Logaritmefunksjon ln x delt på x
Funksjonen \(f\) er gitt ved
\[f(x) = \frac{\ln x}{x}
\]
Oppgave
- Vis at \(f'(x) = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}\).
- Bestem eventuelle toppunkt og bunnpunkt på grafen til \(f\).
Funksjonen \(g\) er gitt ved
\[g(x) = 3 - 6e \cdot f(x)
\]
Oppgave
- Bestem eventuelle toppunkt og bunnpunkt på grafen til \(g\).
Fasit
a) Se løsningsforslag
b) Toppunkt \((e, e^{-1})\)
c) Bunnpunkt \((e, -3)\)
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
a
Vi deriverer \(f(x) = \dfrac{\ln x}{x}\) med kvotientregelen:
\[f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}
\]
b
Vi setter \(f'(x) = 0\):
\[\frac{1 - \ln x}{x^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad 1 - \ln x = 0 \quad \Rightarrow \quad \ln x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = e
\]
Siden \(x^2 > 0\) for alle \(x > 0\), bestemmes fortegnet til \(f'(x)\) av telleren \(1 - \ln x\):
- For \(x < e\): \(\ln x < 1\), så \(f'(x) > 0\) (voksende)
- For \(x > e\): \(\ln x > 1\), så \(f'(x) < 0\) (avtagende)
\(f\) skifter fra voksende til avtagende, altså har vi et toppunkt:
\[f(e) = \frac{\ln e}{e} = \frac{1}{e}
\]
\[\underline{\underline{\text{Toppunkt: } \left(e{,}\ \frac{1}{e}\right) \approx (2{,}72{,}\ 0{,}37)}}
\]
Det er ingen bunnpunkter.
c
\[g(x) = 3 - 6e \cdot f(x) = 3 - \frac{6e \cdot \ln x}{x}
\]
Vi deriverer:
\[g'(x) = -6e \cdot f'(x) = -6e \cdot \frac{1 - \ln x}{x^2}
\]
\(g'(x) = 0\) gir \(1 - \ln x = 0\), altså \(x = e\) (samme som for \(f\)).
Fortegnsanalyse: Siden \(-6e < 0\), snur \(g'\) fortegnet sammenlignet med \(f'\):
- For \(x < e\): \(g'(x) < 0\) (avtagende)
- For \(x > e\): \(g'(x) > 0\) (voksende)
\(g\) skifter fra avtagende til voksende, altså har vi et bunnpunkt:
\[g(e) = 3 - 6e \cdot \frac{1}{e} = 3 - 6 = -3
\]
\[\underline{\underline{\text{Bunnpunkt: } (e, -3) \approx (2{,}72{,}\ {-3})}}
\]