Kostnad per enhet og størst overskudd
Kostnadene \(K\) per dag ved produksjon av en vare er gitt ved
\[K(x) = 0{,}2x^2 + 600x + 8000, \quad 0 < x < 2000
\]
Her er \(x\) antall produserte enheter per dag, og \(K(x)\) er gitt i kroner.
Oppgave
- Bestem den produksjonsmengden som gir lavest kostnad per enhet.
Etterspørselen avhenger av prisen \(p\) på varen. Det viser seg at etterspørselen er gitt ved
\[e(p) = 12\,000 - 10p
\]
Oppgave
- Bestem den prisen som vil gi størst daglig overskudd.
Fasit
a) \(x = 200\) enheter
b) \(p = 1100 \, \mathrm{kr}\)
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
a
Kostnad per enhet (enhetskostnaden) er
\[E(x) = \frac{K(x)}{x} = 0{,}2x + 600 + \frac{8000}{x}
\]
Vi deriverer og setter lik null:
\[E'(x) = 0{,}2 - \frac{8000}{x^2} = 0
\]
\[x^2 = \frac{8000}{0{,}2} = 40\,000 \implies x = 200
\]
Siden \(E''(x) = \frac{16\,000}{x^3} > 0\), er dette et minimumspunkt.
Produksjonsmengden som gir lavest kostnad per enhet er \(\underline{\underline{200 \text{ enheter}}}\).
b
Antall solgte enheter er \(x = e(p) = 12\,000 - 10p\). Inntekten er
\[I(p) = p \cdot (12\,000 - 10p) = 12\,000p - 10p^2
\]
Kostnaden uttrykt ved prisen (\(x = 12\,000 - 10p\)):
\[K(p) = 0{,}2 \cdot (12\,000-10p)^2 + 600(12\,000-10p) + 8000
\]
Vi utvider:
\[0{,}2 \cdot (12\,000-10p)^2 = 28\,800\,000 - 48\,000p + 20p^2
\]
\[600(12\,000-10p) = 7\,200\,000 - 6000p
\]
Overskuddet blir
\[O(p) = I(p) - K(p) = -30p^2 + 66\,000p - 36\,008\,000
\]
Vi deriverer og setter lik null:
\[O'(p) = -60p + 66\,000 = 0 \implies \underline{\underline{p = 1100 \, \mathrm{kr}}}
\]