Derivasjon og graffortolkning

Funksjon \(g\) gitt ved

er kontinuerlig og deriverbar for alle \(x \in \mathbb{R}\).

Fasit

a) \(f'(x) = x^2 + \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)
b) \(g'(2) = \dfrac{1}{e^2}\), \(g'(3) = -\dfrac{1}{e^3}\)
c) \(g\) har et toppunkt i \(\langle 2, 3 \rangle\)

Løsningsforslag

a

Vi skriver om \(f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^{1/2} + 2\) og deriverer ledd for ledd:

\(\underline{\underline{f'(x) = x^2 + \dfrac{1}{2\sqrt{x}}}}\)

b

Vi bruker kvotientsregelen på \(g(x) = \dfrac{2x-3}{e^x}\):

Da er

\(\underline{\underline{g'(2) = \dfrac{1}{e^2} \approx 0{,}14}}\) og \(\underline{\underline{g'(3) = -\dfrac{1}{e^3} \approx -0{,}05}}\)

c

Siden \(g'(2) > 0\) er \(g\) stigende i \(x = 2\), og siden \(g'(3) < 0\) er \(g\) avtagende i \(x = 3\). Dermed må \(g\) ha et toppunkt et sted i det åpne intervallet \(\langle 2, 3 \rangle\).

Logaritmeligninger

Fasit

a) \(x = 10000\) eller \(x = 0{,}01\)
b) \(a = 4\)

Løsningsforslag

a

Vi setter \(u = \lg x\) og løser den kvadratiske likningen:

Så \(u = 4\) eller \(u = -2\), det vil si

\(\underline{\underline{x = 10000}}\) eller \(\underline{\underline{x = 0{,}01}}\)

b

Likningen \(\log_a \dfrac{1}{64} = -3\) betyr \(a^{-3} = \dfrac{1}{64}\), altså \(a^3 = 64\).

\(\underline{\underline{a = 4}}\)

Grenseverdier

Fasit

a) Grenseverdien eksisterer ikke
b) \(a = 3\), grenseverdi \(= \dfrac{1}{6}\)

Løsningsforslag

a

Vi faktoriserer nevneren: \(x^2 - 2x - 8 = (x-4)(x+2)\).

Nevneren går mot 0 når \(x \to -2\), mens telleren gir

Siden teller \(\to 14\) og nevner \(\to 0\), eksisterer ikke grenseverdien.

b

Del 1 – bestemme \(a\):

For at grenseverdien skal eksistere, må telleren også gå mot 0 når \(x \to -2\) (siden nevneren gjør det). Vi krever

\(\underline{\underline{a = 3}}\)

Del 2 – beregne grenseverdien:

Med \(a = 3\): teller \(= x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)\).

Grenseverdien er \(\underline{\underline{\dfrac{1}{6}}}\).

Koordinater, linje og ortogonalitet

I et koordinatsystem har vi gitt punktene \(A(-2, 3)\) og \(B(3, 2)\).

Linja gjennom \(A\) og \(B\) skjærer \(x\)-aksen i punktet \(C\).

Et punkt \(D\) er gitt ved \(D(2, t)\) der \(t \in \mathbb{R}\).

Fasit

a) \(|AB| = \sqrt{26}\)
b) \(C = (13,\; 0)\)
c) \(t = -3\)

Løsningsforslag

a

\(\underline{\underline{|AB| = \sqrt{26}}}\)

b

Stigningstallet til linjen gjennom \(A(-2,3)\) og \(B(3,2)\) er

Linjens ligning: \(y - 3 = -\dfrac{1}{5}(x + 2)\), det vil si \(y = \dfrac{13}{5} - \dfrac{x}{5}\).

For \(y = 0\): \(x = 13\).

\(\underline{\underline{C = (13,\; 0)}}\)

c

Vinkelen \(\angle ABD = 90°\) betyr at \(\vec{BA} \perp \vec{BD}\), altså \(\vec{BA} \cdot \vec{BD} = 0\).

\(\underline{\underline{t = -3}}\)

Funksjonsdrøfting og halveringsmetode

En funksjon \(f\) er gitt ved

En elev jobber med funksjonen \(f\) og har skrevet programmet nedenfor:

12345678910111213141516171819202122from math import log              # log(x) er kode for ln(x)

a = 0.1
b = 3

maks_avvik = 0.0001

def f(x):                         # definerer funksjonen
    return 4*x**2*log(x)

m = (a + b)/2

while abs(f(m)) >= maks_avvik:    # abs() finner absoluttverdi

	if f(a)*f(m) < 0:
		b = m
    else:
        a = m

    m = (a + b)/2

print(m)

Fasit

a) Bunnpunkt \(\left(\dfrac{1}{\sqrt{e}},\; -\dfrac{2}{e}\right)\), ingen toppunkt
b) \(m \approx 1{,}000\)

Løsningsforslag

a

\(f(x) = 4x^2 \ln x\) er definert for \(x > 0\).

For \(x > 0\) er \(4x > 0\), så \(f'(x) = 0\) når \(2\ln x + 1 = 0\), det vil si \(\ln x = -\dfrac{1}{2}\), altså \(x = e^{-1/2} = \dfrac{1}{\sqrt{e}}\).

Fortegnskifte: \(f' < 0\) for \(x < e^{-1/2}\) og \(f' > 0\) for \(x > e^{-1/2}\), så dette er et bunnpunkt.

Bunnpunkt: \(\underline{\underline{\left(\dfrac{1}{\sqrt{e}},\; -\dfrac{2}{e}\right)}}\)

Grafen til \(f\) har ingen toppunkt.

b

Eleven ønsker å finne nullpunktet til \(f\) i intervallet \([0{,}1,\; 3]\), ved hjelp av halveringsmetoden.

\(f(0{,}1) = 4 \cdot 0{,}01 \cdot \ln(0{,}1) \approx -0{,}092 < 0\) og \(f(3) = 36\ln 3 \approx 39{,}6 > 0\), så det finnes ett nullpunkt i intervallet. (Vi ser at \(f(x) = 4x^2 \ln x = 0\) for \(x = 1\).)

Hva programmet gjør i linje 11–20:

• Linje 11 setter \(m\) til midtpunktet i intervallet \([a, b]\).
• Linje 13: loopen fortsetter så lenge \(|f(m)| \ge 0{,}0001\).
• Linje 15–16: dersom \(f(a)\) og \(f(m)\) har motsatt fortegn, er nullpunktet i \([a, m]\) → vi oppdaterer \(b = m\).
• Linje 17–18: ellers er nullpunktet i \([m, b]\) → vi oppdaterer \(a = m\).
• Linje 20: ny midtpunkt beregnes.

Programmet halverer intervallet i hver iterasjon til \(|f(m)|\) er tilstrekkelig liten.

Programmet skriver ut \(\underline{\underline{m \approx 1{,}000}}\).

Logistisk vekstmodell

Tabellen nedenfor viser folketallet på et lite tettsted, noen år i perioden 1960–1980.

Fasit

a) \(F(t) = \dfrac{2841}{1 + 5{,}08 \cdot e^{-0{,}247t}}\)
b) \(F'(12) \approx 115\) pers/år, \(F''(12) \approx -16{,}7\) (veksten avtar)
c) \(t \in (3{,}33,\; 9{,}82)\), dvs. ca. 1963–1970

Løsningsforslag

a

Vi plotter datapunktene i GeoGebra og bruker Regresjon → Logistisk til å tilpasse en logistisk modell på formen \(F(t) = \dfrac{B}{1 + a \cdot e^{-kt}}\).

Regresjonen gir (avrundede verdier):

Modell: \(\underline{\underline{F(t) = \dfrac{2841}{1 + 5{,}08 \cdot e^{-0{,}247t}}}}\)

Gyldighetsområde: Dataene strekker seg fra 1960 til 1980 (\(t \in [0, 20]\)). Modellen gir rimelige resultater i dette intervallet. Utenfor dette vil vi ha større usikkerhet – særlig for \(t \gg 20\) der befolkningstallet ifølge modellen nærmer seg metningsgrensen \(B \approx 2841\).

b

Vi deriverer \(F(t)\) og evaluerer i GeoGebra CAS:

\(\underline{\underline{F'(12) \approx 115}}\) personer per år.

Praktisk tolkning: I 1972 (dvs. \(t = 12\)) økte befolkningstallet med omtrent 115 personer per år.

\(\underline{\underline{F''(12) \approx -16{,}7}}\) (personer per år) per år.

Praktisk tolkning: \(F''(12) < 0\) betyr at veksthastigheten er avtagende i 1972 – befolkningsveksten er på vei ned fra toppen. (Vendepunktet, der veksthastigheten er størst, inntreffer ved \(t \approx 6{,}6\), dvs. rundt 1966–1967.)

c

Vi setter \(F'(t) = 150\) og løser i GeoGebra CAS:

Løsningene er \(t \approx 3{,}33\) og \(t \approx 9{,}82\).

Siden \(F'(t)\) stiger mot maksimum og deretter synker, er \(F'(t) > 150\) for \(t \in (3{,}33,\; 9{,}82)\), det vil si fra ca. midten av 1963 til slutten av 1969 økte befolkningstallet med mer enn 150 personer per år.

\(\underline{\underline{t \in (3{,}33,\; 9{,}82)}}\), dvs. fra ca. 1963 til 1970.

Stykkevis funksjon og deriverbarhet

Funksjonen \(f\) er gitt ved

Fasit

a) Ikke kontinuerlig (\(f(-2) = -6\), midtdel \(\to -4\))
b) \(a = 14\), \(b = 24\). Enten \(k = \frac{1}{3}\), \(c = -\frac{10}{27}\) eller \(k = -1\), \(c = 2\)

Løsningsforslag

a

Vi undersøker om \(f\) er kontinuerlig i \(x = -2\) med \(a = 2\) og \(b = -2\).

Venstresiden (\(x \le -2\)): \(f(-2) = 2(-2) + (-2) = -6\)

Høyresiden (\(-2 < x\)): \(\lim_{x \to -2^+} f(x) = 2(-2)^3 + 2(-2)^2 - 2(-2) = -16 + 8 + 4 = -4\)

Siden \(-6 \neq -4\) er ikke grenseverdien lik funksjonsverdien, og \(f\) er ikke kontinuerlig i \(x = -2\).

b

Kontinuitet og deriverbarhet i \(x = -2\):

Middeldelen i \(x = -2\) gir (som beregnet ovenfor):

Venstresiden: \(f(-2) = -2a + b\).

Krav om kontinuitet: \(-2a + b = -4\) … (1)

For deriverbarhet: middeldelen har \(f'(x) = 6x^2 + 4x - 2\), som gir \(f'(-2) = 6 \cdot 4 + 4 \cdot (-2) - 2 = 14\). Venstresiden har \(f'(x) = a\).

Krav om deriverbarhet: \(a = 14\) … (2)

Fra (1) og (2): \(-2 \cdot 14 + b = -4 \implies b = 24\).

Kontinuitet og deriverbarhet i \(x = k\):

Middeldelen i \(x = k\): \(f(k) = 2k^3 + 2k^2 - 2k\), og høyresiden er konstanten \(c\).

Krav om kontinuitet: \(c = 2k^3 + 2k^2 - 2k\) … (3)

For deriverbarhet: høyresiden har \(f'(x) = 0\). Middeldelen: \(f'(k) = 6k^2 + 4k - 2\).

Krav om deriverbarhet: \(6k^2 + 4k - 2 = 0 \implies 3k^2 + 2k - 1 = 0 \implies (3k-1)(k+1) = 0\)

Begge verdiene er i \(\langle -2, \rightarrow \rangle\). Vi beregner \(c\) for begge:

• \(k = \dfrac{1}{3}\): \(c = 2 \cdot \dfrac{1}{27} + 2 \cdot \dfrac{1}{9} - 2 \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{27} + \dfrac{6}{27} - \dfrac{18}{27} = -\dfrac{10}{27}\)

• \(k = -1\): \(c = 2(-1)^3 + 2(-1)^2 - 2(-1) = -2 + 2 + 2 = 2\)

Svar:

og enten \(\underline{\underline{k = \dfrac{1}{3},\ c = -\dfrac{10}{27}}}\) eller \(\underline{\underline{k = -1,\ c = 2}}\).

Luktintensitet og logaritmisk modell

Beboerne i et boligområde klager på lukt fra et biogassanlegg. Kommunen tar luftprøver og vurderer værdata som vind og temperatur.

Prøvene analyseres, og hver prøve gis en luktverdi \(C\). Denne luktverdien er gitt i luktenheter (odour units) per kubikkmeter (\(\mathrm{OU/m^3}\)).

Sammenhengen mellom \(C\) og luktintensiteten \(I\) er gitt ved

Biogassanlegget er pålagt å forholde seg til tabellen nedenfor.

Resultatet av prøvene viser luktverdier mellom \(500 \mathrm{~OU/m^3}\) og \(1400 \mathrm{~OU/m^3}\).

Biogassanlegget tar klagene på alvor og ønsker å redusere luktplagene.

Fasit

a) Ja, \(I \in (3{,}48,\; 4{,}10)\) – godt over akseptabelt nivå
b) \(C \le 44 \, \mathrm{OU/m^3}\)

Løsningsforslag

a

Vi beregner luktintensiteten for de to ytterverdiene \(C = 500\) og \(C = 1400\):

Luktintensiteten ligger mellom ca. \(3{,}5\) og \(4{,}1\), noe som ifølge tabellen tilsvarer kategoriene «plagsom lukt, bør begrenses» og «plagsomt, tiltak kreves».

Ja, beboerne har grunnlag for å klage. \(\underline{\underline{I \in (3{,}48,\; 4{,}10)}}\), som er langt over akseptabelt nivå.

b

For akseptabel luktintensitet kreves \(I \le 2\):

Nye prøver må vise \(\underline{\underline{C \le 44 \, \mathrm{OU/m^3}}}\) for at luktintensiteten skal bli akseptabel.

(Til sammenligning viser nåværende prøver 500–1400 \(\mathrm{OU/m^3}\), så en reduksjon på over 90 % er nødvendig.)

Parameterframstilling og møtepunkt

Ina følger en sti fra ei hytte til et utsiktspunkt. I et koordinatsystem der enheten langs aksene er meter, ligger hytta i punktet \(H(0, 300)\) og utsiktspunktet i \(U(1200, 400)\). Stien mellom hytta og utsiktspunktet er en rett linje. Ina går med konstant fart.

Hele turen tar 20 minutter.

Jonas er ute på tur i samme område som Ina. De to vennene møter hverandre.

Jonas sin posisjon \(t\) minutter etter at han startet sin tur, er gitt ved

Fasit

b) \((300,\; 325)\)
c) \(\dfrac{\sqrt{145}}{12} \approx 1{,}00 \, \mathrm{m/s}\)
d) \(35\sqrt{145} \approx 421{,}5 \, \mathrm{m}\)

Løsningsforslag

a

Parameterframstillingen er

Vi sjekker endepunktene:

• \(s = 0\): \((x, y) = (0, 300) = H\) ✓
• \(s = 1\): \((x, y) = (1200, 400) = U\) ✓

Retningsvektoren er \((1200, 100) = \vec{HU}\), og startpunktet er \(H\). Dermed er parameterfremstillingen den rette linjen fra \(H\) til \(U\), og for \(s \in [0, 1]\) dekker den nøyaktig linjestykket \(HU\).

b

Hele turen er 20 minutter, og etter 5 minutter er \(s = \dfrac{5}{20} = \dfrac{1}{4}\).

Etter 5 minutter er Ina i posisjonen \(\underline{\underline{(300,\; 325)}}\).

c

Strekningslengden fra \(H\) til \(U\) er

Turen tar 20 min \(= 20 \cdot 60 \, \mathrm{s} = 1200 \, \mathrm{s}\).

Farten til Ina er \(\underline{\underline{\dfrac{\sqrt{145}}{12} \approx 1{,}00 \, \mathrm{m/s}}}\).

d

Vi skriver Inas posisjon som funksjon av sin tid \(t_I\) (minutter fra start):

Vi setter Inas og Jonas sin posisjon lik hverandre:

Fra andre ligning: \(t_I - t_J = 2\), dvs. \(t_I = t_J + 2\).

Setter inn i første ligning:

Altså \(t_I = 7\) (Ina har gått i 7 minutter).

Møtepunkt: \((60 \cdot 7,\; 300 + 5 \cdot 7) = (420, 335)\).

Avstand Ina har gått:

Alternativt: Ina har gått \(\dfrac{7}{20}\) av turen, så \(\dfrac{7}{20} \cdot 100\sqrt{145} = 35\sqrt{145}\).

Ina har gått \(\underline{\underline{35\sqrt{145} \approx 421{,}5 \, \mathrm{m}}}\) når hun møter Jonas.

Vektorer, lengde og ortogonalitet

For \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\) er \(|\vec{a}| = 4\), \(|\vec{b}| = 2\sqrt{3}\) og vinkelen mellom \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\) er \(30\degree\).

Det er gitt at \(\vec{p} = \vec{a} + \vec{b}\).

Det er gitt at \(\vec{q} = t \cdot \vec{a} + \vec{b}\), der \(t \in \mathbb{R}\).

Fasit

a) \(|\vec{p}| = 2\sqrt{13}\)
b) \(t = -\dfrac{6}{7}\)

Løsningsforslag

a

Vi beregner \(|\vec{p}|^2 = |\vec{a} + \vec{b}|^2\):

Prikkproduktet er

Dermed

\(\underline{\underline{|\vec{p}| = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}}}\)

b

\(\vec{p} \perp \vec{q}\) krever \(\vec{p} \cdot \vec{q} = 0\):

\(\underline{\underline{t = -\dfrac{6}{7}}}\)

Grafer og dobbeltderivert

Nedenfor ser du åtte grafer.

• En av grafene er grafen til en funksjon på formen \(a^x\), der \(a\) er et positivt helt tall.
• Tre av grafene er grafer til funksjoner på formen \(x^b - c\), der \(b\) og \(c\) er positive hele tall.
• Fire av grafene er grafene til den dobbeltderiverte til de fire funksjonene som er beskrevet ovenfor.

Fasit

a) Par: A–G, B–C, D–F, E–H
b) A, B, C og G har invers funksjon

Løsningsforslag

a

Vi analyserer de åtte grafene ut fra egenskapene til de fire funksjonstypene og deres andredeiverte:

Parene er:

• A og G: A er eksponentielt voksende (grafen til \(a^x\), alltid positiv, konveks). G har samme form – dette er grafen til den andredeiverte \((\ln a)^2 a^x\), som er proporsjonal med \(a^x\).

• E og H: E er en parabel med bunnpunkt under \(x\)-aksen, som passer med \(x^2 - c\) for \(c > 0\). H er en horisontal linje, noe som stemmer med den konstanteandredeiverte \(f''(x) = 2\).

• B og C: B er en S-formet kurve (stigende gjennom hele definisjonsmengden), som passer med \(x^3 - c\). C viser en rett stigende linje for \(x > 0\), noe som stemmer med den lineære andredeiverte \(f''(x) = 6x\).

• D og F: D er en U-formet kurve, flatere enn en parabel nær origo, som passer med \(x^4 - c\). F er en parabel åpnende oppover med toppunkt i origo, noe som stemmer med \(f''(x) = 12x^2\).

Sammenstilling:

b

En funksjon har en invers funksjon dersom og bare dersom den er injektiv (en-til-en), dvs. strengt stigende eller strengt avtagende på hele definisjonsmengden.

• A (\(a^x\)): strengt stigende for alle \(x\) → har invers ✓
• B (\(x^3 - c\)): strengt stigende for alle \(x\) → har invers ✓
• C (\(6x\)): strengt stigende for alle \(x\) → har invers ✓
• G (\((\ln a)^2 a^x\)): strengt stigende for alle \(x\) → har invers ✓
• D (\(x^4 - c\)): ikke monoton (avtar, deretter stiger) → har ikke invers
• E (\(x^2 - c\)): ikke monoton (avtar, deretter stiger) → har ikke invers
• F (\(12x^2\)): ikke monoton (avtar, deretter stiger) → har ikke invers
• H (konstant): ikke en-til-en → har ikke invers

\(\underline{\underline{\text{Grafene A, B, C og G er grafer til funksjoner med invers funksjon.}}}\)