Derivasjon med brøk og kjerneregel S1 V26

Deriver funksjonene \(g\) og \(h\) gitt ved

Fasit

a) \(g'(x) = 6x - \dfrac{3}{(x-2)^2}\)
b) \(h'(x) = 9(3x+2)^2 + \dfrac{1}{x}\)

Løsningsforslag

a

Vi skriver om brøken til en potens:

Nå deriverer vi ledd for ledd. De to første leddene er enkle. For det tredje leddet bruker vi kjerneregelen med ytre funksjon \(u^{-1}\) og indre funksjon \(u = x - 2\):

Dermed er

\(g'(x) = \underline{\underline{6x - \dfrac{3}{(x-2)^2}}}\)

b

Vi deriverer ledd for ledd med kjerneregelen på begge ledd.

Første ledd: Ytre funksjon \(u^3\), indre funksjon \(u = 3x + 2\):

Andre ledd: Ytre funksjon \(\ln(u)\), indre funksjon \(u = 3x\):

Dermed er

\(h'(x) = \underline{\underline{9(3x+2)^2 + \dfrac{1}{x}}}\)

Topp- og bunnpunkt for eksponentialfunksjon R1 V26

En funksjon \(f\) er gitt ved

Fasit

a) \(\underline{\underline{x = \ln 6}}\)
b) Se løsningsforslag.
c) Toppunkt \(\underline{\underline{(\ln 3,\ 9)}}\)

Løsningsforslag

a

Vi har nullpunkter når en av faktorene \(e^{x}\) eller \((6-e^{x})\) er lik \(0\). \(e^{x}\) kan aldri være \(0\), derfor trenger vi kun sjekke når \(6-e^{x}=0\).

\(f\) har nullpunkt når \(\underline{\underline{ x=\ln 6 }}\).

b

Vi skriver om funksjonen som \(f(x) = 6e^x - e^{2x}\) og deriverer ledd for ledd:

c

Vi setter \(f'(x) = 0\):

Siden \(e^x > 0\) for alle \(x\), må:

Vi lager et fortegnsskjema for \(f'(x) = 2e^x(3 - e^x)\):

Siden \(f'\) skifter fortegn fra \(+\) til \(-\) i \(x = \ln 3\), er dette et toppunkt.

Funksjonsverdien i toppunktet:

Grafen har ett toppunkt: \(\underline{\underline{ (\ln 3,\ 9) }}\).

Sortere og forenkle logaritmeuttrykk R1 V26

Fasit

a) \(\underline{\underline{\lg 7 < e^{3\ln 1} < \sqrt[4]{3^3} < \log_2 8}}\)
b) \(\underline{\underline{5\lg b + 2}}\)

Løsningsforslag

a

Vi beregner hvert uttrykk eksakt:

For \(\lg 7\) bruker vi at \(10^0 = 1 < 7 < 10^1 = 10\), så \(0 < \lg 7 < 1\).

For \(\sqrt[4]{3^3} = 3^{3/4}\) bruker vi at \(3^{1/2} = \sqrt{3} \approx 1{,}73\) og \(3^1 = 3\), og siden \(\frac{1}{2} < \frac{3}{4} < 1\) er \(\sqrt{3} < 3^{3/4} < 3\). Mer presist: \(3^{3/4} \approx 2{,}28\).

Stigende rekkefølge:

Stigende rekkefølge: \(\underline{\underline{\lg 7 < e^{3\ln 1} < \sqrt[4]{3^3} < \log_2 8}}\)

b

Vi bruker logaritmereglene \(\lg(xy) = \lg x + \lg y\) og \(\lg\frac{x}{y} = \lg x - \lg y\):

\(\underline{\underline{5\lg b + 2}}\)

Grenseverdi av rasjonalt uttrykk R1 V26

Fasit

\(\underline{\underline{0}}\)

Løsningsforslag

Telleren \(2x + 2\) har grad 1, nevneren \(3x^2 + 3\) har grad 2. Siden graden i nevneren er høyere enn graden i telleren, er grenseverdien 0.

Vi kan vise dette ved å dele teller og nevner på \(x^2\):

Når \(x \to \infty\) går \(\dfrac{2}{x} \to 0\), \(\dfrac{2}{x^2} \to 0\) og \(\dfrac{3}{x^2} \to 0\), slik at

Påstander om asymptote og arbeidsgrupper S1 V26

Avgjør om hver påstand nedenfor er sann eller usann. Forklar tydelig hvordan du har resonnert.

En klubb har 7 medlemmer. Noen av medlemmene skal være med i en arbeidsgruppe.

Fasit

a) Usann – påstanden gjelder ikke når \(x = d\) også er nullpunkt for telleren.
b) Usann – antall grupper med 4 av 7 er like mange som antall grupper med 3 av 7 (begge er 35).

Løsningsforslag

a

Vi skal avgjøre om alle funksjoner på formen

har en vertikal asymptote \(x = d\).

En vertikal asymptote \(x = d\) oppstår bare dersom nevneren er null i \(x = d\) og telleren ikke er null i samme punkt. Hvis \(x = d\) er nullpunkt for begge, kanselleres faktoren, og det er et hull i grafen – ikke en asymptote.

Vi velger \(a = 1\), \(b = -d\), \(c = 0\). Da er

Denne funksjonen er en rett linje med et hull i \(x = d\), og har ingen vertikal asymptote.

Påstanden er \(\underline{\underline{\text{usann}}}\).

b

Vi teller antall mulige arbeidsgrupper med kombinatorikk.

Antall arbeidsgrupper med 4 av 7 medlemmer:

Antall arbeidsgrupper med 3 av 7 medlemmer:

Begge gir 35 mulige arbeidsgrupper. Dette er ikke tilfeldig: symmetrien i Pascals trekant gir \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\), og her er \(\binom{7}{4} = \binom{7}{3}\) fordi \(4 + 3 = 7\).

Påstanden er \(\underline{\underline{\text{usann}}}\) – det er like mange mulige arbeidsgrupper med 4 som med 3 medlemmer.

Vekstfart fra graf S1 V26

Nedenfor ser du grafen til en funksjon \(f\).

Fasit

a) \(-\dfrac{4}{3}\)
b) \(f'(0) = 0\), \(f'(3) \approx 2\)

Løsningsforslag

a

Den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet \([0,\ 3]\) er lik stigningstallet til sekanten gjennom punktene \((0,\ f(0))\) og \((3,\ f(3))\).

Fra grafen leser vi av:

Gjennomsnittlig vekstfart:

b

Den momentane vekstfarten i et punkt er lik stigningstallet til tangenten i punktet.

Fra grafen ser vi at \(x = 0\) er et toppunkt for \(f\). I et toppunkt er tangenten vannrett (horisontal), og både stigningstallet og den momentane vekstfarten er derfor 0.

Vi tegner en tangent ved \(x=3\) og finner at denne har stigningstall

Den momentane vekstfarten ved \(x=0\) er \(\underline{\underline{ 0 }}\) og den momentane vekstfarten ved \(x=3\) er omtrent \(\underline{\underline{ \frac{4}{3} }}\).

Binomisk sannsynlighet og fremmedspråk S1 V26

Ole skal ta en flervalgsprøve som består av tre oppgaver. Hver oppgave har tre svaralternativer, og ett alternativ er riktig. Ole synes oppgavene er vanskelige, og velger svaralternativer tilfeldig.

Ole går i en klasse med 20 elever. Av disse har åtte elever valgt tysk som fremmedspråk, og ti elever har valgt S1 som programfag. Tre av elevene har valgt både S1 og tysk.

Fasit

a) \(\underline{\underline{\frac{4}{9} \approx 44{,}4 \,\%}}\)
b) \(\underline{\underline{\frac{1}{4} = 25 \,\%}}\)

Løsningsforslag

a

\(X\) er binomisk fordelt med \(n = 3\) og \(p = \frac{1}{3}\) (sannsynligheten for riktig svar på ett spørsmål).

Vi bruker formelen for binomisk sannsynlighet:

b

Vi bruker opplysningene:

• \(|T| = 8\) (har valgt tysk)
• \(|S| = 10\) (har valgt S1)
• \(|T \cap S| = 3\) (har valgt begge)
• Totalt \(20\) elever

Unionsregelen gir antall elever som har valgt minst ett av fagene:

Antall elever som verken har tysk eller S1:

Sannsynligheten for at en tilfeldig elev verken har valgt tysk eller S1:

Romfordeling og kombinatorikk på hyttetur S1 V26

Anastasia, Bianka, Carlotta, Diana og Elena er på hyttetur sammen. På hytta er det to soverom, ett med plass til to personer og ett med plass til tre personer.

Jentene skal fordele seg på de to rommene slik at det er én person per plass. Vi bryr oss ikke om hvem som tar hvilken plass innad på rommene.

Anastasia var sjåfør da de kjørte til hytta. Hun får lov til å velge rom først. Når hun har valgt rom, skal de andre fordele seg ved loddtrekning.

Anastasia vet at Elena av og til står opp veldig tidlig. Hun velger derfor taktisk for å minimere sannsynligheten for å sove på samme rom som Elena.

Etter noen dager skal jentene bytte til en annen hytte med tre soverom. Der er det ett rom med plass til tre personer og to rom som begge har plass til to personer.

Nå er vi ikke interessert i hvilket rom jentene sover på, bare hvem som sover sammen med hvem.

Fasit

a) \(\mathbf{10}\) måter
b) \(\mathbf{P = \dfrac{1}{4}}\)
c) \(\mathbf{35}\) grupperinger

Løsningsforslag

a

Vi skal velge 2 av 5 jenter til det lille rommet (2 plasser). Resten går automatisk til det store rommet.

Det er altså 10 måter jentene kan fordele seg på de to rommene.

(Alternativt: \(\binom{5}{3} = 10\) — velg hvem som går til det store rommet, samme svar.)

b

Anastasia velger rom først. Hun har to valg:

Alternativ 1 – Anastasia velger det lille rommet (2 plasser):

Det er 1 ledig plass igjen på hennes rom. De 4 gjenværende jentene loddes om alle plassene (1 plass på lite rom + 3 plasser på stort rom). Sannsynligheten for at Elena havner på den ene ledige plassen på Anastasias rom:

Alternativ 2 – Anastasia velger det store rommet (3 plasser):

Det er 2 ledige plasser igjen på hennes rom. Sannsynligheten for at Elena havner på ett av de 2 ledige plassene:

Anastasia velger taktisk: Hun velger det lille rommet for å minimere sannsynligheten.

c

Rommene har plass til 3, 2 og 2 personer (til sammen 7 plasser), men det er bare 5 jenter. Siden vi bare bryr oss om hvem som sover sammen med hvem, teller vi delinger av de 5 jentene i grupper – der ingen gruppe kan være større enn 3 (det største rommet), og det er høyst 3 grupper (3 rom).

De mulige gruppestørrelsene (partisjoner av 5 som får plass) er:

Tilfelle 1: en trio + et par (3 + 2)

Velg de 3 som deler det store rommet; de to siste danner paret automatisk.

Tilfelle 2: en trio + to som sover alene (3 + 1 + 1)

Velg de 3 i trioen; de to siste sover hver for seg.

Tilfelle 3: to par + en som sover alene (2 + 2 + 1)

Velg først den som sover alene (\(5\) måter). De 4 andre deles i to par.

Vi deler på \(2\) fordi de to parene er likeverdige – det spiller ingen rolle hvilket par som er «par 1».

Til sammen:

Jentene kan gruppere seg på 35 forskjellige måter.

Potensregresjon for volum og radius S1 V26

Eva har kjøpt et sett med kopper. Koppene er tilnærmet sylinderformede. Alle har samme høyde, men de har ulik radius. Eva har målt de ulike radiene og volumene. Se tabellen nedenfor.

Fasit

a) \(V(x) \approx 31{,}96 \cdot x^{2{,}0968}\)
b) \(V'(4) \approx \mathbf{306{,}6} \, \mathrm{mL/cm}\). Når radien er 4 cm, øker volumet med ca. 306,6 mL per cm økning i radius.
c) Volumet øker med ca. \(\mathbf{328 \, \%}\) (faktoren er \(2^{2{,}0968} \approx 4{,}28\)).

Løsningsforslag

a

Vi legger inn datapunktene i GeoGebra og utfører potensregresjon med RegPot. Modellen blir

Se linje 1 i CAS-utklippet under (parameterverdiene \(a \approx 31{,}96\) og \(b \approx 2{,}0968\) er funnet med potensregresjon).

b

Vi definerer den deriverte \(V'(x)\) og evaluerer i \(x = 4\) (linje 3–4 i CAS):

Tolkning: Når koppen har radius \(x = 4 \, \mathrm{cm}\), vil volumet øke med omtrent \(306{,}6 \, \mathrm{mL}\) for hver centimeter økning i radius.

c

Hvis radien dobles fra \(x\) til \(2x\), får vi

Vi beregner \(2^{2{,}0968}\) i linje 5 i CAS:

Volumet blir altså \(4{,}28\) ganger så stort, som tilsvarer en økning på

Sommervikarer og hypergeometrisk sannsynlighet S1 V26

Et firma har søkt etter 5 sommervikarer. Firmaet har mottatt 80 søknader. Blant søkerne er det 14 ungdommer under 16 år.

Ledelsen bestemmer seg for å intervjue noen av søkerne. Søkerne som skal intervjues, trekkes ut tilfeldig.

Ledelsen ønsker å intervjue 10 søkere.

Ledelsen ønsker at flere av søkerne de innkaller til intervju, er 16 år eller eldre.

Fasit

a) \(P(\text{minst 8 er 16+}) \approx 0{,}7603\)
b) Minst 14 søkere må intervjues.

Løsningsforslag

La \(X\) være antallet søkere under 16 år blant de som trekkes ut. Vi har totalt \(N = 80\) søkere, hvorav \(M = 14\) er under 16 år og \(N - M = 66\) er 16 år eller eldre.

\(X\) er hypergeometrisk fordelt med \(N = 80\), \(M = 14\) og trekkstørrelse \(n\).

a

Ledelsen trekker \(n = 10\) søkere. Vi ønsker sannsynligheten for at minst 8 av disse er 16 år eller eldre.

«Minst 8 er 16+» tilsvarer «høyst 2 er under 16», altså \(X \leq 2\).

I GeoGebra kan vi bruke sannsynlighetskalkulatoren med hypergeometrisk fordeling (\(N=80\), \(M=14\), \(n=10\)) og lese av \(P(X \leq 2) \approx 0{,}7603\).

Sannsynligheten for at minst 8 av de 10 søkerne er 16 år eller eldre er omtrent \(\underline{\underline{0{,}7603}}\) (ca. 76 %).

b

Nå er \(n\) ukjent. Vi ønsker at sannsynligheten for at minst 10 av de \(n\) intervjuede er 16 år eller eldre, skal være minst 90 %.

«Minst 10 er 16+» tilsvarer «høyst \(n - 10\) er under 16», altså \(X \leq n - 10\).

Vi ønsker:

Vi prøver systematisk for ulike verdier av \(n\):

For \(n = 13\) er sannsynligheten ca. 83,7 %, som er under 90 %.

For \(n = 14\) er sannsynligheten ca. 93,8 %, som er over 90 %.

Ledelsen må minst intervjue \(\underline{\underline{14}}\) søkere for å være 90 % sikre på at 10 eller flere er 16 år eller eldre.

Maksimalt rektangel under eksponentialgraf R1 V26

Figuren ovenfor viser grafen til en funksjon \(f\) gitt ved \(f(x) = 100\cdot 0{,}8^x\) og et rektangel \(ABCD\).

Punktet \(A\) har koordinatene \(A(a, f(a))\) der \(a \in [0, 5\rangle\). Punktene \(B\) og \(C\) har førstekoordinat \(5\), og punktene \(C\) og \(D\) har andrekoordinat \(200\).

Fasit

a) \(|AB| = 5 - a\), \(\quad |AD| = 200 - 100 \cdot 0{,}8^a\)
b) \(\underline{\underline{A_{\max} \approx 500{,}98}}\) (ved \(a \approx 0{,}17\))

Løsningsforslag

a

Punkt \(A\) har koordinatene \((a,\, f(a))\), og \(B\) har første­koordinat \(5\) og samme andrekoordinat som \(A\), så

Punkt \(D\) har andrekoordinat \(200\) og samme første­koordinat som \(A\), så

b

Vi setter opp arealfunksjonen

Vi bruker CAS til å finne det stasjonære punktet og sammenligner med endepunktene (se linje 4–8 i GeoGebra-utklippet).

Fra linje 6 gir \(A'(a) = 0\) løsningen \(a \approx 0{,}1707\).

Vi kontrollerer verdiene:

Det stasjonære punktet gir det største arealet.

Det største arealet rektangelet \(ABCD\) kan få, er \(\underline{\underline{A \approx 500{,}98}}\), oppnådd når \(a \approx 0{,}17\).

Strømstønad som delt funksjon S1 V26

Utdraget nedenfor er hentet fra regjeringens nettsider om strømtiltak og støtte til husholdningene.

I denne oppgaven kan du se bort fra merverdiavgift og anta et strømforbruk under 5000 kWh per måned per målepunkt.

La \(f(x)\) beskrive strømprisen til husholdningen i øre/kWh, etter at strømstønaden er trukket fra, der \(x\) er spotprisen i øre/kWh.

Fasit

a) Delt forskrift fordi ulike regler gjelder for \(x \leq 75\) og \(x > 75\). Kontinuerlig fordi det ikke er noe hopp i prisen ved \(x = 75\).
b) $$f(x) = \begin{cases} x & \text{når } 0 \leq x \leq 75 \\ 0{,}1x + 67{,}5 & \text{når } x > 75 \end{cases}$$

Løsningsforslag

a

Funksjonen \(f\) beskriver hva husholdningen faktisk betaler per kWh, etter at strømstønaden er trukket fra.

Ifølge ordningen er det én regel for spotpris opp til og med 75 øre/kWh, og en annen regel for spotpris over 75 øre/kWh. Siden to ulike regler gjelder i to ulike intervaller, må funksjonen ha delt forskrift.

Funksjonen må være kontinuerlig fordi strømprisen ikke kan «hoppe» i terskelpunktet \(x = 75\). Hvis prisen plutselig endret seg i det spotprisen passerte 75 øre/kWh, ville det gi absurde situasjoner — for eksempel at du plutselig ville betale mer enn spotprisen dersom stønaden slo inn. Fysisk og praktisk sett må prisen husholdningen betaler, variere jevnt. Matematisk betyr det at begge forskriftene må gi samme verdi ved \(x = 75\):

b

For \(0 \leq x \leq 75\): Spotprisen er under eller lik terskelen, og det gis ingen stønad. Husholdningen betaler hele spotprisen:

For \(x > 75\): Spotprisen overstiger 75 øre/kWh. Stønaden dekker 90 % av det som overstiger 75, altså \(0{,}9 \cdot (x - 75)\). Husholdningen betaler:

Vi forenkler:

Vi kan verifisere kontinuitet i \(x = 75\):

Samlet funksjonsuttrykk:

Terningspill med simulering S1 V26

Erik og Kris spiller et terningspill. Spillet foregår over flere runder. Nedenfor ser du reglene som gjelder for én runde.

• Erik kaster en terning med seks sider, nummerert med sifrene 1 til 6.
• Kris kaster to terninger. Hver terning har fire sider, nummerert med sifrene 1 til 4.
• Erik sammenligner sin terning med den terningen til Kris som viser høyest verdi. Dersom terningen til Erik viser en høyere verdi, får han 1 poeng. Dersom terningen til Erik ikke viser en høyere verdi, får Kris 1 poeng.

Erik og Kris spiller flere runder.

Fasit

a) \(\underline{\underline{P(\text{Erik vinner runde}) = \dfrac{23}{48} \approx 47{,}9 \,\%}}\)
b) Simulering med 100 000 spill gir \(\underline{\underline{P(\text{Erik når 100 poeng før Kris}) \approx 27{,}8 \,\%}}\)

Løsningsforslag

a

La \(E\) være antall øyne Erik kaster (\(E\) er uniformt fordelt på \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)) og la \(M = \max(K_1, K_2)\) der \(K_1\) og \(K_2\) er de to D4-terningene til Kris (hver uniformt fordelt på \(\{1, 2, 3, 4\}\)).

Erik vinner runden hvis \(E > M\).

Fordeling av \(M\):

Vi bruker at \(P(M \leq k) = P(K_1 \leq k) \cdot P(K_2 \leq k) = \left(\dfrac{k}{4}\right)^2\), siden \(K_1\) og \(K_2\) er uavhengige.

Dermed er \(P(M = k) = P(M \leq k) - P(M \leq k-1) = \dfrac{k^2 - (k-1)^2}{16} = \dfrac{2k - 1}{16}\).

Beregning av \(P(E > M)\):

Vi betinger på verdien av \(M\) og bruker at \(P(E > k) = \dfrac{6 - k}{6}\):

\(P(\text{Erik vinner runden}) = \dfrac{23}{48} \approx 47{,}9 \,\%\)

b

Siden \(p = \frac{23}{48} < \frac{1}{2}\) (Erik er svakere enn Kris i hver runde), forventer vi at Erik sjeldnere når 100 poeng først. Vi estimerer sannsynligheten med en Monte Carlo-simulering.

Python-kode:

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(42)
N = 100_000
erik_vinner_spillet = 0

for _ in range(N):
    erik_poeng = 0
    kris_poeng = 0
    while erik_poeng < 100 and kris_poeng < 100:
        e = rng.integers(1, 7)          # D6: 1–6
        m = max(rng.integers(1, 5),     # max av to D4: 1–4
                rng.integers(1, 5))
        if e > m:
            erik_poeng += 1
        else:
            kris_poeng += 1
    if erik_poeng >= 100:
        erik_vinner_spillet += 1

print(f"P(Erik når 100 poeng først) ≈ {erik_vinner_spillet / N:.4f}")

Resultat: Med 100 000 simulerte spill (seed 42) fikk vi P ≈ 0.2778.

\(P(\text{Erik når 100 poeng før Kris}) \approx 27{,}8 \,\%\)