Rekursiv rekke og konvergens S2 V26

a) –
b) Den konvergerer aldri for heltallsverdier av \(a_{1}\)

a

a = 5    # Rekka starter på 5

for i in range(6):   # Gjenta 6 ganger
    print(a)         # Skriv ut leddet a
    a = (a - 1) ** 2 # Regn ut neste ledd a

b

Denne rekka er ikke geometrisk og vi kan derfor ikke bruke den vanlige testen med å sjekke om \(-1 < k < 1\). Ved å inspisere uttrykket kan vi derimot se at det ikke er så fryktelig mange heltallsverdier av \(a_{1}\) som kan gjøre at rekka konvergerer.

• Dersom \(a_{1}\) er et stort tall så blir \(a_{2}\) et veldig stort tall siden \(a_{2}=(a_{1}-1)^{2}\). En slik rekke vil bestå av større og større ledd og kan derfor ikke konvergere.
• Hvis rekka skal konvergere så må \(a_{1}\) være et heltall ganske nærme null. Vi kan teste disse heltallene for hånd, eller så kan vi gjøre det ved å utvide programmet vårt.

Jeg velger å utvide programmet og etter litt prøving og feiling med ulike heltall så ser jeg at verdiene \(a_{1}=0, a_{1}=1\) og \(a_{1}=2\) gir interessante mønstre. Ved andre verdier av \(a_{1}\) divergerer rekka fort.

\(a_{1}=0, a_{1}=1\) og \(a_{1}=2\) gir interessante mønstre, men leddene alternerer bare mellom 0 og 1. Hvis summen av de 200 første leddene er 100 så vil summen av de 202 første leddene være 101. Vi ser at summene ikke kan nærme seg noe tall når \(n \to \infty\)^[1]. Disse rekkene er heller ikke konvergente.

Siden rekka verken konvergerer for store heltall, negative heltall eller små heltall så konkluderer jeg med at rekka aldri vil konvergere for heltallsverdier.

Rekka konvergerer ikke for noen heltallsverdier av \(a_{1}\).

a) (2 poeng) Et program med en god strategi, men feil svar, kan få 1 poeng.
b) (2 poeng) Kandidater som har en god strategi, men ikke har fullstendig forklaring kan få 1 poeng. Utforskning av konvergens med ulike verdier kan gi 1 poeng.