Derivasjon av eksponentialfunksjon

Fasit

Løsningsforslag

Funksjonen består av en brøk med funksjoner i både teller og nevner, så vi må bruke kvotientregelen når vi deriverer.

Finne verdi programmet skriver ut

Bruk en egnet strategi til å bestemme verdien som skrives ut når programmet nedenfor kjøres.

123456789def O(x):
    return -0.1*x**2 + 2000*x - 50000

x = 0

while O(x + 1) > O(x):
    x = x + 1

print(x)

Fasit

Programmet skriver ut \(10\,000\).

Løsningsforslag

Jeg ser at programmet består av en funksjon \(O(x)\) som muligens er en overskuddsfunksjon. while-løkka i programmet kjører så lenge \(O(x+1)>O(x)\), altså kjører løkka så lenge \(O(x)\) stiger. Inni løkka økes \(x\)-verdien med 1, altså vil programmet skrive ut \(x\)-koordinaten til toppunktet til \(O(x)\).

Den enkleste måten å bestemme toppunktet på er å derivere \(O\) og sette lik null.

Programmet skriver ut 10 000.

Eksponentiallikning med substitusjon

Fasit

\(x=\log 4\)

Løsningsforslag

Jeg ser at likningen består av tierpotenser.

Dette ser jeg at kan skrives som en andregradslikning hvor \(u=10^{x}\).

Vi bytter substituerer tilbake.

Løsningen er \(\underline{\underline{x=\log 4}}\).

Grenseverdi for rasjonalt uttrykk

Fasit

Grenseverdien er \(\frac{1}{2}\).

Løsningsforslag

Vi ser at både teller og nevner går mot uendelig når \(x \to \infty\). Vi kan altså bruke L'Hopitals regel.

Grenseverdien er \(\underline{\underline{\frac{1}{2}}}\).

Koordinatvektorer, lengde og ortogonalitet

Fire vektorer er gitt ved \(\vec{u} = [3, -2]\), \(\vec{v} = [4, -6]\), \(\vec{w} = [2, -3]\) og \(\vec{p} = [8, 12]\)

En vektor er gitt ved \(\vec{q} = [2a - 3,\ 1 + 3b]\)

Fasit

a) \(\vec{u}\) og \(\vec{w}\) er like lange. \(\vec{u}\) og \(\vec{p}\) er ortogonale.
b) \(a = \dfrac{5}{2}\), \(\quad b = \dfrac{5}{6}\)

Løsningsforslag

a

Vi beregner lengden av hver vektor:

\(|\vec{u}| = |\vec{w}| = \sqrt{13}\), så \(\underline{\underline{\vec{u} \text{ og } \vec{w} \text{ er like lange}}}\).

For å avgjøre ortogonalitet beregner vi skalarproduktet for alle par. To vektorer er ortogonale hvis og bare hvis skalarproduktet er null.

\(\vec{u} \cdot \vec{p} = 0\), så \(\underline{\underline{\vec{u} \text{ og } \vec{p} \text{ er ortogonale}}}\). Ingen andre par er ortogonale.

b

Vi setter inn \(\vec{u} = [3, -2]\) og \(\vec{q} = [2a - 3,\ 1 + 3b]\):

Dette gir likningssystemet:

Fra første likning: \(4a = 10\), altså \(\underline{\underline{a = \dfrac{5}{2}}}\).

Fra andre likning: \(\underline{\underline{b = \dfrac{5}{6}}}\).

Identifiser funksjon fra vekstfart og derivert

I koordinatsystemet nedenfor ser du grafene til tre funksjoner, \(f\), \(g\) og \(h\). En av funksjonene har gjennomsnittlig vekstfart lik \(\frac{1}{2}\) i intervallet \(\left[0, 4\right]\), og derivert lik 1 når \(x = 1\).

Fasit

Funksjonen \(f\) passer til beskrivelsen.

Løsningsforslag

At den deriverte er lik 1 når \(x=1\) vil si at stigningstallet til tangenten til grafen når \(x=1\) skal være 1. Det utelukker funksjon \(g\) som har stigningstall \(\frac{1}{2}\).

Funksjonen \(h\) har gjennomsnittlig har null i gjennomsnittlig vekstfart i intervallet \([0,4]\), og dermed er også denne funksjonen utelukket.

Det er litt vanskelig å lese av stigningstallet til tangenten til \(f\) i \(x=1\), men det kan godt stemme at stigningstallet er 1. Den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet \([0,4]\) er \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\).

Funksjon \(\underline{\underline{f}}\) passer til beskrivelsen.

Vannreservoar med eksponentiell funksjon

Et gammelt vannreservoar lekker vann. Mengden vann i reservoaret \(V\) er gitt ved

Her er \(t\) antall timer etter lekkasjen startet, og mengden vann er målt i antall liter.

Fasit

a) \(\underline{\underline{t \approx 10{,}63 \mathrm{~timer} \approx 10 \text{~timer og } 38 \mathrm{~min}}}\)
b) \(\underline{\underline{V'(12) \approx -302{,}2 \, \mathrm{L/time}}}\), \(\underline{\underline{V''(12) \approx 21{,}15 \, \mathrm{L/time^2}}}\)

Lekkasjehastigheten er ca. 302 liter per time ved \(t = 12\), og denne avtar over tid.

c) Horisontal asymptote \(y = 500\).

Reservoaret vil i det lange løp ha 500 liter vann (aldri tømmes helt).

Løsningsforslag

Grafen under viser \(V(t)\) med halveringspunktet og asymptoten:

CAS-beregninger (se alle steg i bildet under):

a

Startmengden er \(V(0) = 10000 \cdot e^{0} + 500 = \mathbf{10\,500} \, \mathrm{L}\) (se linje 2 i CAS).

Halvparten av startmengden er \(\dfrac{10\,500}{2} = 5\,250 \, \mathrm{L}\).

Vi løser likningen \(V(t) = 5250\) (se linje 3 i CAS):

Se HalveringPkt = (10{,}63,\ 5250) i grafen.

b

Vi deriverer \(V(t) = 10000 \cdot e^{-0{,}07t} + 500\) (se linjene 4–7 i CAS):

Verdiene ved \(t = 12\):

Praktisk tolkning:

• \(V'(12) \approx -302{,}2 \, \mathrm{L/time}\): Etter 12 timer lekker reservoaret ut ca. 302 liter per time. Fortegnet er negativt fordi vannmengden avtar.
• \(V''(12) \approx 21{,}15 \, \mathrm{L/time^2} > 0\): Den andrederiverte er positiv, noe som betyr at lekkasjehastigheten avtar (funksjonen er konveks). Vannet lekker stadig saktere etter hvert som tiden går.

Se T12pkt = (12,\ 4817{,}11) i grafen.

c

Vi undersøker grenseverdiene til \(V(t)\):

Siden \(e^{-0{,}07t} \to 0\) når \(t \to \infty\), har \(V\) en horisontal asymptote \(y = 500\).

For \(t \to -\infty\) gjelder \(e^{-0{,}07t} \to \infty\), så \(V(t) \to \infty\) — ingen asymptote der.

Se den grønne linjen Asymptote: y = 500 i grafen.

Praktisk tolkning: I det lange løp vil vannmengden i reservoaret nærme seg 500 liter, men aldri komme under det. Dette betyr sannsynligvis at lekkasjen stopper når vannstanden synker til et bestemt nivå (f.eks. fordi hullet befinner seg 500 liter over bunnen av reservoaret).

Påstander om grenseverdi og deriverbarhet

Avgjør om hver enkelt påstand nedenfor er sann eller usann. Forklar tydelig hvordan du har resonnert.

Fasit

a) Usann
b) Sann
c) Usann

Løsningsforslag

a

Påstanden er usann.

Vi trenger bare ett moteksempel. La

Da er

og

Begge grenseverdiene er like, men \(f(x) \neq g(x)\) siden \(f(x) = \dfrac{1}{x^2} > 0\) for alle \(x \neq 0\), mens \(g(x) = 0\) overalt.

Konklusjon: \(\underline{\underline{\text{Usann}}}\) — like grenseverdier ved \(\pm\infty\) garanterer ikke at funksjonene er identiske.

b

Påstanden er sann.

Vi undersøker om \(f(x) = |x|\) er deriverbar for alle \(x \neq 0\).

For \(x > 0\): Her er \(|x| = x\), så \(f'(x) = 1\).

For \(x < 0\): Her er \(|x| = -x\), så \(f'(x) = -1\).

På begge grenene er \(f\) deriverbar (konstant derivert). Påstanden sier ingenting om \(x = 0\), bare at \(f\) er deriverbar for alle andre \(x\) — det er korrekt.

(For fullstendighetens skyld: i \(x = 0\) er venstresidig derivert \(-1\) og høyresidig derivert \(1\), og siden disse ikke er like, er \(f\) ikke deriverbar i \(x = 0\).)

Konklusjon: \(\underline{\underline{\text{Sann}}}\) — \(|x|\) er deriverbar for alle \(x \in \mathbb{R}\) bortsett fra i \(x = 0\).

c

Påstanden er usann.

Påstanden sier at \(a^x = a^y\) alltid medfører \(x = y\). Dette er bare sant når \(a > 0\) og \(a \neq 1\).

Moteksempel: La \(a = 1\), \(x = 2\), \(y = 3\).

Da er

så \(a^x = a^y\), men \(x = 2 \neq 3 = y\).

Likningen \(1^x = 1^y\) er sann for alle \(x\) og \(y\), og gir ingen informasjon om forholdet mellom \(x\) og \(y\).

Konklusjon: \(\underline{\underline{\text{Usann}}}\) — for \(a = 1\) (og \(a = 0\), \(a = -1\) med passende \(x, y\)) holder ikke implikasjonen \(a^x = a^y \Rightarrow x = y\).

Fiskepopulasjon og logistisk modell

Forskere har registrert en ny fiskeart i en innsjø. I tabellen nedenfor ser du hvor mange fisk av arten det var i innsjøen noen måneder etter at arten først ble registrert.

Fiskepopulasjonen kan beskrives med en modell på formen

der \(A(t)\) er antall tusen fisk \(t\) måneder etter første registrering.

Fiskepopulasjonen kan også beskrives med en logistisk modell på formen

\(B\) er bæreevnen, \(N_0\) er antall tusen fisk ved \(t = 0\) og \(r\) er vekstparameteren.

Fasit

a) \(A_0 \approx 1{,}60\), \(k \approx 1{,}63\). Populasjonen starter på ca. 1 600 fisk og vokser med ca. 63 % per måned.
b) \(N_0 \approx 1{,}92\), \(B \approx 111{,}37\), \(r \approx 0{,}52\).
c) \(A'(t) = A_0 \cdot \ln(k) \cdot k^t \approx 0{,}782 \cdot 1{,}63^t\) — alltid voksende. \(N'(t) = r \cdot N(t)\!\left(1 - \tfrac{N(t)}{B}\right)\) — øker til vendepunktet ved \(t \approx 7{,}7\) (\(N \approx 55{,}7\)), deretter avtar den.
d) Den logistiske modellen passer best. \(N(12) \approx 100{,}8\) tusen fisk.

Løsningsforslag

GeoGebra CAS-sesjon (alle deloppgaver):

Graf med begge modeller og datapunkter:

a

Vi legger inn datapunktene i GeoGebra og utfører eksponentiell regresjonsanalyse. GeoGebra gir (linje 3 i CAS):

\(A_0 \approx 1{,}60\) og \(k \approx 1{,}63\).

Praktisk tolkning:

• \(A_0 = 1{,}60\) betyr at det var ca. 1 600 fisk i innsjøen da arten ble første gang registrert (\(t = 0\)).
• \(k = 1{,}63 = 1 + 0{,}63\) betyr at populasjonen vokser med ca. 63 % per måned ifølge denne modellen.

b

Vi utfører logistisk regresjonsanalyse i GeoGebra og får (linje 4 i CAS):

Sammenlikner vi med oppgavens form \(N(t) = \dfrac{B}{1 + \dfrac{B - N_0}{N_0} e^{-r\,t}}\), leser vi av:

\(N_0 \approx 1{,}92\), \(B \approx 111{,}37\), \(r \approx 0{,}52\).

c

Eksponentialmodellen \(A(t) = A_0 \cdot k^t\) deriveres med kjerneregelen (\(k^t = e^{t \ln k}\)):

Fra linje 5 i CAS:

Siden \(A'(t) > 0\) for alle \(t\) og faktoren \(1{,}63^t\) vokser uten begrensning, øker vekstfarten hele tiden — eksponentialmodellen gir alltid raskere og raskere vekst.

Den logistiske modellen \(N(t) = \dfrac{B}{1 + \frac{B-N_0}{N_0}e^{-rt}}\) har derivert (linje 4 viser formen, beregnet analytisk):

Vekstfarten avhenger både av nåværende populasjonsstørrelse \(N(t)\) og av hvor nær bæreevnen \(B\) populasjonen er. Vekstfarten er størst i vendepunktet, som finnes der \(N(t) = B/2\). Vi beregner (linje 6 og 7 i CAS):

Maksimal vekstfart (linje 8 i CAS):

Oppsummering: Den logistiske modellen gir vekstfart som øker frem til \(t \approx 7{,}7\) måneder, deretter avtar vekstfarten mot null når populasjonen nærmer seg bæreevnen \(B \approx 111{,}4\) tusen fisk.

d

Den logistiske modellen passer best for denne praktiske situasjonen. Begrunnelse:

• En fiskepopulasjon i en avgrenset innsjø har ikke ubegrenset tilgang på mat og plass. Bæreevnen \(B\) representerer den maksimale populasjonen som innsjøen kan bære — en biologisk realistisk øvre grense.
• Eksponentialmodellen forutsetter evig ubegrenset vekst, noe som er urealistisk i et lukket økosystem. Ved \(t = 12\) gir den \(A(12) \approx 266\) tusen fisk — mer enn dobbelt så mye som bæreevnen til den logistiske modellen.
• Datapunktene viser tydelig at vekstfarten bremser opp mot slutten av observasjonsperioden (jf. grafen), noe som stemmer med logistisk atferd.

Ifølge den logistiske modellen vil det være

12 måneder etter første registrering — det vil si omtrent 100 800 fisk.

Bestem grunntall i logaritmefunksjon

I koordinatsystemet nedenfor ser du grafen til en funksjon \(f\) gitt ved

Fasit

\(a = 5\)

Løsningsforslag

Fra grafen avleser vi at \(f(5) = 1\).

Det betyr at

Definisjonen av logaritme sier at \(\log_a(5) = 1\) er det samme som \(a^1 = 5\), altså

Verifisering: Vi sjekker mot et annet avlest punkt, \(f(25) \approx 2\):

Dette stemmer med grafen, så \(\underline{\underline{a = 5}}\).

Omvendt funksjon fra graf

Nedenfor ser du grafene til funksjonene \(f\), \(g\) og \(h\).

Fasit

a) \(f\) har omvendt funksjon. \(g\) har ikke omvendt funksjon. \(h\) har ikke omvendt funksjon.
b) \(f^{-1}(x) = \sqrt{x - 3}\), \(\quad D_{f^{-1}} = \langle 3, 7 \rangle\)

Løsningsforslag

En funksjon har en omvendt funksjon hvis og bare hvis den er injektiv (én-til-én), det vil si at ingen horisontal linje skjærer grafen i mer enn ett punkt.

a

Funksjonen \(f\):

Fra grafen ser vi at \(f\) er definert på \([0, 2]\) og er strengt voksende – grafen går fra \(f(0) = 3\) opp til \(f(2) = 7\) uten å snu. En strengt voksende funksjon er alltid injektiv, siden ulike \(x\)-verdier gir ulike \(y\)-verdier. Enhver horisontal linje skjærer grafen i høyst ett punkt.

\(\Rightarrow\) \(f\) har omvendt funksjon.

Funksjonen \(g\):

Fra grafen ser vi at \(g\) er stykkevis lineær:

• På \([-3, 1]\): stigende linje fra \((-3, -3)\) til \((1, 1)\), altså \(g(x) = x\).
• På \((1, 2]\): synkende linje fra \((1, 2)\) til \((2, 1)\), altså \(g(x) = -x + 3\).

\(y\)-verdien \(1\) oppnås av to ulike \(x\)-verdier: \(g(1) = 1\) (første gren) og \(g(2) = -2 + 3 = 1\) (andre gren). Den horisontale linjen \(y = 1\) skjærer grafen i to punkter.

\(\Rightarrow\) \(g\) har ikke omvendt funksjon.

Funksjonen \(h\):

Fra grafen ser vi at \(h\) har et lokalt maksimum ved \(x \approx -1\) (med \(h(-1) \approx 6\)) og et lokalt minimum ved \(x \approx 1\) (med \(h(1) \approx 4\)). Funksjonen er ikke monoton: den stiger, så synker den, og stiger igjen. En horisontal linje som skjæres ved for eksempel \(y = 5\) vil treffe grafen i tre punkter.

\(\Rightarrow\) \(h\) har ikke omvendt funksjon.

b

Siden bare \(f\) har omvendt funksjon, bestemmer vi kun \(f^{-1}\).

Fra grafen kan vi kjenne igjen formen på \(f\): den starter i \((0, 3)\) og går gjennom \((1, 4)\) og \((2, 7)\). Vi prøver \(f(x) = x^2 + 3\):

Formen (oppovervending parabel, kun stigende del) stemmer med grafen.

Vi finner den omvendte funksjonen algebraisk. Setter \(y = x^2 + 3\) og løser for \(x\) (med \(x \geq 0\) siden \(f\) er definert på \([0, 2]\)):

Bytter om på \(x\) og \(y\) for å skrive funksjonsuttrykket:

Definisjonsmengden til \(f^{-1}\) er verdimengden til \(f\). Siden \(f\) tar verdier fra \(f(0) = 3\) til \(f(2) = 7\), er

\(f^{-1}(x) = \sqrt{x-3}\) med \(D_{f^{-1}} = \langle 3, 7 \rangle\).

Posisjonsvektorer for småfugler og rovfugl

To småfugler er ute og flyr. Posisjonen til de to fuglene er gitt ved

Tiden \(t\) er målt i sekunder, og enhetene langs aksene er målt i meter.

En rovfugl er også ute og flyr og oppdager småfuglene ved tidspunktet \(t = 0\). Posisjonen til rovfuglen de første 6 sekundene er gitt ved

Fasit

a) Fugl 1: \(3\sqrt{5} \approx 6{,}71 \, \mathrm{m/s}\), fugl 2: \(\sqrt{41} \approx 6{,}40 \, \mathrm{m/s}\)
b) \(37 \, \mathrm{m}\)
c) \(t = \frac{257}{50} = 5{,}14 \, \mathrm{s}\), avstand \(\frac{49\sqrt{2}}{10} \approx 6{,}93 \, \mathrm{m}\)
d) Rovfuglen er nærmest fugl 2 ved \(t \approx 4{,}53 \, \mathrm{s}\) (avstand \(\approx 3{,}03 \, \mathrm{m}\)) og nærmest fugl 1 ved \(t \approx 4{,}68 \, \mathrm{s}\) (avstand \(\approx 4{,}69 \, \mathrm{m}\)). Rovfuglen fanger ingen av fuglene i løpet av de 6 sekundene.

Løsningsforslag

Vi bruker GeoGebra CAS til alle beregningene (se linje-referanser til skjermbildet).

a

Fartsvektor er den deriverte av posisjonsvektoren med hensyn på tid. Siden komponentene er lineære i \(t\), er fartsvektoren konstant:

Farten er lengden av fartsvektoren (se linje 5–6 i CAS):

Fugl 1 flyr \(3\sqrt{5} \approx 6{,}71 \, \mathrm{m/s}\) og fugl 2 flyr \(\sqrt{41} \approx 6{,}40 \, \mathrm{m/s}\).

b

Ved \(t = 0\) er posisjonene:

Avstanden er (se linje 7 i CAS):

c

Avstandskvadrat mellom fuglene er (se linje 8 i CAS):

Vi finner minimum ved å derivere og sette lik null (se linje 9 i CAS):

Minste avstand (se linje 10 i CAS):

Småfuglene er nærmest hverandre ved \(t = 5{,}14 \, \mathrm{s}\), med en avstand på \(\dfrac{49\sqrt{2}}{10} \approx 6{,}93 \, \mathrm{m}\).

d

Avstand mellom rovfuglen og hver av småfuglene beregnes ved å trekke fra posisjonskomponentene. Differansevektoren \(\vec{r}_R(t) - \vec{r}_1(t)\):

Dermed (se linje 11 i CAS):

Differansevektoren \(\vec{r}_R(t) - \vec{r}_2(t)\):

Dermed (se linje 12 i CAS):

Minimering over intervallet \([0, 6]\) (se linje 13–14 i CAS):

• \(d_{R1}\) har minimum ved \(t \approx 4{,}68 \, \mathrm{s}\) med avstand \(\approx 4{,}69 \, \mathrm{m}\)
• \(d_{R2}\) har minimum ved \(t \approx 4{,}53 \, \mathrm{s}\) med avstand \(\approx 3{,}03 \, \mathrm{m}\)

Beskrivelse av jakten: Rovfuglen starter ved \((-10, 5)\) ved \(t = 0\), omtrent 30 m fra fugl 1 og 13 m fra fugl 2. De første 4 sekundene nærmer rovfuglen seg begge fuglene. Rundt \(t \approx 4{,}53 \, \mathrm{s}\) er rovfuglen nærmest fugl 2, med bare \(\approx 3{,}03 \, \mathrm{m}\) avstand. Kort etter, ved \(t \approx 4{,}68 \, \mathrm{s}\), er rovfuglen nærmest fugl 1 med \(\approx 4{,}69 \, \mathrm{m}\) avstand. Deretter øker avstandene raskt. Rovfuglen fanger ingen av fuglene i løpet av de 6 sekundene (avstanden når aldri 0).