Oppgaven er gitt ved flere eksamener: R1, S1.Oppgaven er hentet fra eksamen R1 V26 del 1 oppgave 2.

Topp- og bunnpunkt for eksponentialfunksjon R1 V26

En funksjon \(f\) er gitt ved

\[f(x) = e^x(6 - e^x) \]

Oppgave

Bestem eventuelle nullpunkter til funksjonen \(f\).
Vis at \(f'(x) = 2e^x(3 - e^x)\).
Bestem koordinatene til eventuelle topp- eller bunnpunkter på grafen til \(f\). Avgjør om eventuelle punkter er topp- eller bunnpunkter.

Fasit

a) \(\underline{\underline{x = \ln 6}}\)
b) Se løsningsforslag.
c) Toppunkt \(\underline{\underline{(\ln 3,\ 9)}}\)

Løsningsforslag

Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.

a

Vi har nullpunkter når en av faktorene \(e^{x}\) eller \((6-e^{x})\) er lik \(0\). \(e^{x}\) kan aldri være \(0\), derfor trenger vi kun sjekke når \(6-e^{x}=0\).

\[6-e^{x}=0 \iff 6 = e^{x} \implies \ln 6 = x \]

\(f\) har nullpunkt når \(\underline{\underline{ x=\ln 6 }}\).

b

Vi skriver om funksjonen som \(f(x) = 6e^x - e^{2x}\) og deriverer ledd for ledd:

\[\begin{aligned} f'(x) &= 6e^x - 2e^{2x} \\ &= 2(3e^{x}-e^{x}\cdot e^{x}) \\ &= 2e^x(3 - e^x) \end{aligned}\]

c

Vi setter \(f'(x) = 0\):

\[2e^x(3 - e^x) = 0 \]

Siden \(e^x > 0\) for alle \(x\), må:

\[3 - e^x = 0 \implies e^x = 3 \implies x = \ln 3 \]

Vi lager et fortegnsskjema for \(f'(x) = 2e^x(3 - e^x)\):

\(x\)	\((-\infty,\ \ln 3)\)	\(\ln 3\)	\((\ln 3,\ \infty)\)
\(2e^x\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)
\(3 - e^x\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)
\(f'(x)\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)
\(f\)	\(\nearrow\)	topp	\(\searrow\)

Siden \(f'\) skifter fortegn fra \(+\) til \(-\) i \(x = \ln 3\), er dette et toppunkt.

Funksjonsverdien i toppunktet:

\[f(\ln 3) = e^{\ln 3}\cdot(6 - e^{\ln 3}) = 3 \cdot (6 - 3) = 3 \cdot 3 = 9 \]

Grafen har ett toppunkt: \(\underline{\underline{ (\ln 3,\ 9) }}\).

Relatert

Tilfeldige oppgaver i samme fag

Det er ofte best å blande hvilke type oppgaver man gjør dersom du skal forberede deg til en prøve eller eksamen. Her er tre tilfeldige oppgaver i R1, S1.

Lignende oppgaver sortert etter tema

Derivasjon

Oppgave	Fag	År	Oppg
Derivasjon av tre typer funksjoner	S2	V19	1-1
Tredjegradsfunksjon med transformasjon	S2	V19	1-6
Derivasjon av funksjoner	S2	H19	1-1
Inntektsfunksjon med eksponential	S2	H19	2-2
Polynomdivisjon og funksjonsdrøfting	S2	H19	1-5
Enkel derivasjon	S2	V20	1-1
Kostnadsfunksjon og tangent	S2	V20	1-6
Overskuddsfunksjon og prisfunksjon	S2	V20	2-3
Tredjegradsfunksjon og vannstand	S2	V20	1-5
Derivasjon av sammensatte funksjoner	S2	H20	1-1
Enhetskostnad og grensekostnad	S2	H20	1-6
Logaritmefunksjon uten ekstremalpunkter	S2	H20	1-8
Tredjegradsfunksjon med vendetangent	S2	H20	1-5
Derivasjon med logaritme og eksponential	S2	V21	1-1
Logaritmefunksjon med drøfting	S2	V21	1-6
Derivasjon med eksponential og logaritme	S2	H21	1-1
Logaritmefunksjon ln x delt på x	S2	H21	1-5
Skisalg med tredjegradsmodell	1T	H21	2-1
Skisser den deriverte til tredjegradsfunksjon	1T	H21	1-5
Største rektangel i likebeint rettvinklet trekant	1T	H21	2-8
Tangent til 1 delt på x og arealet av OAB	1T	H21	2-6
Andregradsfunksjon fra tangentstigninger	1T	V22	2-5
Derivasjon av tre funksjoner	S2	V22	1-1
Tredjegradsfunksjon med nullpunkter og vendetangent	S2	V22	1-2
Tredjegradsfunksjon med parameter b og tangenter	1T	V22	2-6
Vanntank som tappes ut	1T, 1P	V22	2-1
Andregradsfunksjon fra to tangentlikninger	1T	H22	1-4
Bakterievekst i avfall	S2	H22	2-1
Deriver eksponential- og logaritmefunksjon	S2	H22	1-1
Funksjonsdrøfting med eksponentialfaktor	S2	H22	1-7
Hagebasseng som kjøles ned	1T, 1P	H22	2-1
Største areal i rektangel med omkrets 64	1T, 1P	H22	2-6
Avgjør påstander om funksjoner	R1	V23	2-3
Avstand fra punkt til linje og graf	R1	V23	2-6
Derivasjon av eksponential og logaritme	R1	V23	1-1
Grønnsaksporsjoner og potensfunksjon	2P-Y	V23	2-7
Optimering av rektangelareal og program	R1	V23	1-4
Banefart til 3D-printer	R2	V23	2-3
Tangens, derivert og integral	R2	V23	1-2
Gjennomsnittstemperatur på Svalbard og den deriverte	1T	V23	2-1
Grensekostnader fra graf v23	S2	V23	1-2
Skisser grafen ut fra den deriverte v23	1T	V23	1-5
Deriver logaritmefunksjon	S1	V23	1-2
Regresjon på størrelsen av det norske musikkstrømmemarkedet	S2, R2	V23	2-2
Grenseverdi når x går mot 2	S1, R1	V23	1-3
Cauchys middelverdisetning	R1	H23	2-6
Ishockeypuck med vektorfunksjon	R1	H23	2-5
Kasse uten lokk	S1, R1	H23	2-5
Konsentrasjon i kjemisk reaksjon	R1	H23	2-1
Påstander om tredjegradsfunksjon	S1, R1	H23	2-6
Stykkevis funksjon med parameter k	R1	H23	2-2
Deriver x ln(x)	R1	H23	1-1
Tolk og fiks program som finner bunnpunkt	R1	H23	1-4
Avstand mellom to funksjoner	1T	H23	2-5
Folketall i et område	1T	H23	2-1
Rektangel under graf	1T	H23	2-7
Tangent til tredjegradsfunksjon	1T	H23	1-3
Tidevann og trigonometrisk modell	R2	H23	2-1
Tredjegradsfunksjon med ukjente koeffisienter	1T	H23	2-6
Grensekostnader og enhetskostnader fra graf	S2	H23	1-3
Modell for etterspørsel av vare	S2	H23	2-1
Modellering av bagettsalg	1T, 1P	V24	2-1
Tangent fra derivertgraf	1T	V24	2-6
Derivasjon med produktregel og ln	S1, R1	V24	1-1
Edison biler – overskudd og enhetskostnad	S1	V24	2-1
Influensaepidemi og logistisk vekst	R1	V24	2-1
Innskrevet rektangel og Lars sitt program	S1, R1	V24	2-7
Pyramide i halvkule – størst mulig volum	S1, R1	V24	2-8
Påstander om logaritme, derivasjon og invers	R1	V24	2-2
To biler på kryss og motorvei	R1	V24	2-3
Sensor for utelys og trigonometri	R2	V24	2-3
Logistisk vekst for et produkt	S2	V24	2-1
Derivasjon av eksponentialfunksjon	S1, R1	H24	1-1
Fiskepopulasjon og logistisk modell	R1	H24	2-3
Identifiser funksjon fra vekstfart og derivert	S1, R1	H24	1-6
Optimalisering av parkeringsinntekt	S1	H24	2-5
Overskuddsoptimalisering for båtmotorer	S1	H24	2-6
Posisjonsvektorer for småfugler og rovfugl	R1	H24	2-6
Påstander om grenseverdi og deriverbarhet	R1	H24	2-2
Vannreservoar med eksponentiell funksjon	R1	H24	2-1
Avisabonnenter, sekant og momentan vekstfart	1T	H24	2-1
Ball i bevegelse med posisjonsvektor	R2	H24	2-1
Russebil med trigonometrisk fartsfunksjon	R2	H24	2-4
Tredjegradsfunksjon fra punkt, toppunkt og tangent	1T	H24	2-5
Grensekostnad og enhetskostnad del 1	S2	H24	1-5
Marcos logistiske løpetrening	S2	H24	2-1
Bil på spiralvei i parkeringshus	R2	V25	2-1
Harens fart og gjennomsnittsfart	R2	V25	2-3
Grenseinntekt og grensekostnad på del 2	S2	V25	2-1
Logistisk salg av brannvarslingssystemer	S2	V25	2-3
Derivasjon av eksponential og potensfunksjon	S1, R1	V25	1-1
Funksjon med delt forskrift og ukjent ledd	S1	V25	2-2
Kontinuitet og deriverbarhet stykkevis	R1	V25	1-5
Logistisk vekstmodell batteriteknologi	R1	V25	2-1
Nullpunkter og ekstremalpunkter for g	S1	V25	1-2
Nullpunkter og ekstremalpunkter med produkt	R1	V25	1-2
Omvendt funksjon og tangentlikninger	R1	V25	2-2
Stykkevis funksjon med ukjent uttrykk	R1	V25	2-3
T-skjorter, inntekt og overskudd	S1	V25	2-5
Tangent til ln og trekantareal	R1	V25	2-5
Miniubåt, fart og kollisjon med fiskestim	R2	H25	2-1
Derivasjon og graffortolkning	R1	H25	1-1
Derivasjon og tolkning av stigningstall	S1	H25	1-1
Eksponentiell modell for befolkningsvekst	S1	H25	2-1
Funksjonsdrøfting og halveringsmetode	R1	H25	1-5
Grafer og dobbeltderivert	R1	H25	2-6
Kostnad, pris og overskudd	S1	H25	2-4
Logistisk vekstmodell	R1	H25	2-1
Stykkevis funksjon og deriverbarhet	R1	H25	2-2
Topp- og bunnpunkter med ln	S1	H25	1-5
Grensekostnader, enhetskostnader og overskudd	S2	H25	2-2
Logistisk plantesalg	S2	H25	2-1
Størst mulig rektangel under kurve	1T	H25	2-5
Tangent til parabel og lagerhall	1T	H25	2-6
Vekt og lengde potensfunksjon	1T	H25	2-1
Bakteriekulturer - eksponentialvekst S2 V26	S2	V26	2-1
Datatrafikk og sinusmodell R2 V26	R2	V26	2-1
Propellfly med vektorfunksjon R2 V26	R2	V26	2-3
Derivert av andregradsfunksjon fra tangent 1T V26	1T	V26	1-9
Derivasjon av polynom og brøk R1 V26	R1	V26	1-1
Derivasjon med brøk og kjerneregel S1 V26	S1	V26	1-1
Derivert av omvendt funksjon til ln R1 V26	R1	V26	1-6
Logistisk modell for raketthastighet R1 V26	R1	V26	2-1
Maksimalt rektangel under eksponentialgraf R1 V26	R1, S1	V26	2-3
Potensregresjon for volum og radius S1 V26	S1	V26	2-1
Python-kode for stasjonære punkter R1 V26	R1	V26	1-9
Tangent fra origo til eksponentialfunksjon R1 V26	R1	V26	2-5
Vekstfart fra graf S1 V26	S1	V26	1-6

Eksponentialfunksjon

Oppgave	Fag	År	Oppg
Bakteriekulturer - eksponentialvekst S2 V26	S2	V26	2-1
Moores lov og bitrate	1P-Y EL	V26	2-2
Moores lov og iPhone-lagring	1P-Y IM	V26	1-5
Tolke fuglebestand i Python-kode 1P V26	1P	V26	1-13
Vipebestand med eksponentielle modeller 1T V26	1P, 1T	V26	2-3
Eksponentiell modell for utslippsreduksjon 2P-Y V26	2P-Y, 2P	V26	2-1
Maksimalt rektangel under eksponentialgraf R1 V26	R1, S1	V26	2-3
Tangent fra origo til eksponentialfunksjon R1 V26	R1	V26	2-5