Tredjegradsfunksjon med vendetangent
Funksjonen \(f\) er gitt ved
\[f(x) = x^3 - 12x - 16
\]
Oppgave
- Bestem koordinatene til toppunktet og bunnpunktet på grafen til \(f\).
- Bestem koordinatene til vendepunktet og en likning for vendetangenten til grafen til \(f\).
- Lag en skisse av grafen til \(f\) sammen med vendetangenten.
Fasit
a) Toppunkt \((-2, 0)\), bunnpunkt \((2, -32)\)
b) Vendepunkt \((0, -16)\), vendetangent \(y = -12x - 16\)
c) Skisse
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
a
\[f(x) = x^3 - 12x - 16
\]
\[f'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4) = 3(x-2)(x+2)
\]
Vi setter \(f'(x) = 0\):
\[x = -2 \quad \text{eller} \quad x = 2
\]
Vi bruker andrederiverten til å klassifisere:
\[f''(x) = 6x
\]
- \(f''(-2) = -12 < 0\): toppunkt i \((-2, f(-2)) = (-2, 0)\)
- \(f''(2) = 12 > 0\): bunnpunkt i \((2, f(2)) = (2, -32)\)
b
Vendepunktet er der \(f''(x) = 0\):
\[6x = 0 \implies x = 0
\]
\[f(0) = 0 - 0 - 16 = -16
\]
Vendepunktet er \((0, -16)\).
Vendetangenten har stigningstall \(f'(0)\):
\[f'(0) = 3 \cdot 0 - 12 = -12
\]
Likningen for vendetangenten:
\[y - (-16) = -12(x - 0) \implies \underline{\underline{y = -12x - 16}}
\]
c
Grafen til \(f\) har:
- Nullpunkt i \(x = -2\) (dobbelt, toppunkt) og \(x = 4\)
- Toppunkt i \((-2, 0)\)
- Bunnpunkt i \((2, -32)\)
- Vendepunkt i \((0, -16)\)
Vendetangenten \(y = -12x - 16\) skjærer grafen i vendepunktet og har stigningstall \(-12\).