Aritmetisk og geometrisk rekke - treplatetårn S2 V26
I et kunstprosjekt skal Selma bygge et stort tårn ved å legge kvadratiske treplater oppå hverandre. Hun starter med en treplate med sidelengde \(5 \mathrm{~m}\).
Når hun bygger videre, skal sidelengden til hver ny treplate være \(0{,}1 \mathrm{~m}\) kortere enn sidelengden til treplaten under.
- Sett opp en aritmetisk rekke som viser summen av sidelengdene til treplatene i tårnet. Hvor mange treplater kan det maksimalt bli i tårnet til Selma?
Vilfred skal bygge et annet stort tårn ved å legge kvadratiske treplater oppå hverandre. Han starter med en treplate som har areal \(19 \mathrm{~m}^2\).
Når han bygger videre, skal sidelengden til hver ny treplate være \(10\,\%\) kortere enn sidelengden til treplaten under.
- Hvor stort kan det samlede arealet av platene bli i tårnet til Vilfred?
a) 50
b) 100
a
Jeg tolker oppgaveteksten som at som at rekka = summen av én sidelengde fra hver plate.
Andre tolkninger av summen av sidelengdene kan være at hver plate har 4 sidelengder, eller at den aritmetiske rekka skulle bestå av summer av sidelengder slik som \(5+9{,}9+14{,}7\) og så videre (men den rekka blir da ikke aritmetisk).
Vi ser at første ledd er \(a_{1}=5\) og differansen \(d=-0{,}1\).
Ledd nummer \(n\) i rekka er gitt ved
Leddene i rekka blir altså:
Det siste leddet må være \(0{,}1\) siden en treplate ikke kan ha sidelengde 0 (da er det jo ikke noe treplate).
Vi kan finne ut hvor mange ledd det er ved hjelp av uttrykket for ledd \(n\):
Rekka \(5 + \, 4{,}9 + \,4{,}8 + \, 4{,}7 + \, \dots + 0{,}1\) beskriver summen av sidelengdene i tårnet. Tårnet kan maksimalt bestå av 50 plater.
b
Det kan være lurt å først undersøke hvordan arealet utvikler for de første platene. Det er absolutt ikke nødvendig for å løse oppgaven, men det kan være vanskelig å finne ut hvordan man skal sette opp rekka.
Vi undersøker først mønsteret ved å sette opp en oversiktlig tabell. La \(s\) være sidelengden og \(A\) være arealet av plate \(n\).
| \(n\) | \(s\) | \(A\) |
|---|---|---|
| \(1\) | \(\sqrt{ 19 }\) | \(19\) |
| \(2\) | \(\sqrt{ 19 }\cdot 0{,}9\) | \(19 \cdot 0{,}9^{2}\) |
| \(3\) | \(\sqrt{ 19 } \cdot 0{,}9^{2}\) | \(19 \cdot 0{,}9^{4}\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \(n\) | \(\sqrt{ 19 } \cdot 0{,}9^{n-1}\) | \(19 \cdot 0{,}9^{2 \cdot(n-1)}\) |
Hvis sidelengden minker med 10 % så kan vi sette opp sammenhengen
Arealet for plate 1, \(A_{1}\), er 19. Da må arealet for plate 2 bli:
Arealene danner altså en geometrisk rekke med kvotient \(k=0{,}81\) og \(A_{1}=19\). Summen av rekka er gitt ved
Det samlede arealet kunne blitt \(\underline{\underline{ 100 \mathrm{~m^{2}} }}\) hvis Vilfred kunne brukt uendelig mange plater. I praksis vil det samlede arealet bli veldig nærme 100 m² dersom han bruker mange plater.
a) (2 poeng) 1 poeng for å sette opp rekken og 1 poeng for å finne riktig antall plater. Kandidater som angir rekken ved formelen for det \(n\)-te leddet eller ved å sette opp de første leddene får uttelling. Både rekker som viser summen av omkretsene og rekker som viser summen av en side per plate gir poeng.
b) (2 poeng) Kandidater som har satt opp den geometriske rekken feil, men som har regnet riktig ut fra egen geometrisk rekke, kan få 1 poeng. Tilsvarende kan kandidater som har satt opp den geometriske rekken riktig, men regnet noe feil få 1 poeng.