Bestemt og ubestemt integral R2 V26
Bestem integralene
Oppgave
- \(\displaystyle \int_0^2 \left( e^{2x} + x \right) dx\)
- \(\displaystyle \int \frac{\sin(\ln x)}{x}\, dx\)
Fasit
a) \(\underline{\underline{\dfrac{1}{2}(e^4 + 3)}}\)
b) \(\underline{\underline{-\cos(\ln x) + C}}\)
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
a
Vi bruker at \(\int e^{ax} \, \mathrm{d}x = \dfrac{1}{a} e^{ax} + C\) og \(\int x \, \mathrm{d}x = \dfrac{1}{2}x^2 + C\):
\[\int_0^2 \left( e^{2x} + x \right) \mathrm{d}x = \left[ \frac{1}{2}e^{2x} + \frac{1}{2}x^2 \right]_0^2 \]
\[= \left( \frac{1}{2}e^{4} + \frac{1}{2} \cdot 4 \right) - \left( \frac{1}{2}e^{0} + 0 \right) \]
\[= \frac{1}{2}e^{4} + 2 - \frac{1}{2} \]
\[= \frac{1}{2}e^{4} + \frac{3}{2} = \mathbf{\underline{\underline{\dfrac{1}{2}(e^4+3)}}} \]
b
Vi bruker substitusjon. La \(u = \ln x\), da er \(\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = \dfrac{1}{x}\), altså \(\mathrm{d}u = \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x\).
\[\int \frac{\sin(\ln x)}{x} \, \mathrm{d}x = \int \sin(u) \, \mathrm{d}u \]
\[= -\cos(u) + C \]
Vi substituerer tilbake \(u = \ln x\):
\[= \mathbf{\underline{\underline{-\cos(\ln x) + C}}} \]
Sensorveiledning · 4 poeng
a) (2 poeng) Kandidaten kan få 1 poeng for å integrere riktig og 1 poeng for å finne riktig verdi.
b) (2 poeng) Riktig strategi, men feil i utregningen kan gi 1 poeng. Kandidaten kan få full uttelling selv om \(C\) utelates i svaret, men det tas med i helhetsvurderingen.