R1 eksamen V2025

Oversikt over eksamensoppgavene

Del 1 — 2 timer — uten hjelpemidler

№	Navn	Poeng	LF
1-1	Derivasjon av eksponential og potensfunksjon	2	KI
1-2	Nullpunkter og ekstremalpunkter med produkt	5	KI
1-3	Eksponential- og logaritmelikninger	4	KI
1-4	Grenseverdier med algebraisk forenkling	4	×
1-5	Kontinuitet og deriverbarhet stykkevis	3	KI
1-6	Vektorer og basketball	5	KI

Del 2 — 3 timer — med hjelpemidler

№	Navn	Poeng	LF
2-1	Logistisk vekstmodell batteriteknologi	6	KI
2-2	Omvendt funksjon og tangentlikninger	6	KI
2-3	Stykkevis funksjon med ukjent uttrykk	3	KI
2-4	Fiskebåt og vektorbevegelse	8	KI
2-5	Tangent til ln og trekantareal	4	KI

Del 1

Oppgave 1-1 (2 poeng)

Derivasjon av eksponential og potensfunksjon

Oppgave

Deriver funksjonen $f$ gitt ved

\[f(x) = e^{-2x} + \frac{1}{5}x^5 - 2\pi \]

Fasit

$\underline{\underline{f'(x) = -2e^{-2x} + x^4}}$

Løsningsforslag

Vi deriverer ledd for ledd.

Første ledd: $e^{-2x}$

Vi bruker kjerneregelen med $u = -2x$ og $e^u$:

\[\left(e^{-2x}\right)' = e^{-2x} \cdot (-2x)' = e^{-2x} \cdot (-2) = -2e^{-2x} \]

Andre ledd: $\frac{1}{5}x^5$

Vi bruker potensregelen:

\[\left(\frac{1}{5}x^5\right)' = \frac{1}{5} \cdot 5x^4 = x^4 \]

Tredje ledd: $2\pi$

$2\pi$ er en konstant, og den deriverte av en konstant er 0.

Samlet:

\[f'(x) = \textcolor{seagreen}{-2e^{-2x}} + \textcolor{steelblue}{x^4} \]

Oppgave 1-2 (5 poeng)

Nullpunkter og ekstremalpunkter med produkt

En funksjon $g$ er gitt ved $g(x) = \dfrac{1}{2}e^x \cdot (2x-1)^2$

Oppgave

Bestem eventuelle nullpunkter til funksjonen $g$.
Vis at $g'(x) = \dfrac{1}{2}e^x(2x-1)(2x+3)$
Finn koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $g$.

Fasit

a) $\underline{\underline{x = \dfrac{1}{2}}}$ (dobbelt nullpunkt)
b) Se løsningsforslag.
c) Toppunkt: $\underline{\underline{\left(-\dfrac{3}{2},\ 8e^{-3/2}\right)}}$, bunnpunkt: $\underline{\underline{\left(\dfrac{1}{2},\ 0\right)}}$

Løsningsforslag

a

Vi ser etter $x$ slik at $g(x) = 0$:

\[\frac{1}{2}e^x \cdot (2x-1)^2 = 0 \]

Et produkt er null når minst én faktor er null. Siden $e^x > 0$ for alle $x$, og $\frac{1}{2} > 0$, må

\[(2x-1)^2 = 0 \implies 2x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2} \]

$g$ har ett nullpunkt: $x = \dfrac{1}{2}$ (dobbelt nullpunkt).

b

Vi deriverer $g(x) = \dfrac{1}{2}e^x \cdot (2x-1)^2$ med produktregelen $(uv)' = u'v + uv'$:

\[u = \frac{1}{2}e^x, \quad u' = \frac{1}{2}e^x \]

\[v = (2x-1)^2, \quad v' = 2(2x-1) \cdot 2 = 4(2x-1) \]

Dermed:

\[g'(x) = \frac{1}{2}e^x \cdot (2x-1)^2 + \frac{1}{2}e^x \cdot 4(2x-1) \]

Vi faktoriserer ut $\dfrac{1}{2}e^x(2x-1)$:

\[g'(x) = \frac{1}{2}e^x(2x-1)\bigl[(2x-1) + 4\bigr] = \frac{1}{2}e^x(2x-1)(2x+3) \]

Dette er det vi skulle vise. $\square$

c

Vi setter $g'(x) = 0$:

\[\frac{1}{2}e^x(2x-1)(2x+3) = 0 \]

Siden $\dfrac{1}{2}e^x > 0$ for alle $x$, må

\[(2x-1)(2x+3) = 0 \implies x = \frac{1}{2} \quad \text{eller} \quad x = -\frac{3}{2} \]

Fortegnsskjema for $g'(x) = \frac{1}{2}e^x \cdot (2x-1) \cdot (2x+3)$:

	$x < -\dfrac{3}{2}$	$x = -\dfrac{3}{2}$	$-\dfrac{3}{2} < x < \dfrac{1}{2}$	$x = \dfrac{1}{2}$	$x > \dfrac{1}{2}$
$(2x+3)$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$(2x-1)$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$g'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$g$	$\nearrow$	topp	$\searrow$	bunn	$\nearrow$

$g$ har toppunkt i $x = -\dfrac{3}{2}$ og bunnpunkt i $x = \dfrac{1}{2}$.

Funksjonsverdi i toppunktet:

\[g\!\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2}e^{-3/2} \cdot \left(2 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) - 1\right)^2 = \frac{1}{2}e^{-3/2} \cdot (-4)^2 = \frac{1}{2}e^{-3/2} \cdot 16 = 8e^{-3/2} \]

Funksjonsverdi i bunnpunktet:

\[g\!\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}e^{1/2} \cdot (2 \cdot \tfrac{1}{2} - 1)^2 = \frac{1}{2}e^{1/2} \cdot 0 = 0 \]

Toppunkt: $\left(-\dfrac{3}{2},\ 8e^{-3/2}\right) \approx \left(-1{,}5;\ 1{,}78\right)$

Bunnpunkt: $\left(\dfrac{1}{2},\ 0\right)$

Oppgave 1-3 (4 poeng)

Eksponential- og logaritmelikninger

Løs likningene

Oppgave

$3^{3x+2} - 5 = 76$
$3\lg x + 2\lg x^2 + \lg\dfrac{1}{x^9} = 2$

Fasit

a) $\underline{\underline{x = \dfrac{2}{3}}}$
b) $\underline{\underline{x = \dfrac{1}{10}}}$

Løsningsforslag

a

Vi skriver 81 som en potens med grunntall 3:

\[81 = 3^4 \]

Likningen blir da

\[3^{3x+2} - 5 = 76 \]

\[3^{3x+2} = 81 = 3^4 \]

Siden grunntalene er like, kan vi sette eksponentene like:

\[3x + 2 = 4 \]

\[3x = 2 \]

\[\underline{\underline{x = \dfrac{2}{3}}} \]

b

Vi bruker logaritmereglene for å forenkle venstresiden:

\[3\lg x + 2\lg x^2 + \lg\dfrac{1}{x^9} \]

Først bruker vi potensregelen $\lg a^n = n \lg a$:

\[= 3\lg x + 2 \cdot 2\lg x + \lg x^{-9} \]

\[= 3\lg x + 4\lg x + (-9)\lg x \]

\[= (3 + 4 - 9)\lg x \]

\[= -2\lg x \]

Likningen er altså

\[-2\lg x = 2 \]

\[\lg x = -1 \]

\[\underline{\underline{x = 10^{-1} = \dfrac{1}{10}}} \]

Oppgave 1-4 (4 poeng)

Grenseverdier med algebraisk forenkling

Oppgave

Bestem grenseverdiene

$\lim_{x\to 3} \dfrac{3(x^2-3)}{x-3}$
$\lim_{x\to 4} \dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}$

Fasit

a) Grenseverdien eksisterer ikke (venstre- og høyregrense stemmer ikke overens).

Løsningsforslag

a

Vi ser at nevneren går mot null når $x\to 3$, mens telleren går mot $3 \cdot (9-3)=3\cdot 6 = 18$.

La oss se hva som skjer når vi nærmer oss $3$ fra venstre side. Jeg velger $x=2{,}5$ for å få en følelse for tallene.

\[\frac{3(2{,}5^{2}-3)}{2{,}5-3}=\frac{3(6{,}25-3)}{-0{,}5}=\frac{3 \cdot 3{,}25}{-0{,}5} = -19{,}5\]

Hvis vi hadde valgt en verdi nærmere $3$ ville fått et enda mer ekstremt negativt svar.

\[\lim_{ x \to 3^{-} } \frac{3(x^{2}-3)}{x-3}= -\infty \]

Når vi nærmer oss 3 fra høyre side så får vi (vi velger 3,5)

\[\frac{3(3{,}5^{2}-3)}{3{,}5-3}=\frac{3(12{,}25-3)}{0{,}5}=\frac{3 \cdot 9{,}25}{0{,}5} \approx 55\]

Hvis vi hadde valgt et tall nærmere 3 ville vi fått et enda mer ekstremt positivt svar.

\[\lim_{ x \to 3^{+} } \frac{3(x^{2}-3)}{x-3}= \infty \]

Grenseverdien eksisterer ikke siden grenseverdiene fra venstre og høyre side ikke stemmer overens.

Oppgave 1-5 (3 poeng)

Kontinuitet og deriverbarhet stykkevis

Funksjonen $f$ er gitt ved

\[f(x) = \begin{cases} x^2 + 2\text{,} \quad & x < 0 \\ 2e^x\text{,} & x \ge 0 \end{cases} \]

Oppgave

Avgjør om $f$ er kontinuerlig i $x = 0$.
Avgjør om $f$ er deriverbar i $x = 0$.

Fasit

a) $f$ er kontinuerlig i $x = 0$.
b) $f$ er ikke deriverbar i $x = 0$.

Løsningsforslag

a

Vi skal avgjøre om $f$ er kontinuerlig i $x = 0$. Vi undersøker venstregrensen, funksjonsverdien og høyregrensen.

Venstregrensen ($x \to 0^-$, dvs. $f(x) = x^2 + 2$):

\[\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0^2 + 2 = 2 \]

Funksjonsverdien (siden $x = 0$ gir $f(x) = 2e^x$):

\[f(0) = 2e^0 = 2 \cdot 1 = 2 \]

Høyregrensen ($x \to 0^+$, dvs. $f(x) = 2e^x$):

\[\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2e^0 = 2 \]

Siden $\lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = 2$, er $f$ $\underline{\underline{\text{kontinuerlig i } x = 0}}$.

b

Vi skal avgjøre om $f$ er deriverbar i $x = 0$. Det krever at den deriverte fra venstre og høyre er like.

Den deriverte fra venstre bruker $f(x) = x^2 + 2$, som gir $f'(x) = 2x$:

\[\lim_{x \to 0^-} f'(x) = 2 \cdot 0 = 0 \]

Den deriverte fra høyre bruker $f(x) = 2e^x$, som gir $f'(x) = 2e^x$:

\[\lim_{x \to 0^+} f'(x) = 2e^0 = 2 \]

Siden $0 \ne 2$, er de ensidige deriverte ikke like, og $f$ er $\underline{\underline{\text{ikke deriverbar i } x = 0}}$.

Oppgave 1-6 (5 poeng)

Vektorer og basketball

Jelena, Nils og Ahmad spiller basketball. Tenk deg at vi legger et koordinatsystem over banen. Ved et tidspunkt befinner Jelena seg i punktet $J(0,0)$, Nils befinner seg i punktet $N(-1,2)$, og Ahmad befinner seg i punktet $A(1,1)$. Enheten langs aksene er meter.

Oppgave

Hvor langt er det mellom Nils og Ahmad? Gi svaret eksakt.

En basketball ligger i punktet $(-1, a)$, der $a \in \mathbb{R}$. Vektoren som går fra Jelena til ballen, er parallell med vektoren som går fra Nils til Ahmad.

Oppgave

Bestem $a$.

Nils flytter seg til et nytt punkt $M$. $M$ er det nærmeste punktet som er plassert slik at avstanden mellom Jelena og Nils er $\sqrt{10}$ meter. Vinkelen mellom Nils, Ahmad og Jelena, $\angle MAJ$, er 90 grader.

Oppgave

Bestem koordinatene til $M$.

Fasit

a) $\underline{\underline{|NA| = \sqrt{5} \, \mathrm{m}}}$
b) $\underline{\underline{a = \dfrac{1}{2}}}$
c) $\underline{\underline{M = (-1,\, 3)}}$

Løsningsforslag

a

Vi finner vektoren $\overrightarrow{NA}$ fra $N(-1, 2)$ til $A(1, 1)$:

\[\overrightarrow{NA} = A - N = (1-(-1),\ 1-2) = (2,\ -1) \]

Lengden er

\[|NA| = |\overrightarrow{NA}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+1} = \textbf{$\underline{\underline{\sqrt{5} \, \mathrm{m}}}$} \]

b

Vektoren fra Jelena $J(0, 0)$ til ballen $B(-1, a)$ er

\[\overrightarrow{JB} = (-1-0,\ a-0) = (-1,\ a) \]

To vektorer er parallelle når determinanten er null (eller den ene er en skalarmultippel av den andre).

\[\overrightarrow{JB} \parallel \overrightarrow{NA} \iff (-1)\cdot(-1) - 2\cdot a = 0 \]

\[1 - 2a = 0 \implies \textbf{$\underline{\underline{a = \dfrac{1}{2}}}$} \]

Alternativt: $\overrightarrow{JB} = k \cdot \overrightarrow{NA}$ gir $-1 = 2k$, altså $k = -\tfrac{1}{2}$, og da $a = k \cdot (-1) = \tfrac{1}{2}$.

c

Vi har to krav til punktet $M$:

Avstand $JM = \sqrt{10}$: $M$ ligger på sirkelen $x^2 + y^2 = 10$.
Vinkel $\angle MAJ = 90°$: $\overrightarrow{AM} \perp \overrightarrow{AJ}$.

Vi finner $\overrightarrow{AJ}$ fra $A(1,1)$ til $J(0,0)$:

\[\overrightarrow{AJ} = J - A = (-1,\ -1) \]

En vektor vinkelrett på $(-1, -1)$ har retning $(1, -1)$ (roter 90°). Vi skriver

\[\overrightarrow{AM} = k(1,\ -1), \quad k \in \mathbb{R} \]

Da er

\[M = A + \overrightarrow{AM} = (1+k,\ 1-k) \]

Krav 1 gir:

\[(1+k)^2 + (1-k)^2 = 10 \]

\[1 + 2k + k^2 + 1 - 2k + k^2 = 10 \]

\[2 + 2k^2 = 10 \implies k^2 = 4 \implies k = \pm 2 \]

Dette gir to kandidater:

$k = 2$: $M_1 = (3,\ -1)$
$k = -2$: $M_2 = (-1,\ 3)$

Nils befant seg opprinnelig i $N(-1, 2)$. Vi velger det nærmeste punktet til $N$:

\[|NM_1| = \sqrt{(3-(-1))^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{16+9} = 5 \, \mathrm{m} \]

\[|NM_2| = \sqrt{(-1-(-1))^2 + (3-2)^2} = \sqrt{0+1} = 1 \, \mathrm{m} \]

Det nærmeste punktet er $M_2$:

\[\textbf{$\underline{\underline{M = (-1,\ 3)}}$} \]

Del 2

Oppgave 2-1 (6 poeng)

Logistisk vekstmodell batteriteknologi

Teknologiselskapet PowBat skal lansere en ny batteriteknologi i en by med 3 millioner husstander. PowBat regner med at antallet husstander som har batteriet $t$ uker etter lanseringen, vil følge modellen $S$ gitt ved

\[S(t) = \frac{2\ 500\ 000}{1 + 2500 \cdot e^{-0{,}08t}} \]

Oppgave

Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene i byen har batteriet, ifølge modellen?
Bestem $S'(52)$. Gi en praktisk tolkning av svaret.

Det viser seg at konkurrenten BA3 planlegger å lansere et batteri med tilsvarende teknologi samtidig. Dette vil påvirke salget til PowBat.

Etter å ha hørt om planene til BA3 antar PowBat at

de totalt vil få solgt batteriet sitt til 1,5 millioner husstander
500 husstander har batteriet når det lanseres
flest nye husstander kjøper batteriet i uke 60

Oppgave

Bruk antakelsene ovenfor til å finne en ny logistisk modell $F$ for antallet husstander som har batteriet etter $t$ uker.

Fasit

a) $\underline{\underline{t \approx 102{,}87 \text{ uker}}}$
b) $\underline{\underline{S'(52) \approx 4873}}$ husstander per uke. Omtrent ett år etter lansering øker antallet husstander med batteriet med ca. 4873 per uke.
c) $\underline{\underline{F(t) = \dfrac{1\ 500\ 000}{1 + 2999 \cdot e^{-0{,}1334t}}}}$

Løsningsforslag

Vi bruker GeoGebra CAS (numerisk modus) til å løse alle tre deloppgavene i én sesjon.

GeoGebra CAS – logistisk vekstmodell batteriteknologi

a

Halvparten av husstandene i byen er $\tfrac{3\ 000\ 000}{2} = 1\ 500\ 000$. Vi skal finne $t$ slik at $S(t) = 1\ 500\ 000$.

Vi definerer $S$ og løser likningen i CAS:

\[S(t) := \frac{2\ 500\ 000}{1 + 2500 \cdot e^{-0{,}08t}} \]

\[\texttt{Løs}(S(t) = 1\ 500\ 000,\; t) \quad \Rightarrow \quad t \approx 102{,}87 \]

Vi kan også løse for hånd for å bekrefte:

\[\frac{2\ 500\ 000}{1 + 2500 \cdot e^{-0{,}08t}} = 1\ 500\ 000 \]

\[1 + 2500 \cdot e^{-0{,}08t} = \frac{5}{3} \]

\[e^{-0{,}08t} = \frac{2}{3 \cdot 2500} = \frac{1}{3750} \]

\[-0{,}08t = \ln\!\left(\frac{1}{3750}\right) = -\ln(3750) \]

\[t = \frac{\ln(3750)}{0{,}08} \approx \frac{8{,}230}{0{,}08} \approx 102{,}87 \]

Det vil ta omtrent $\underline{\underline{102{,}87 \text{ uker}}}$ før halvparten av husstandene i byen har batteriet.

b

Vi beregner den deriverte i $t = 52$ i CAS:

\[S'(52) \approx 4872{,}76 \]

Til kontroll: $S(52) \approx 62\ 470$ husstander.

$\underline{\underline{S'(52) \approx 4873}}$ husstander per uke.

Praktisk tolkning: Omtrent 52 uker (ett år) etter lansering øker antallet husstander som har batteriet, med ca. 4873 per uke.

c

Vi skal finne en logistisk modell $F(t) = \dfrac{B}{1 + A \cdot e^{-rt}}$ basert på tre antakelser:

Bæreevne: $B = 1\ 500\ 000$
$F(0) = 500$
Vendepunktet (flest nye husstander per uke) er ved $t = 60$

Bestem $A$: Vendepunktet for en logistisk funksjon ligger når $F(t) = \tfrac{B}{2}$, og ved vendepunktet er $t_v = \dfrac{\ln A}{r}$. Fra $F(0) = 500$:

\[\frac{1\ 500\ 000}{1 + A} = 500 \quad \Rightarrow \quad 1 + A = 3000 \quad \Rightarrow \quad A = 2999 \]

Bestem $r$: Vendepunktet er ved $t = 60$:

\[t_v = \frac{\ln A}{r} \quad \Rightarrow \quad r = \frac{\ln 2999}{60} \approx \frac{8{,}006}{60} \approx 0{,}1334 \]

Vi bekrefter i CAS at $F(0) = 500$ og at vendepunktet er $(60,\; 750\ 000)$.

\[\boxed{F(t) = \frac{1\ 500\ 000}{1 + 2999 \cdot e^{-0{,}1334t}}} \]

Oppgave 2-2 (6 poeng)

Omvendt funksjon og tangentlikninger

Funksjonen $f$ er gitt ved

\[f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 1 \]

og har definisjonsmengden $I = [a, b]$ der $a, b \in \mathbb{R}$.

Oppgave

Bestem det største intervallet $I$, slik at $f$ har en omvendt funksjon $g$ når $2 \in I$.
Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(-10, 3)$.
Grafen til $g$ har en annen tangent med samme stigningstall som tangenten i punktet $(-10, 3)$. Bestem koordinatene til tangeringspunktet.

Fasit

a) $\underline{\underline{I = [0, 4]}}$
b) $\underline{\underline{-\dfrac{1}{3}}}$
c) $\underline{\underline{\left(-\dfrac{8}{3},\ 1\right)}}$

Løsningsforslag

Vi definerer $f$ og beregner $f'$ i GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS – omvendt funksjon og tangentlikninger

a

For at $f$ skal ha en omvendt funksjon $g$ på $I$ må $f$ være strengt monoton (én-til-én) på $I$.

Vi deriverer $f$:

\[f'(x) = x^2 - 4x = x(x-4) \]

Stasjonære punkter: $f'(x) = 0$ gir $x = 0$ og $x = 4$ (linje 3 i CAS).

$f$ er avtagende for $x \in (0, 4)$ siden $f'(x) < 0$ der, og $2 \in (0, 4)$. Det største intervallet der $f$ er monoton og inneholder $x = 2$ er derfor

\[\underline{\underline{I = [0, 4]}} \]

(For kontroll: $f(0) = -1$ og $f(4) = -\dfrac{35}{3}$, så $f$ er strengt avtagende på hele intervallet.)

b

Tangeringspunktet på grafen til $g$ er $(-10, 3)$, altså $g(-10) = 3$.

Siden $g$ er den omvendte funksjonen til $f$, betyr dette at $f(3) = -10$.

Kontroll (linje 6): $f(3) = -10$ ✓

Sammenhengen mellom stigningstallene til $f$ og $g$ i speilpunktene er:

\[g'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} \]

Her er $x_0 = 3$ og $y_0 = f(3) = -10$:

\[g'(-10) = \frac{1}{f'(3)} = \frac{1}{-3} = \underline{\underline{-\frac{1}{3}}} \]

(Linje 7–8 i CAS bekrefter $f'(3) = -3$ og $\dfrac{1}{f'(3)} = -\dfrac{1}{3}$.)

c

Vi søker et annet punkt på grafen til $g$ der tangenten har stigningstall $-\dfrac{1}{3}$.

\[g'(y) = -\frac{1}{3} \implies \frac{1}{f'(x)} = -\frac{1}{3} \implies f'(x) = -3 \]

Vi løser $f'(x) = -3$ (linje 9 i CAS):

\[x^2 - 4x = -3 \implies x^2 - 4x + 3 = 0 \implies (x-1)(x-3) = 0 \]

\[x = 1 \quad \text{eller} \quad x = 3 \]

$x = 3$ svarer til tangeringspunktet vi allerede fant i b). Den andre løsningen er $x = 1$.

$f(1) = -\dfrac{8}{3}$ (linje 10 i CAS).

Punktet på grafen til $f$ er $\left(1,\ -\dfrac{8}{3}\right)$, og siden $g$ er den omvendte funksjonen, er det tilsvarende punktet på grafen til $g$:

\[\underline{\underline{\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)}} \]

Oppgave 2-3 (3 poeng)

Stykkevis funksjon med ukjent uttrykk

Amalie arbeider med en funksjon $f$ med delt forskrift og skal vise funksjonsuttrykket til de andre i klassen. Dessverre har hun sølt på arket sitt og klarer ikke å lese alt som står der.

\[f(x) = \begin{cases} -9x - 15\text{,} & x \le -2 \\ \blacksquare\blacksquare\blacksquare\blacksquare \text{,} & -2 < x < 1 \\ \dfrac{x^2}{2} - x - \dfrac{7}{2}\text{,} \quad & x \ge 1 \end{cases}\]

Hun husker at $f$ er kontinuerlig og deriverbar for alle $x \in \mathbb{R}$. Hun husker også at det midterste uttrykket er et tredjegradspolynom.

Oppgave

Bruk dette til å bestemme hele funksjonsuttrykket til $f$.

Fasit

\[\mathbf{f(x) = \begin{cases} -9x - 15\text{,} & x \le -2 \\ -\dfrac{13}{27}x^3 + \dfrac{7}{9}x^2 - \dfrac{1}{9}x - \dfrac{113}{27}\text{,} & -2 < x < 1 \\ \dfrac{x^2}{2} - x - \dfrac{7}{2}\text{,} & x \ge 1 \end{cases}} \]

Løsningsforslag

For at $f$ skal være kontinuerlig og deriverbar i $x = -2$ og $x = 1$, må det midterste uttrykket $g(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ oppfylle fire krav:

Kontinuitet i $x = -2$: $g(-2) = f_1(-2)$
Deriverbarhet i $x = -2$: $g'(-2) = f_1'(-2)$
Kontinuitet i $x = 1$: $g(1) = f_3(1)$
Deriverbarhet i $x = 1$: $g'(1) = f_3'(1)$

Beregn grenseverdiene fra de kjente uttrykkene:

$f_1(x) = -9x - 15 \implies f_1(-2) = 18 - 15 = 3$ og $f_1'(-2) = -9$

$f_3(x) = \dfrac{x^2}{2} - x - \dfrac{7}{2} \implies f_3(1) = \dfrac{1}{2} - 1 - \dfrac{7}{2} = -4$ og $f_3'(x) = x - 1 \implies f_3'(1) = 0$

Sett opp likningssystemet med $g(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ og $g'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$:

\[\begin{cases} g(-2) = -8a + 4b - 2c + d &= 3 \\ g'(-2) = 12a - 4b + c &= -9 \\ g(1) = a + b + c + d &= -4 \\ g'(1) = 3a + 2b + c &= 0 \end{cases} \]

Løs i GeoGebra CAS:

Løs({-8a1 + 4b1 - 2c1 + d1 = 3, 12a1 - 4b1 + c1 = -9,
     a1 + b1 + c1 + d1 = -4, 3a1 + 2b1 + c1 = 0}, {a1, b1, c1, d1})

GeoGebra CAS løser likningssystemet og gir a = −13/27, b = 7/9, c = −1/9, d = −113/27

GeoGebra gir:

\[a = -\frac{13}{27}, \quad b = \frac{7}{9}, \quad c = -\frac{1}{9}, \quad d = -\frac{113}{27} \]

Det midterste uttrykket er altså:

\[g(x) = -\frac{13}{27}x^3 + \frac{7}{9}x^2 - \frac{1}{9}x - \frac{113}{27} \]

Hele funksjonsuttrykket er:

\[\underline{\underline{f(x) = \begin{cases} -9x - 15\text{,} & x \le -2 \\ -\dfrac{13}{27}x^3 + \dfrac{7}{9}x^2 - \dfrac{1}{9}x - \dfrac{113}{27}\text{,} & -2 < x < 1 \\ \dfrac{x^2}{2} - x - \dfrac{7}{2}\text{,} & x \ge 1 \end{cases}}} \]

Oppgave 2-4 (8 poeng)

Fiskebåt og vektorbevegelse

Posisjonen $\vec{r}$ til en fiskebåt $t$ timer etter at den drar fra land, er gitt ved

\[\vec{r}(t) = [1+5t,\ 4+8t] \]

Enhetene langs aksene er kilometer.

Farten til en båt måles vanligvis i knop, der 1 knop er 1852 meter per time.

Oppgave

Bestem farten til fiskebåten i knop.

Et fyr står i posisjonen $(4, 7)$.

Oppgave

Bestem den minste avstanden mellom fiskebåten og fyret.

En fiskestim er i punktet $(1, -3)$ ved tiden $t = 0$, og stimen svømmer med hastigheten $\vec{v}(t) = [4, 11]$.

Oppgave

Vil fiskebåten treffe fiskestimen?

En annen fiskebåt er i punktet $(-2, 0)$ ved tiden $t = 0$ og holder konstant fart i retning langs $\vec{u} = [6, 4]$.

Oppgave

Bestem farten denne fiskebåten må holde for å treffe fiskestimen.

Fasit

a) $\underline{\underline{\approx 5{,}1 \, \mathrm{knop}}}$
b) $\underline{\underline{\dfrac{9\sqrt{89}}{89} \approx 0{,}954 \, \mathrm{km}}}$
c) Nei, fiskebåten treffer ikke fiskestimen.
d) $\underline{\underline{3\sqrt{13} \approx 10{,}8 \, \mathrm{km/t} \approx 5{,}8 \, \mathrm{knop}}}$

Løsningsforslag

GeoGebra CAS ble brukt til å beregne fart, minimumsavstand og skjæringspunkter i én felles sesjon.

GeoGebra CAS – alle deloppgaver

a

Hastighetsvektoren til fiskebåten leses direkte av posisjonsuttrykket:

\[\vec{v} = [5,\ 8] \]

Farten (i km/t) er lengden av hastighetsvektoren:

\[|\vec{v}| = \sqrt{5^2 + 8^2} = \sqrt{89} \approx 9{,}434 \, \mathrm{km/t} \]

Omregnet til knop (1 knop = 1,852 km/t):

\[\frac{\sqrt{89}}{1{,}852} \approx \mathbf{5{,}1 \, \mathrm{knop}} \]

Se FartKnop i CAS-utklippet (linje 4).

b

Fyret står i $F = (4, 7)$. Avstandsfunksjonen fra båten til fyret er

\[\text{Avstand}(t) = |\vec{r}(t) - F| = \sqrt{(1+5t-4)^2 + (4+8t-7)^2} = \sqrt{89t^2 - 78t + 18} \]

CAS finner minimumspunktet (linje 7):

\[\text{MinAvstand} = \left(\frac{39}{89},\ \frac{9\sqrt{89}}{89}\right) \]

Det vil si at minimum nås ved $t = \dfrac{39}{89} \approx 0{,}438$ timer, og den minste avstanden er

\[\frac{9\sqrt{89}}{89} \approx \mathbf{0{,}954 \, \mathrm{km}} \]

c

Fiskestimmen har posisjon $\vec{s}(t) = [1+4t,\ {-3}+11t]$.

For at fiskebåten skal treffe stimen, må begge koordinater være like til samme tid:

\[\begin{cases} 1 + 5t &= 1 + 4t \\ 4 + 8t &= -3 + 11t \end{cases} \]

Første likning gir $t = 0$, andre likning gir $t = \dfrac{7}{3}$. Siden de to verdiene er ulike, finnes det ingen $t$ der båt og stim er på samme sted.

Fiskebåten treffer ikke fiskestimen.

(Se linje 9 i CAS-utklippet — likningssystemet har ingen løsning.)

d

Den andre fiskebåten starter i $(-2, 0)$ og beveger seg i retning $\vec{u} = [6, 4]$ med konstant fart. La $k > 0$ være en skalar slik at hastighetsvektoren er $k \cdot [6, 4]$. Posisjonen er da

\[\vec{r}_2(t) = (-2 + 6kt,\ 4kt) \]

For at denne båten skal treffe fiskestimen $\vec{s}(t) = (1+4t,\ {-3}+11t)$ ved samme tidspunkt $t$:

\[\begin{cases} -2 + 6kt &= 1 + 4t \\ 4kt &= -3 + 11t \end{cases} \]

CAS løser systemet (linje 10) og gir $k = \dfrac{3}{2}$ og $t = \dfrac{3}{5}$.

Farten til den andre båten er lengden av hastighetsvektoren $\dfrac{3}{2} \cdot [6, 4]$:

\[\left|\frac{3}{2}[6, 4]\right| = \frac{3}{2} \cdot \sqrt{6^2 + 4^2} = \frac{3}{2} \cdot \sqrt{52} = \frac{3}{2} \cdot 2\sqrt{13} = 3\sqrt{13} \approx 10{,}8 \, \mathrm{km/t} \]

Omregnet til knop:

\[\frac{3\sqrt{13}}{1{,}852} \approx \mathbf{5{,}8 \, \mathrm{knop}} \]

Oppgave 2-5 (4 poeng)

Tangent til ln og trekantareal

Nedenfor ser du grafen til funksjonen $f$ gitt ved $f(x) = \ln x$.

Et punkt $B$ på grafen til $f$ er plassert slik at tangenten til grafen i punktet $B$ går gjennom $A(0,0)$.

Punktet $C$ er plassert på linja $y = x$ slik at $\angle ACB = 90\degree$.

Grafen til f(x) = ln x med punkt B, tangent og trekant ABC

Oppgave

Bestem eksakte verdier for koordinatene til punktet $B$.
Bestem det eksakte arealet av trekant $ABC$.

Fasit

a) $\underline{\underline{B = (e,\ 1)}}$
b) $\underline{\underline{T = \dfrac{e^2-1}{4} \approx 1{,}60}}$

Løsningsforslag

Vi bruker GeoGebra CAS.

GeoGebra CAS – tangentbetingelse og trekantareal

a

Vi definerer $f(x) = \ln x$ og finner den deriverte.

\[f'(x) = \frac{1}{x} \]

Tangenten i punktet $B = (b,\ \ln b)$ har stigning $f'(b) = \tfrac{1}{b}$ og likning

\[y - \ln b = \frac{1}{b}(x - b) \]

For at tangenten skal gå gjennom $A(0,0)$ setter vi inn $x = 0,\ y = 0$:

\[-\ln b = \frac{1}{b}(0 - b) = -1 \quad \Rightarrow \quad \ln b = 1 \quad \Rightarrow \quad b = e \]

CAS bekrefter: Løs(ln(x) = 1, x) → $\{x = e\}$.

$B = (e,\ 1)$.

b

$C$ ligger på linja $y = x$, så $C = (c,\ c)$ for et tall $c > 0$.

Betingelsen $\angle ACB = 90°$ betyr at $\overrightarrow{CA} \perp \overrightarrow{CB}$.

\[\overrightarrow{CA} = A - C = (-c,\ -c), \qquad \overrightarrow{CB} = B - C = (e - c,\ 1 - c) \]

Prikkprodukt lik null:

\[(-c)(e-c) + (-c)(1-c) = 0 \quad \Rightarrow \quad -c\bigl[(e-c)+(1-c)\bigr] = 0 \quad \Rightarrow \quad c(e + 1 - 2c) = 0 \]

$c = 0$ gir punktet $A$, så

\[c = \frac{e+1}{2}, \qquad C = \left(\frac{e+1}{2},\ \frac{e+1}{2}\right) \]

CAS bekrefter koordinatene til $C$ (se linje 5 i utklippet).

Siden $\angle ACB = 90°$ er arealet av trekanten

\[T = \frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot |CB| \]

Vi beregner sidelengdene:

\[|AC| = \sqrt{c^2 + c^2} = c\sqrt{2} = \frac{(e+1)\sqrt{2}}{2} \]

\[e - c = e - \frac{e+1}{2} = \frac{e-1}{2}, \qquad 1 - c = 1 - \frac{e+1}{2} = \frac{1-e}{2} = -\frac{e-1}{2} \]

\[|CB| = \sqrt{\left(\frac{e-1}{2}\right)^2 + \left(\frac{e-1}{2}\right)^2} = \frac{(e-1)\sqrt{2}}{2} \]

\[T = \frac{1}{2} \cdot \frac{(e+1)\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{(e-1)\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(e+1)(e-1) \cdot 2}{4} = \frac{e^2-1}{4} \]

CAS bekrefter: Forenkle((e+1)/2 · (e-1)/2) → $\tfrac{1}{4}e^2 - \tfrac{1}{4}$ (se linje 6).

Arealet av trekant $ABC$ er $\dfrac{e^2-1}{4} \approx 1{,}60$.

	\(x < -\dfrac{3}{2}\)	\(x = -\dfrac{3}{2}\)	\(-\dfrac{3}{2} < x < \dfrac{1}{2}\)	\(x = \dfrac{1}{2}\)	\(x > \dfrac{1}{2}\)
\((2x+3)\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)
\((2x-1)\)	\(-\)	\(-\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(g'(x)\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(g\)	\(\nearrow\)	topp	\(\searrow\)	bunn	\(\nearrow\)