Bestem f ut fra den deriverte
Bestem et uttrykk for funksjonen \(f\) når du får vite at
- \(f'(x)=-\frac{2}{x^{3}}\)
- Arealet av området som er avgrenset av grafen til \(f\), \(x\)-aksen og linjene \(x=1\) og \(x=2\) er \(\frac{11}{14}\). Dette arealet ligger over \(x\)-aksen.
Fasit
\(f(x)=\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{7}\)
Løsningsforslag
Vi vet at \(f'(x)=-\frac{2}{x^{3}}\) vil ha uendelig mange antideriverte med ulike konstantledd
\[\int -\frac{2}{x^{3}} \, \mathrm{d}x =\int -2x^{-3} \, \mathrm{d}x = \frac{-2}{-2}x^{-2}+C=\frac{1}{x^{2}}+C \]
Her er \(C\) et hvilket som helst tall. Siden vi har fått vite at arealet av området som avgrenses av grafen til \(f\), \(x=1\), \(x=2\) og \(x\)-aksen er lik \(\frac{11}{14}\), samt at hele arealet ligger over \(x\)-aksen, kan vi bruke et bestemt integral for å finne verdien av \(C\).
\[\begin{aligned} \int_{1}^{2} \left( \frac{1}{x^{2}} +C \right)\, \mathrm{d}x &=\frac{11}{14} \\ \int_{1}^{2} \left( x ^{ -2}+C \right)\, \mathrm{d}x &=\frac{11}{14} \\ \left[ -\frac{1}{x}+Cx \right]_{1}^{2} &=\frac{11}{14} \\ \textcolor{orange}{\left( -\frac{1}{2}+C \cdot 2 \right)}-\textcolor{seagreen}{\left( -\frac{1}{1}+C\cdot 1 \right)} &=\frac{11}{14} \\ \textcolor{orange}{-\frac{1}{2}+2C} + \textcolor{seagreen}{\frac{1}{1}-C} &=\frac{11}{14} \\ C&=\frac{11}{14}-\frac{1}{2}=\frac{2}{7} \end{aligned} \]
Vår antideriverte til \(f'(x)\) har altså \(C=\frac{2}{7}\), derfor har vi for alle \(x\neq 0\):
\[\underline{\underline{f(x)=\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{7}}} \]