:

\(f\) har toppunkt i \(x = 1 \implies g\) har bunnpunkt: \(g(1) = -2 \cdot 0 + 3 = 3\). Bunnpunkt \(\underline{\underline{(1, 3)}}\)
\(f\) har bunnpunkt i \(x = 3 \implies g\) har toppunkt: \(g(3) = -2 \cdot (-4) + 3 = 11\). Toppunkt \(\underline{\underline{(3, 11)}}\)

Relatert

Tilfeldige oppgaver i samme fag

Det er ofte best å blande hvilke type oppgaver man gjør dersom du skal forberede deg til en prøve eller eksamen. Her er tre tilfeldige oppgaver i S2.

Lignende oppgaver sortert etter tema

Funksjonsdrøfting

Oppgave	Fag	År	Oppg
Polynomdivisjon og funksjonsdrøfting	S2	H19	1-5
Tredjegradsfunksjon og vannstand	S2	V20	1-5
Tredjegradsfunksjon med vendetangent	S2	H20	1-5
Bestemme koeffisienter i tredjegradsfunksjon	S2	V21	1-5
Logaritmefunksjon med drøfting	S2	V21	1-6
Logaritmefunksjon ln x delt på x	S2	H21	1-5
Tredjegradsfunksjon med nullpunkter og vendetangent	S2	V22	1-2
Funksjonsdrøfting med eksponentialfaktor	S2	H22	1-7
Gjennomsnittstemperatur på Svalbard og den deriverte	1T	V23	2-1
Skisser grafen ut fra den deriverte v23	1T	V23	1-5
Har alle fjerdegradsfunksjoner ekstremalpunkt	S1, R1	V23	2-2b
Påstander om tredjegradsfunksjon	S1, R1	H23	2-6
Stykkevis funksjon med parameter k	R1	H23	2-2
Lukket kurve med tre funksjoner	1T	V24	2-7
Innskrevet rektangel og Lars sitt program	S1, R1	V24	2-7
Finne verdi programmet skriver ut	S1, R1	H24	1-2
Omvendt funksjon fra graf	R1	H24	2-5
Optimalisering av parkeringsinntekt	S1	H24	2-5
Overskuddsoptimalisering for båtmotorer	S1	H24	2-6
Bunnpunkt på faktorisert andregradsfunksjon	1T	H24	1-2
Løs tredjegradsulikhet og illustrer grafisk	1T	H24	1-3
Optimalisering av grønnsakhage med 100 m gjerde	1T	H24	2-7
Tredjegradsfunksjon fra punkt, toppunkt og tangent	1T	H24	2-5
Nullpunkter og ekstremalpunkter for g	S1	V25	1-2
Nullpunkter og ekstremalpunkter med produkt	R1	V25	1-2
T-skjorter, inntekt og overskudd	S1	V25	2-5
Funksjonsdrøfting og halveringsmetode	R1	H25	1-5
Grafer og dobbeltderivert	R1	H25	2-6

Derivasjon

Oppgave	Fag	År	Oppg
Derivasjon av tre typer funksjoner	S2	V19	1-1
Derivasjon av funksjoner	S2	H19	1-1
Inntektsfunksjon med eksponential	S2	H19	2-2
Polynomdivisjon og funksjonsdrøfting	S2	H19	1-5
Enkel derivasjon	S2	V20	1-1
Kostnadsfunksjon og tangent	S2	V20	1-6
Overskuddsfunksjon og prisfunksjon	S2	V20	2-3
Tredjegradsfunksjon og vannstand	S2	V20	1-5
Derivasjon av sammensatte funksjoner	S2	H20	1-1
Enhetskostnad og grensekostnad	S2	H20	1-6
Logaritmefunksjon uten ekstremalpunkter	S2	H20	1-8
Tredjegradsfunksjon med vendetangent	S2	H20	1-5
Derivasjon med logaritme og eksponential	S2	V21	1-1
Logaritmefunksjon med drøfting	S2	V21	1-6
Derivasjon med eksponential og logaritme	S2	H21	1-1
Logaritmefunksjon ln x delt på x	S2	H21	1-5
Skisalg med tredjegradsmodell	1T	H21	2-1
Skisser den deriverte til tredjegradsfunksjon	1T	H21	1-5
Største rektangel i likebeint rettvinklet trekant	1T	H21	2-8
Tangent til 1 delt på x og arealet av OAB	1T	H21	2-6
Andregradsfunksjon fra tangentstigninger	1T	V22	2-5
Derivasjon av tre funksjoner	S2	V22	1-1
Tredjegradsfunksjon med nullpunkter og vendetangent	S2	V22	1-2
Tredjegradsfunksjon med parameter b og tangenter	1T	V22	2-6
Vanntank som tappes ut	1T, 1P	V22	2-1
Andregradsfunksjon fra to tangentlikninger	1T	H22	1-4
Bakterievekst i avfall	S2	H22	2-1
Deriver eksponential- og logaritmefunksjon	S2	H22	1-1
Funksjonsdrøfting med eksponentialfaktor	S2	H22	1-7
Hagebasseng som kjøles ned	1T, 1P	H22	2-1
Største areal i rektangel med omkrets 64	1T, 1P	H22	2-6
Avgjør påstander om funksjoner	R1	V23	2-3
Avstand fra punkt til linje og graf	R1	V23	2-6
Derivasjon av eksponential og logaritme	R1	V23	1-1
Grønnsaksporsjoner og potensfunksjon	2P-Y	V23	2-7
Optimering av rektangelareal og program	R1	V23	1-4
Banefart til 3D-printer	R2	V23	2-3
Tangens, derivert og integral	R2	V23	1-2
Gjennomsnittstemperatur på Svalbard og den deriverte	1T	V23	2-1
Grensekostnader fra graf v23	S2	V23	1-2
Skisser grafen ut fra den deriverte v23	1T	V23	1-5
Deriver logaritmefunksjon	S1	V23	1-2
Regresjon på størrelsen av det norske musikkstrømmemarkedet	S2, R2	V23	2-2
Grenseverdi når x går mot 2	S1, R1	V23	1-3
Cauchys middelverdisetning	R1	H23	2-6
Ishockeypuck med vektorfunksjon	R1	H23	2-5
Kasse uten lokk	S1, R1	H23	2-5
Konsentrasjon i kjemisk reaksjon	R1	H23	2-1
Påstander om tredjegradsfunksjon	S1, R1	H23	2-6
Stykkevis funksjon med parameter k	R1	H23	2-2
Deriver x ln(x)	R1	H23	1-1
Tolk og fiks program som finner bunnpunkt	R1	H23	1-4
Avstand mellom to funksjoner	1T	H23	2-5
Folketall i et område	1T	H23	2-1
Rektangel under graf	1T	H23	2-7
Tangent til tredjegradsfunksjon	1T	H23	1-3
Tidevann og trigonometrisk modell	R2	H23	2-1
Tredjegradsfunksjon med ukjente koeffisienter	1T	H23	2-6
Grensekostnader og enhetskostnader fra graf	S2	H23	1-3
Modell for etterspørsel av vare	S2	H23	2-1
Modellering av bagettsalg	1T, 1P	V24	2-1
Tangent fra derivertgraf	1T	V24	2-6
Derivasjon med produktregel og ln	S1, R1	V24	1-1
Edison biler – overskudd og enhetskostnad	S1	V24	2-1
Influensaepidemi og logistisk vekst	R1	V24	2-1
Innskrevet rektangel og Lars sitt program	S1, R1	V24	2-7
Pyramide i halvkule – størst mulig volum	S1, R1	V24	2-8
Påstander om logaritme, derivasjon og invers	R1	V24	2-2
To biler på kryss og motorvei	R1	V24	2-3
Sensor for utelys og trigonometri	R2	V24	2-3
Logistisk vekst for et produkt	S2	V24	2-1
Derivasjon av eksponentialfunksjon	S1, R1	H24	1-1
Fiskepopulasjon og logistisk modell	R1	H24	2-3
Identifiser funksjon fra vekstfart og derivert	S1, R1	H24	1-6
Optimalisering av parkeringsinntekt	S1	H24	2-5
Overskuddsoptimalisering for båtmotorer	S1	H24	2-6
Posisjonsvektorer for småfugler og rovfugl	R1	H24	2-6
Påstander om grenseverdi og deriverbarhet	R1	H24	2-2
Vannreservoar med eksponentiell funksjon	R1	H24	2-1
Avisabonnenter, sekant og momentan vekstfart	1T	H24	2-1
Ball i bevegelse med posisjonsvektor	R2	H24	2-1
Russebil med trigonometrisk fartsfunksjon	R2	H24	2-4
Tredjegradsfunksjon fra punkt, toppunkt og tangent	1T	H24	2-5
Grensekostnad og enhetskostnad del 1	S2	H24	1-5
Marcos logistiske løpetrening	S2	H24	2-1
Bil på spiralvei i parkeringshus	R2	V25	2-1
Harens fart og gjennomsnittsfart	R2	V25	2-3
Grenseinntekt og grensekostnad på del 2	S2	V25	2-1
Logistisk salg av brannvarslingssystemer	S2	V25	2-3
Derivasjon av eksponential og potensfunksjon	S1, R1	V25	1-1
Funksjon med delt forskrift og ukjent ledd	S1	V25	2-2
Kontinuitet og deriverbarhet stykkevis	R1	V25	1-5
Logistisk vekstmodell batteriteknologi	R1	V25	2-1
Nullpunkter og ekstremalpunkter for g	S1	V25	1-2
Nullpunkter og ekstremalpunkter med produkt	R1	V25	1-2
Omvendt funksjon og tangentlikninger	R1	V25	2-2
Stykkevis funksjon med ukjent uttrykk	R1	V25	2-3
T-skjorter, inntekt og overskudd	S1	V25	2-5
Tangent til ln og trekantareal	R1	V25	2-5
Miniubåt, fart og kollisjon med fiskestim	R2	H25	2-1
Derivasjon og graffortolkning	R1	H25	1-1
Derivasjon og tolkning av stigningstall	S1	H25	1-1
Eksponentiell modell for befolkningsvekst	S1	H25	2-1
Funksjonsdrøfting og halveringsmetode	R1	H25	1-5
Grafer og dobbeltderivert	R1	H25	2-6
Kostnad, pris og overskudd	S1	H25	2-4
Logistisk vekstmodell	R1	H25	2-1
Stykkevis funksjon og deriverbarhet	R1	H25	2-2
Topp- og bunnpunkter med ln	S1	H25	1-5
Grensekostnader, enhetskostnader og overskudd	S2	H25	2-2
Logistisk plantesalg	S2	H25	2-1
Størst mulig rektangel under kurve	1T	H25	2-5
Tangent til parabel og lagerhall	1T	H25	2-6
Vekt og lengde potensfunksjon	1T	H25	2-1
Bakteriekulturer - eksponentialvekst S2 V26	S2	V26	2-1
Datatrafikk og sinusmodell R2 V26	R2	V26	2-1
Propellfly med vektorfunksjon R2 V26	R2	V26	2-3
Derivert av andregradsfunksjon fra tangent 1T V26	1T	V26	1-9
Derivasjon av polynom og brøk R1 V26	R1	V26	1-1
Derivasjon med brøk og kjerneregel S1 V26	S1	V26	1-1
Derivert av omvendt funksjon til ln R1 V26	R1	V26	1-6
Logistisk modell for raketthastighet R1 V26	R1	V26	2-1
Maksimalt rektangel under eksponentialgraf R1 V26	R1, S1	V26	2-3
Potensregresjon for volum og radius S1 V26	S1	V26	2-1
Python-kode for stasjonære punkter R1 V26	R1	V26	1-9
Tangent fra origo til eksponentialfunksjon R1 V26	R1	V26	2-5
Topp- og bunnpunkt for eksponentialfunksjon R1 V26	R1, S1	V26	1-2
Vekstfart fra graf S1 V26	S1	V26	1-6