Ikke kvalitetssikret

Denne oppgaven er lest inn med KI og er ikke kontrollert enda. Det kan forekomme feil.

Oppgaven er hentet fra eksamen S2 V21 del 2 oppgave 1.

Enhetskostnad og prisreduksjon

En bedrift produserer og selger en vare. De månedlige enhetskostnadene, \(E\), ved å produsere og selge \(x\) enheter av denne varen er gitt ved

\[E(x) = \frac{9000}{x} + 0{,}02x + 160, \quad x \in [100, 3000] \]

Oppgave

Tegn grafen til \(E\).
Hvor mange enheter av varen må bedriften produsere og selge for at enhetskostnaden skal bli minst mulig?

Varen selges for 270 kroner per enhet.

Oppgave

Bestem hvilken produksjonsmengde som gir størst overskudd. Hvor stort er dette overskuddet?

Bedriften vil sette ned prisen på varen for å øke sin markedsandel. Eieren av bedriften går med på dette, men krever at overskuddet må være minst 100 000 kroner per måned.

Oppgave

Hvilken pris per enhet vil gjøre at det største overskuddet kan bli 100 000 kroner? Hvor mange enheter må de selge da?

Fasit

a) Se graf
b) Omtrent 671 enheter, \(E \approx 186{,}83 \mathrm{~kr}\)
c) 2750 enheter, overskudd \(142\,250 \mathrm{~kr}\)
d) Pris \(\approx 253{,}38 \mathrm{~kr}\), antall \(\approx 2335\) enheter

Løsningsforslag

Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.

a

Vi tegner grafen til \(E\) i GeoGebra.

Graf av enhetskostnaden E

b

Vi finner minimum av \(E\) ved å derivere og sette lik null.

\[E'(x) = -\frac{9000}{x^2} + 0{,}02 = 0 \]

Vi løser i CAS (se linje 2 i utklippet):

CAS-utregning for enhetskostnad

Vi får \(x = 300\sqrt{5} \approx 671\) (vi ser bort fra den negative løsningen).

Se punkt A i grafen: \(\underline{\underline{x \approx 671 \text{ enheter og } E \approx 186{,}83 \mathrm{~kr}}}\)

c

Kostnadene er \(K(x) = E(x) \cdot x = 9000 + 0{,}02x^2 + 160x\).

Overskuddet er

\[O(x) = 270x - K(x) = 270x - 9000 - 0{,}02x^2 - 160x = -0{,}02x^2 + 110x - 9000 \]

Vi finner maksimum: \(O'(x) = -0{,}04x + 110 = 0\), som gir \(x = 2750\) (se linje 6 i CAS-utklippet).

\[O(2750) = -0{,}02 \cdot 2750^2 + 110 \cdot 2750 - 9000 = \underline{\underline{142\,250 \mathrm{~kr}}} \]

d

Med en ny pris \(p\) per enhet blir overskuddet

\[O(x) = px - K(x) = (p - 160)x - 0{,}02x^2 - 9000 \]

Maksimalt overskudd finner vi ved \(O'(x) = 0\):

\[p - 160 - 0{,}04x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{p - 160}{0{,}04} \]

Vi setter inn i \(O\):

\[O_{\max} = (p-160) \cdot \frac{p-160}{0{,}04} - 0{,}02 \cdot \left(\frac{p-160}{0{,}04}\right)^2 - 9000 = \frac{(p-160)^2}{0{,}08} - 9000 \]

Vi setter \(O_{\max} = 100\,000\):

\[\frac{(p-160)^2}{0{,}08} = 109\,000 \quad \Rightarrow \quad (p-160)^2 = 8720 \]

\[p - 160 = \sqrt{8720} \approx 93{,}38 \quad \Rightarrow \quad \underline{\underline{p \approx 253{,}38 \mathrm{~kr}}} \]

Antall enheter: \(x = \dfrac{93{,}38}{0{,}04} \approx \underline{\underline{2335 \text{ enheter}}}\)

Relatert

Tilfeldige oppgaver i samme fag

Det er ofte best å blande hvilke type oppgaver man gjør dersom du skal forberede deg til en prøve eller eksamen. Her er tre tilfeldige oppgaver i S2.

Lignende oppgaver sortert etter tema

Enhetskostnad

Oppgave	Fag	År	Oppg
Kostnadsfunksjon og tangent	S2	V20	1-6
Grensekostnad og enhetskostnad bedrift	S2	V22	1-5
Sammenligne priser på hundemat	1P-Y EL, 1P-Y BA, 1P-Y FD, 1P-Y HS, 1P-Y DT, 1P-Y IM, 1P-Y NA, 1P-Y RM, 1P-Y SR, 1P-Y TP	V23	1-2
Enhetskostnader fra graf	S2	H14	1-5
Grensekostnader og enhetskostnader fra graf	S2	H23	1-3
Edison biler – overskudd og enhetskostnad	S1	V24	2-1
Vis at enhetskostnad er like grensekostnad ved laveste enhetskostnad	S2	V24	1-5
Kledning til vegg og tilbud	1P-Y BA	H24	1-4
Grensekostnad og enhetskostnad del 1	S2	H24	1-5
Enhetskostnader og grensekostnader fra graf v25	S2	V25	1-5
Fiskebåt og fangst til Norge eller Danmark	1P-Y NA	V25	2-1
Kokkene Jonas og Ina og kyllingtilbud	1P-Y RM	V25	1-5
Pris per kvadratmeter terrassebord	1P	V25	2-5
Grensekostnader, enhetskostnader og overskudd	S2	H25	2-2
Energisammenlikning ved og strøm	1P-Y EL, 1P-Y BA, 1P-Y FD, 1P-Y HS, 1P-Y DT, 1P-Y IM, 1P-Y NA, 1P-Y RM, 1P-Y SR, 1P-Y TP	V25	2-4
Enhetspris og sparing på ris	1P-Y EL, 1P-Y BA, 1P-Y FD, 1P-Y HS, 1P-Y DT, 1P-Y IM, 1P-Y NA, 1P-Y RM, 1P-Y SR, 1P-Y TP	V25	1-1
Prosentvis prisreduksjon bagetter	2P-Y, 2P	V24	1-2
Plantejord fra to butikker	1P-Y EL, 1P-Y BA, 1P-Y TP, 1P-Y FD, 1P-Y HS, 1P-Y DT, 1P-Y IM, 1P-Y NA, 1P-Y RM, 1P-Y SR	H24	1-1
Kostnads- og inntektsfunksjoner - graftolkning S2 V26	S2	V26	1-6

Optimering

Oppgave	Fag	År	Oppg
Inntektsfunksjon med eksponential	S2	H19	2-2
Overskuddsfunksjon og prisfunksjon	S2	V20	2-3
Enhetskostnad og grensekostnad	S2	H20	1-6
Grensekostnad og grenseinntekt bedrift	S2	H21	1-4
Største rektangel i likebeint rettvinklet trekant	1T	H21	2-8
Laveste daglige inntekt	S2	V22	1-6
Bakterievekst i avfall	S2	H22	2-1
Kostnad per enhet og størst overskudd	S2	H22	1-6
Største areal i rektangel med omkrets 64	1T, 1P	H22	2-6
Avstand fra punkt til linje og graf	R1	V23	2-6
Optimering av rektangelareal og program	R1	V23	1-4
Bredden av teltplassen	1T, 1P	V23	2-2
Kasse uten lokk	S1, R1	H23	2-5
Avstand mellom to funksjoner	1T	H23	2-5
Rektangel innskrevet i trekant	1P	H23	2-5
Rektangel under graf	1T	H23	2-7
Modellering av bagettsalg	1T, 1P	V24	2-1
Kasser av metallplater	1P	H24	2-8
Optimalisering av grønnsakhage med 100 m gjerde	1T	H24	2-7
Isabels sylinderformede bokser	1P	V25	2-6
Sylinderboks med minst overflate	1T	V25	2-5
Kostnad, pris og overskudd	S1	H25	2-4
Inntekt, kostnader og salgsprognose S2 V26	S2	V26	2-3
CO2-utslipp og optimal fart 1T V26	1P, 1T	V26	2-1
Maksimalt rektangel under eksponentialgraf R1 V26	R1, S1	V26	2-3

Økonomi

Oppgave	Fag	År	Oppg
Annuitetslån og serielån Pia	S2	V19	2-4
Etterspørsel og grensekostnad vare	S2	V19	2-3
Inntektsfunksjon med eksponential	S2	H19	2-2
Lønnsøkning og videreutdanning	S2	H19	2-4
Annuitetslån og serielån	S2	V20	2-4
Kostnadsfunksjon og tangent	S2	V20	1-6
Overskuddsfunksjon og prisfunksjon	S2	V20	2-3
Enhetskostnad og grensekostnad	S2	H20	1-6
Etterspørselsfunksjon og prisreduksjon	S2	H20	2-2
Geometrisk rekke og sparing	S2	H20	1-3
Spareavtale og aksjefond	S2	V21	2-2
Camillas aksjefond	S2	H21	2-2
Grensekostnad og grenseinntekt bedrift	S2	H21	1-4
Grensekostnad og enhetskostnad bedrift	S2	V22	1-5
Laveste daglige inntekt	S2	V22	1-6
Sparing og annuitetslån Camilla	S2	V22	2-3
Nominell lønn og reallønn	2P	V23	1-3
Logistisk modell for oljefondet	S2	E22	2-1
Rente på avbetalingstilbud	S2	E22	2-4
Brudebukett og elevbedrifter	1P-Y FD	V23	2-1
Elevbedrift T-skjorter og hettegensere	1P-Y IM	V23	2-3
Fiskebåt regnskap og fangst	1P-Y NA	V23	2-2
Hjemmetjeneste og medisindispensere	1P-Y HS	V23	2-2
Lærlinglønn i fire halvår	1P-Y BA, 1P-Y FD, 1P-Y DT, 1P-Y NA, 1P-Y RM, 1P-Y TP	V23	2-3
Næringsinnhold og energi i frokost	1P-Y HS	V23	2-3
Refleksvester ungdomsbedrift og fortjeneste	1P-Y SR	V23	2-1
Solcellepanel areal og kostnad	1P-Y EL	V23	2-3
Terrassebygning og pristilbud	1P-Y BA	V23	2-2
Grensekostnader fra graf v23	S2	V23	1-2
Timelønn og lønnsvekst	S1, R1	V23	2-1
Ukjent program med kostnader for produksjon	S1	V23	1-5
Enhetskostnader fra graf	S2	H14	1-5
Argumenter for hvorfor sette grensekostnad lik grenseinntekt	S2	E22	1-6
Grensekostnad og programmering	S1	H23	1-5
Sofaproduksjon og overskudd	S1	H23	2-1
Boligpriser i tre kommuner	1P-Y SR	H23	2-1
Frode fotograf og budsjett	1P-Y IM	H23	1-4
Sander bilselger og provisjon	1P-Y SR	H23	1-4
Sara vurderer å kjøpe mopedbil	1P-Y EL, 1P-Y BA, 1P-Y FD, 1P-Y HS, 1P-Y DT, 1P-Y IM, 1P-Y NA, 1P-Y RM, 1P-Y SR, 1P-Y TP	H23	2-5
Trine og ungdomskvote leppefisk	1P-Y NA	H23	2-3
Ungdomsbedrift Dataservice hjemmesider	1P-Y IM	H23	2-3
Ungdomsbedrift Nål og tråd handlenett	1P-Y DT	H23	2-2
Ungdomsbedrift og tapetsering	1P-Y FD	H23	2-3
Boliglån månedlige terminer	2P	H23	2-4
Vase og roser likningssystem	2P	H23	2-1
Blomsterkrukker og sylindervolum Sander	1P-Y NA	V24	2-2
Elevbedriften Chicken and Curry	1P-Y RM	V24	1-4
FetLyd lydstudio og utleie	1P-Y IM	V24	2-2
Nils selger torsk på fiskemarked	1P-Y NA	V24	1-5
Restaurant Matglede og fortjeneste	1P-Y RM	V24	2-1
Skobutikk ta 3 betal for 2	1P	V24	2-7
T-skjorter ungdomsbedrift og fortjeneste	1P-Y SR	V24	2-1
Velferdsteknologi og smarthusteknologi	1P-Y HS	V24	2-1
Edison biler – overskudd og enhetskostnad	S1	V24	2-1
Leilighet og annuitetslån Johannes	2P	V24	2-6
Vis at enhetskostnad er like grensekostnad ved laveste enhetskostnad	S2	V24	1-5
Logistisk vekst for et produkt	S2	V24	2-1
Knekkebrød, gavekort og simulering	S1	H24	2-4
Optimalisering av parkeringsinntekt	S1	H24	2-5
Overskuddsoptimalisering for båtmotorer	S1	H24	2-6
Lønnstilbud fra tre bedrifter	1P	H24	2-6
Arne sin møbelfabrikk	1P-Y DT	H24	2-1
Catering til bryllupsfest	1P-Y RM	H24	2-1
Kledning til vegg og tilbud	1P-Y BA	H24	1-4
Mediebedrift og reklamevideo	1P-Y IM	H24	2-1
Minstelønn for kokker og påstander	1P-Y RM	H24	1-5
Restaurant og fortjenestemargin	1P-Y RM	H24	1-4
Sander sin frisørsalong	1P-Y FD	H24	2-1
Trine selger poteter på Bondens marked	1P-Y NA	H24	1-5
Ungdomsbedrift og grønnsakssalg	1P-Y NA	H24	2-1
Ungdomsbedrift og skrivesaker	1P-Y SR	H24	2-2
Velferdsteknologi og driftskostnader	1P-Y HS	H24	1-4
Viktor og måltidskostnader på sykehjem	1P-Y HS, 1P-Y RM	H24	2-2
Forbrukslån med betalingsplan	2P	H24	2-7
Nettoinntekt med overtid	2P	H24	2-5
Etterspørsel av vare	S2	H24	2-6
Grensekostnad og enhetskostnad del 1	S2	H24	1-5
T-skjorter, inntekt og overskudd	S1	V25	2-5
Anitas betongstøp og tilbud	1P-Y BA	V25	2-2
Barnehager, lønn og minimumsbemanning	1P-Y HS	V25	2-2
Dagbladet Lørdag uten rabatt	1P	V25	2-4
Elevbedrift lager lasagne til skoleavslutning	1P-Y RM	V25	2-2
Elise selger aviser	1P	V25	2-3
Fiskebåt og fangst til Norge eller Danmark	1P-Y NA	V25	2-1
Godt Stekt restaurant og pizzasalg	1P-Y RM, 1P-Y SR	V25	2-1
Kaja sin frisørinntekt	1P-Y FD	V25	2-1
Kokkene Jonas og Ina og kyllingtilbud	1P-Y RM	V25	1-5
Pris per kvadratmeter terrassebord	1P	V25	2-5
Putetrekk inntekt og overskudd	1P-Y DT	V25	2-1
Sofie lager bagetter hjemme	1P	V25	2-7
Teodor og Emilie om sokker	1P-Y SR	V25	1-5
Trine og Geir og høyballer til hester	1P-Y NA	V25	2-2
Ungdomsbedrift og motorsykler av stål	1P-Y TP	V25	2-2
Ungdomsbedrift og putetrekk	1P-Y FD, 1P-Y DT	V25	1-4
Velferdsteknologi og kommunekostnader	1P-Y HS	V25	2-1
Investeringer og avkastning	2P-Y, 2P	H25	2-4
Kostnad, pris og overskudd	S1	H25	2-4
Grensekostnader, enhetskostnader og overskudd	S2	H25	2-2
Aina sin fiskerivirksomhet	1P-Y NA	H25	2-1
Aina sin reiseledertjeneste	1P-Y SR	H25	2-1
Aina sitt cateringfirma	1P-Y RM	H25	2-1
Blomsterdekorasjoner og fortjeneste	1P-Y FD, 1P-Y DT	H25	1-5
Digital reklamekampanje og klikkrate	1P-Y IM	H25	2-2
Dina og Edvin på hotell	1P-Y SR	H25	2-2
Effekt i vannkraftverk	1P-Y EL	H25	2-2
Elevbedrift og hagestell	1P-Y NA	H25	1-5
Fiskekar og skrei	1P-Y NA	H25	1-4
Fortjenestemargin og salgspris	1P-Y SR	H25	1-5
Grovbrød og makrell til barnehage	1P-Y HS, 1P-Y RM	H25	2-2
Interiørarkitekt og anbud	1P-Y FD, 1P-Y DT	H25	2-1
MAG-sveising og gassflasker	1P-Y TP	H25	2-1
Melkeproduksjon med kuer	1P-Y NA	H25	2-2
Pannekakerøre og energi	1P-Y RM	H25	1-4
Stina sitt sykkeldiagram	1P-Y SR	H25	1-4
Stines mediedesigner-regneark og anbud	1P-Y IM	H25	2-1
Takstein og kostnadsberegning	1P-Y BA	H25	2-2
Ludvigs dusjregnskap	1P-Y EL, 1P-Y BA, 1P-Y FD, 1P-Y HS, 1P-Y DT, 1P-Y IM, 1P-Y NA, 1P-Y RM, 1P-Y SR, 1P-Y TP	V23	2-4
Eriks bilbruk	1P-Y EL, 1P-Y BA, 1P-Y TP, 1P-Y FD, 1P-Y HS, 1P-Y DT, 1P-Y IM, 1P-Y NA, 1P-Y RM, 1P-Y SR	H24	2-3
Kostnadsoversikt for fuglekasser	1P-Y BA	H24	2-2
Energisammenlikning ved og strøm	1P-Y EL, 1P-Y BA, 1P-Y FD, 1P-Y HS, 1P-Y DT, 1P-Y IM, 1P-Y NA, 1P-Y RM, 1P-Y SR, 1P-Y TP	V25	2-4
Enhetspris og sparing på ris	1P-Y EL, 1P-Y BA, 1P-Y FD, 1P-Y HS, 1P-Y DT, 1P-Y IM, 1P-Y NA, 1P-Y RM, 1P-Y SR, 1P-Y TP	V25	1-1
Isak reiser Oslo til Stockholm	1P-Y EL, 1P-Y FD, 1P-Y DT, 1P-Y BA, 1P-Y HS, 1P-Y IM, 1P-Y NA, 1P-Y RM, 1P-Y SR, 1P-Y TP	V24	2-4
Lise velger iPhone-modell	1P-Y EL, 1P-Y IM	V24	1-5
Lønnsalternativer ved avissalg	1P-Y EL, 1P-Y BA, 1P-Y FD, 1P-Y HS, 1P-Y DT, 1P-Y IM, 1P-Y NA, 1P-Y RM, 1P-Y SR, 1P-Y TP	V25	2-5
Oda sitt budsjett og sparing	1P-Y EL, 1P-Y FD, 1P-Y DT, 1P-Y BA, 1P-Y HS, 1P-Y IM, 1P-Y NA, 1P-Y RM, 1P-Y SR, 1P-Y TP	V24	1-2
Prisøkning på handlenett	2P-Y	H23	2-4
Plantejord fra to butikker	1P-Y EL, 1P-Y BA, 1P-Y TP, 1P-Y FD, 1P-Y HS, 1P-Y DT, 1P-Y IM, 1P-Y NA, 1P-Y RM, 1P-Y SR	H24	1-1
Brudebuketter og regneark for bryllupsoppdrag	1P-Y FD	V26	2-2
Budsjett og regnskap med tilbudsberegning	1P-Y SR	V26	2-1
Fiskebåt med makrell og drivstoff	1P-Y NA	V26	2-1
Racing-rigger til e-sport	1P-Y IM	V26	2-1
Velferdsteknologi i kommune	1P-Y HS	V26	2-2
Konsumprisindeks og kjøpekraft 2010-2025 2P V26	2P	V26	1-7
Nedbetalingsplan forbrukslån 2P V26	2P	V26	2-4
Trine kantine fortjenestemargin	1P-Y RM	V26	1-4
Mathias sine lån for å kjøpe bil Mathias sine lån for å kjøpe bil	S2	H25	2-4