Antiderivasjon og areal mellom grafer S2 V26

Du får vite dette om en funksjon \(f\)

Funksjonen er definert for \(x>0\)
\(f'(x) = \dfrac{2}{x^2}\)
Grafen til \(f\) går gjennom punktet \((2, 2)\)

Oppgave

Bestem \(f(x)\).

To andre funksjoner, \(g\) og \(h\), er gitt ved \(g(x) = x\) og \(h(x) = -\dfrac{3}{x} + 4\) for \(x>0\).

Oppgave

Finn arealet av området som er avgrenset av grafene til \(g\) og \(h\).

Fasit

a) \(f(x)=-\frac{2}{x}+3\)
b) \(4-3 \ln 3\)

Løsningsforslag

a

Vi kan finne antideriverte til \(f'(x)\) ved å integrere.

\[f(x)=\int \frac{2}{x^{2}} \, \mathrm{d}x =2 \int x^{-2} \, \mathrm{d}x =2 \cdot \frac{1}{-1} x^{-1} +C = -\frac{2}{x} + C \]

Funksjonen vår må også gå gjennom \((2,2)\), derfor kan vi sette opp en likning for å bestemme \(C\):

\[\begin{aligned} f(2)&=-\frac{2}{2}+C \\ 2&=-1 + C \\ 2 + 1 &= C \\ C&=3 \end{aligned} \]

\[\underline{\underline{ f(x)=-\frac{2}{x}+3 }} \]

b

Vi skal finne arealet mellom \(g\) og \(h\). Vi finner først skjæringspunktet mellom grafene ved å sette dem lik hverandre og løse.

\[\begin{aligned} g&=h \\ x &= -\frac{3}{x}+4 \\ x^{2} &= -3 +4x \\ x^{2}-4x+3 &= 0 \\ \underbrace{ (x-1)(x-3) }_{ \text{Heltallsmetode} } &= 0 \\ x =1 &\vee x =3 \end{aligned} \]

Det avgrensede arealet ligger altså mellom \(x=1\) og \(x=3\).

Finn ut om \(g>h\) eller om \(h>g\)

I denne del 1-oppgaven er det viktig å finne ut hvilken funksjon som «ligger øverst» siden det er vanskelig å tolke om svaret på integralet er positivt eller negativt. Vi kan teste dette enkelt ved å sjekke funksjonsverdiene ved \(x=2\):

\(g(2)=2\)
\(h(2)=-\frac{3}{2}+4=-1{,}5+4=2{,}5\)

Altså er \(h>g\) i intervallet \(\langle 1, 3\rangle\)

Vi setter opp integralet:

\[\begin{aligned} \int_{1}^{3} \left( h(x) - g(x)\right) \, \mathrm{d}x \\ \int_{1}^{3} \left( \left( -\frac{3}{x}+4 \right) - (x) \right) \, \mathrm{d}x \\ \int_{1}^{3} \left( -\frac{3}{x} -x +4 \right) \, \mathrm{d}x \\ \left[-3 \ln |x| - \frac{1}{2}x^{2} + 4x \right]_{1}^{3} \\ \left( - 3 \ln 3 - \frac{1}{2} 3^{2} + 4 \cdot 3\right) - \left(- 3 \ln 1 - \frac{1}{2} 1^{2} + 4 \cdot 1\right) \\ \left(- 3 \ln 3 - \frac{1}{2} 9 +12 \right) - \left( 0 - \frac{1}{2} + 4 \right) \\ -3 \ln 3 -\frac{9}{2} +12 +\frac{1}{2}-4 \\ -3 \ln 3 - \frac{8}{2} +8\\ -3 \ln 3 -4 + 8 \\ - 3 \ln 3 +4 \\ 4 - 3 \ln 3 \end{aligned} \]

Arealet er \(\underline{\underline{ 4 - 3 \ln 3 }}\).

Det er ofte best å blande hvilke type oppgaver man gjør dersom du skal forberede deg til en prøve eller eksamen. Her er tre tilfeldige oppgaver i S2, R2.

Oppgave	Fag	År	Oppg
Levetiden til lyspærer	S2	E22	2-2
Bestemt og ubestemt integral R2 V26	R2	V26	1-1
Datatrafikk og sinusmodell R2 V26	R2	V26	2-1
Integraler med substitusjon S2 V26	S2	V26	1-1
Omdreiningslegeme av lineær funksjon R2 V26	R2	V26	1-5

Antiderivasjon og areal mellom grafer S2 V26

a

b

Relatert

Tilfeldige oppgaver i samme fag

Lignende oppgaver sortert etter tema

Integrasjon