Kostnads- og inntektsfunksjoner - graftolkning S2 V26
En bedrift modellerer kostnader og inntekter ved produksjon og salg av \(x\) enheter av to ulike varer. Figuren nedenfor viser grafene til kostnads- og inntektsfunksjonene.
Kostnadsfunksjonene er modellert som andregradsfunksjoner, og inntektsfunksjonene er modellert som lineære funksjoner.
Verdiene langs andreaksen er kroner.
- Hvilken av varene vil kunne gi størst overskudd? Husk å begrunne svaret. Hvor mange enheter av denne varen må bedriften produsere og selge for å få størst mulig overskudd?
- Bestem prisforskjellen mellom vare 1 og vare 2.
Bedriften vil se nærmere på modellene for vare 2. Figuren nedenfor viser grafene til inntektsfunksjonen \(I_2\), kostnadsfunksjonen \(K_2\) og tangentene til \(K_2\) i punktene \((0, K_2(0))\) og \((40, K_2(40))\).
- Forklar hvordan du kan bruke figuren til å bestemme lavest mulig enhetskostnad, og bestem denne enhetskostnaden.
- Bruk figuren til å finne funksjonsuttrykkene \(K_2(x)\) og \(I_2(x)\).
a) Vare 2 ved \(x=50\)
b) 80 kr
c) 100 kr
d) \(K_{2}(x)=x^{2}+20x+1600\) og \(I_{2}(x)=120x\)
a
Avstanden mellom inntekts- og kostnadsfunksjonen (\(I(x)-K(x)\)) er størst for vare 2. Derfor vil denne varen kunne gi det største overskuddet.
Vi har størst overskudd når avstanden mellom \(I(x)\) og \(K(x)\) er størst mulig og tangentene til begge funksjonene peker i samme retning (\(I'(x)=K'(x)\)). Fra grafene ser det ut til å være omtrent ved \(x=50\).
Vare 2 gir størst overskudd, og det skjer ved salg og produksjon av 50 enheter.
b
- Inntekten ved salg av 100 enheter for vare 1 er 20 000 kr. Det betyr at hver enhet selges for 200 kr.
- Inntekten ved salg av 100 enheter for vare 2 er 12 000 kr. Det betyr at hver enhet selges for 120 kr.
Prisforskjellen mellom varene er 80 kr.
c
Vi har lavest enhetskostnad når \(E(x)=K'(x)\), og siden tangenten ved \(x=40\) går gjennom origo så kan vi være sikre på at \(x=40\) gir de laveste enhetskostnadene. Ved \(x=40\) så er jo \(K'(x)=100\) og \(E(x)=\frac{4000}{40}=100\).
De laveste enhetskostnadene er 100 kr.
d
Inntektsfunksjonen er lineær. Vi ser at konstantleddet er 0. Stigningstallet kan vi finne ved å bruke \((0,0)\) og \((50, 6000)\) som punkter.
Kostnadsfunksjonen er en andregradsfunksjon med generelt uttrykk \(ax^{2}+bx+c\). Vi ser at grafen skjærer \(y\)-aksen ved \(y=1600\) så \(c=1600\). Den deriverte til \(K_{2}(x)\) blir
Vi vet at \(K_{2}'(0)=20\) og \(K_{2}'(40)=100\). Vi kan derfor sette opp to likninger
Vi setter inn i andregradsuttrykket og får \(1x^{2}+20x+1600\).
\(K_{2}(x)=x^{2}+20x+1600\) og \(I_{2}(x)=120x\).