Omdreiningslegeme av lineær funksjon R2 V26
I koordinatsystemet ovenfor ser du grafen til funksjonen \(f\) gitt ved
\[f(x) = 2x - 1 \]
Et omdreiningslegeme framkommer ved at grafen til \(f\) fra \(x=1\) til \(x=3\) dreies \(360\degree\) rundt førsteaksen.
Oppgave
Regn ut volumet til omdreiningslegemet.
Fasit
\(\underline{\underline{V = \dfrac{62\pi}{3}}}\)
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
Volumet av et omdreiningslegeme dannet ved å dreie grafen til \(f\) fra \(x = a\) til \(x = b\) rundt \(x\)-aksen er gitt ved
\[V = \pi \int_{a}^{b} \left[ f(x) \right]^2 \, \mathrm{d}x \]
Vi setter inn \(f(x) = 2x - 1\), \(a = 1\) og \(b = 3\):
\[V = \pi \int_{1}^{3} (2x - 1)^2 \, \mathrm{d}x \]
Vi ekspanderer kvadratet:
\[(2x-1)^2 = 4x^2 - 4x + 1 \]
Dermed blir integralet:
\[\begin{aligned} V &= \pi \int_{1}^{3} \left(4x^2 - 4x + 1\right) \mathrm{d}x \\[6pt] &= \pi \left[ \frac{4x^3}{3} - 2x^2 + x \right]_{1}^{3} \end{aligned}\]
Vi beregner antiderivativet i grensene:
\[\begin{aligned} \left[ \frac{4x^3}{3} - 2x^2 + x \right]_{1}^{3} &= \left(\frac{4 \cdot 27}{3} - 2 \cdot 9 + 3\right) - \left(\frac{4}{3} - 2 + 1\right) \\[6pt] &= \left(36 - 18 + 3\right) - \left(\frac{4}{3} - 1\right) \\[6pt] &= 21 - \frac{1}{3} \\[6pt] &= \frac{63}{3} - \frac{1}{3} \\[6pt] &= \frac{62}{3} \end{aligned}\]
Dermed er
\[\mathbf{V = \pi \cdot \frac{62}{3} = \underline{\underline{\frac{62\pi}{3}}}} \]