Derivasjon av sammensatte funksjoner

Deriver funksjonene

Fasit

a) \(f'(x) = 2e^x + \dfrac{3}{x}\)
b) \(g'(x) = 5(2x+1)(2x+5)^3\)
c) \(h'(x) = \dfrac{-2x^2 + 2x + 2}{e^{2x}}\)

Løsningsforslag

a

b

Vi bruker produktregelen med \(u = x\) og \(v = (2x+5)^4\).

c

Vi bruker kvotientregelen med \(u = x^2 - 1\) og \(v = e^{2x}\).

Sum av aritmetisk rekke

Bruk formelen for summen av en aritmetisk rekke til å bestemme

Fasit

\(s_{100} = 19\,100\)

Løsningsforslag

Vi har en aritmetisk rekke med \(a_1 = -7\) og differanse \(d = -3 - (-7) = 4\).

Vi finner antall ledd \(n\):

Vi bruker summeformelen:

Geometrisk rekke og sparing

I en uendelig geometrisk rekke er \(a_1 = \dfrac{3}{1{,}04}\) og \(k = \dfrac{1}{1{,}04}\).

Frode har blitt bestefar. Han ønsker å gi barnebarnet Benjamin 10 000 kroner i gave hvert år i 20 år framover, første gang om ett år. Frode oppretter i den forbindelse en konto der han vil sette inn et engangsbeløp i dag som vil dekke alle de 20 framtidige utbetalingene. Kontoen har en fast årlig rentefot på 2,0 %.

Fasit

a) \(s = 75\)
b) \(s = \displaystyle\sum_{i=1}^{20} \frac{10\,000}{1{,}02^i}\)

Løsningsforslag

a

Vi har \(a_1 = \dfrac{3}{1{,}04}\) og \(k = \dfrac{1}{1{,}04}\).

Siden \(|k| = \dfrac{1}{1{,}04} \approx 0{,}962 < 1\), konvergerer rekken.

Summen er

b

Frode setter inn et engangsbeløp \(s\) i dag. Om \(i\) år skal han betale ut 10 000 kr. Nåverdien av utbetalingen om \(i\) år er

Engangsbeløpet må dekke nåverdien av alle 20 utbetalingene:

Dette er en endelig geometrisk rekke med \(a_1 = \dfrac{10\,000}{1{,}02}\) og \(k = \dfrac{1}{1{,}02}\).

Polynom med delelighetskriterium

Et polynom \(P\) er gitt ved

Fasit

a) \(P(-2) = 0\), så \((x+2)\) er faktor. \(P(2) = -32 \neq 0\), så \((x-2)\) er ikke faktor.
b) \(\dfrac{(x+2)^2}{4}\)

Løsningsforslag

a

Vi bruker faktorsettningen. Et polynom \(P(x)\) er delelig med \((x - a)\) hvis og bare hvis \(P(a) = 0\).

Siden \(P(-2) = 0\), er \(P(x)\) delelig med \((x + 2)\).

Siden \(P(2) \neq 0\), er \(P(x)\) ikke delelig med \((x - 2)\).

b

Vi utfører polynomdivisjon \(P(x) : (x + 2)\):

Vi faktoriserer andregradsuttrykket:

Altså: \(P(x) = (x + 2)^2(x - 4)\).

Vi forkorter brøken:

Tredjegradsfunksjon med vendetangent

Funksjonen \(f\) er gitt ved

Fasit

a) Toppunkt \((-2, 0)\), bunnpunkt \((2, -32)\)
b) Vendepunkt \((0, -16)\), vendetangent \(y = -12x - 16\)
c) Skisse

Løsningsforslag

a

Vi setter \(f'(x) = 0\):

Vi bruker andrederiverten til å klassifisere:

• \(f''(-2) = -12 < 0\): toppunkt i \((-2, f(-2)) = (-2, 0)\)
• \(f''(2) = 12 > 0\): bunnpunkt i \((2, f(2)) = (2, -32)\)

b

Vendepunktet er der \(f''(x) = 0\):

Vendepunktet er \((0, -16)\).

Vendetangenten har stigningstall \(f'(0)\):

Likningen for vendetangenten:

c

Grafen til \(f\) har:

• Nullpunkt i \(x = -2\) (dobbelt, toppunkt) og \(x = 4\)
• Toppunkt i \((-2, 0)\)
• Bunnpunkt i \((2, -32)\)
• Vendepunkt i \((0, -16)\)

Vendetangenten \(y = -12x - 16\) skjærer grafen i vendepunktet og har stigningstall \(-12\).

Enhetskostnad og grensekostnad

Kostnaden \(K\) (i kroner) for en vare er gitt ved

Her er \(x\) antall produserte enheter av varen per dag.

Fasit

a) \(E(x) = x + 8 + \dfrac{100}{x}\), \(K'(x) = 2x + 8\)
b) Minste enhetskostnad er \(28 \text{~kr}\) ved \(x = 10\) enheter

Løsningsforslag

a

Enhetskostnaden:

Grensekostnaden:

b

Vi deriverer enhetskostnaden og setter lik null:

(Vi velger \(x = 10\) siden \(x > 0\).)

Vi sjekker at dette er et minimum: \(E''(x) = \dfrac{200}{x^3} > 0\) for \(x > 0\). ✓

Den minste enhetskostnaden er 28 kr ved produksjon av 10 enheter per dag.

Tomatfrø og normalfordeling

Et gartneri selger poser med tomatfrø. La \(X\) være antall tomatfrø i en tilfeldig valgt pose. Sannsynlighetsfordelingen til \(X\) er gitt i tabellen nedenfor.

Eline ønsker å kjøpe 49 slike frøposer. Posene vil hun nummerere fra 1 til 49. La \(X_i\) være antall frø i pose nummer \(i\). Vi antar at \(X_i\)-ene er uavhengige av hverandre. Det totale antallet frø i de 49 posene er gitt ved den stokastiske variabelen

Eline har et drivhus der hun har plass til 400 potter som hun vil plante frøene i.

Fasit

a) \(\text{E}(X) = 8\), \(\text{SD}(X) = 1\)
b) \(\text{E}(S) = 392\), \(\text{SD}(S) = 7{,}0\)
c) \(P(S \geq 400) \approx 0{,}1265\)

Løsningsforslag

a

\(\text{E}(X) = 8\) forteller oss at det i gjennomsnitt er 8 tomatfrø i en pose.

Vi beregner variansen:

b

\(S\) er summen av 49 uavhengige, identisk fordelte stokastiske variable. Ifølge sentralgrenseteoremet er \(S\) tilnærmet normalfordelt når \(n\) er tilstrekkelig stor. Med \(n = 49\) er tilnærmingen god.

c

Eline trenger minst 400 frø, så vi skal finne \(P(S \geq 400)\).

\(S\) er tilnærmet normalfordelt med \(\mu = 392\) og \(\sigma = 7\).

Det er ca. 12,7 % sannsynlighet for at Eline får nok frø til alle 400 pottene.

Logaritmefunksjon uten ekstremalpunkter

Funksjonen \(f\) er gitt ved

Fasit

a) \(D_f = \langle \leftarrow, 0 \rangle \cup \langle 2, \to \rangle\)
b) \(f'(x) = 0\) gir \(x = 1\), som ikke er i definisjonsmengden

Løsningsforslag

a

Vi trenger \(x^2 - 2x > 0\), altså \(x(x - 2) > 0\).

Fortegnslinje for \(x(x-2)\):

b

Vi deriverer med kjerneregelen:

\(f'(x) = 0\) gir \(x = 1\). Men \(x = 1\) ligger ikke i definisjonsmengden (siden \(1 \in \langle 0, 2 \rangle\) der \(f\) ikke er definert). Dermed har \(f\) ingen ekstremalpunkter.

Vi deriverer på nytt:

Med kvotientregelen:

Diskriminanten til \(x^2-2x+2\) er \(4 - 8 = -4 < 0\), så telleren i \(f''(x)\) er alltid \(\neq 0\) for alle reelle \(x\). Dermed har \(f\) heller ingen vendepunkter.

Netflix-inntekter og integral

De årlige inntektene \(I\) (i milliarder kroner) til selskapet Netflix er tilnærmet gitt ved

Her er \(x\) antall år etter 2005. Det vil si at \(I(0)\) er inntektene i 2005, \(I(1)\) er inntektene i 2006, og så videre.

Fasit

a) Se graf
b) I 2025 (\(x \approx 19{,}8\))
c) Ca. \(914\) milliarder kroner

Løsningsforslag

a

Vi tegner grafen til \(I(x) = 6{,}594 \cdot e^{0{,}234x}\) for \(x \in [0, 25]\) (2005–2030):

b

Inntektene øker med mer enn 160 milliarder per år når \(I'(x) > 160\).

Vi løser \(I'(x) = 160\) i GeoGebra CAS:

Fra linje 2 ser vi at \(x \approx 19{,}84\).

Siden \(x = 19{,}84\) tilsvarer slutten av 2024, vil inntektene første gang øke med mer enn 160 milliarder per år i \(\underline{\underline{2025}}\) (da \(x = 20\)).

c

Fra linje 3 i CAS-utklippet:

Praktisk tolkning: Dette er de samlede inntektene til Netflix i perioden fra 2005 til 2020, altså over 15 år.

Etterspørselsfunksjon og prisreduksjon

En bedrift produserer en vare. Etterspørselen \(q\) per uke for denne varen er gitt ved

Her er \(p\) prisen i kroner for én enhet av varen.

Maria, som er salgsansvarlig i bedriften, påstår at dersom prisen per enhet økes med 1 krone, vil etterspørselen gå ned med 2,4 %, uavhengig av hva prisen per enhet er i utgangspunktet.

Bedriften ønsker å tømme lagerbeholdningen og vil derfor sette ned prisen på varen.

Fasit

a) \(p \approx 42{,}9 \text{~kr}\)
b) Nedgangen er ca. \(2{,}37 \,\%\) per krone, uavhengig av prisen. Påstanden stemmer tilnærmet.
c) Ca. \(28{,}9 \text{~kr}\)

Løsningsforslag

a

Vi løser \(q(p) = 500\) i GeoGebra CAS:

Fra linje 2: \(p \approx 42{,}9\).

Prisen per enhet er ca. \(\underline{\underline{42{,}9 \text{~kr}}}\) når etterspørselen er 500 enheter per uke.

b

Vi undersøker hva som skjer med etterspørselen når prisen økes med 1 krone:

Nedgangen er

Nedgangen er ca. \(2{,}37 \,\%\), som er uavhengig av prisen \(p\). Påstanden til Maria stemmer tilnærmet — nedgangen er ca. \(2{,}4 \,\%\) (mer presist \(2{,}37 \,\%\)), og den er uavhengig av utgangsprisen, slik Maria påstår.

c

Vi skal finne \(d\) slik at \(q(p - d) = 2 \cdot q(p)\):

Prisen per enhet må settes ned med ca. 28,9 kr for at etterspørselen skal dobles.

Levetid til temperaturfølere

En produsent leverer en bestemt type temperaturfølere. Vi lar \(X\) være levetiden til en tilfeldig valgt temperaturføler av denne typen. Produsenten oppgir at \(X\) er normalfordelt med forventningsverdi \(\mu = 12\) år og standardavvik \(\sigma = 1{,}5\) år.

Når produsenten bytter ut en defekt temperaturføler, noterer de hvor lang levetid den har hatt. Når produsenten gjennomfører en kvalitetskontroll av de defekte temperaturfølerne, plukker de tilfeldig ut 225 følere.

I en tilfeldig kvalitetskontroll lar vi \(Y\) være antall enheter som har hatt en levetid som er kortere enn 10 år. Vi går ut fra at \(Y\) er binomisk fordelt.

Produsenten har mistanke om at levetiden til temperaturfølerne er kortere enn det de oppgir. De vil derfor gjennomføre en kvalitetskontroll.

I kvalitetskontrollen viser det seg at den gjennomsnittlige levetiden til de 225 temperaturfølerne var 11,78 år.

Fasit

a) \(P(X < 10) \approx 0{,}0912\)
b) \(P(Y \geq 21) \approx 0{,}49\)
c) \(H_0\colon \mu = 12\), \(H_1\colon \mu < 12\)
d) \(P\)-verdi \(\approx 0{,}014 < 0{,}05\). Vi forkaster \(H_0\).

Løsningsforslag

a

\(X\) er normalfordelt med \(\mu = 12\) og \(\sigma = 1{,}5\).

b

\(Y\) er binomisk fordelt med \(n = 225\) og \(p = 0{,}0912\).

Vi bruker normalapproksimasjon:

Med halvkorreksjon:

c

Produsenten har mistanke om at levetiden er kortere enn oppgitt (\(\mu = 12\)).

Vi tester med gjennomsnittlig levetid \(\bar{X}\) fra utvalget. Under \(H_0\) er \(\bar{X}\) tilnærmet normalfordelt med \(\mu_{\bar{X}} = 12\) og \(\sigma_{\bar{X}} = \dfrac{1{,}5}{\sqrt{225}} = 0{,}1\).

d

Den gjennomsnittlige levetiden i utvalget er \(\bar{x} = 11{,}78\) år.

Siden \(P\)-verdien \(\approx 0{,}014 < 0{,}05\), forkaster vi \(H_0\) på 5 % signifikansnivå.

Det er grunnlag for å si at levetiden til temperaturfølerne er kortere enn det produsenten oppgir.

Virkestoff og halveringstid

Marit har i mange år tatt medisiner. Hver dag tar hun én tablett som inneholder 20 mg av et virkestoff. I løpet av ett døgn bryter kroppen ned 25 % av virkestoffet i tabletten.

Det viser seg at Marit ikke tåler mer enn 60 mg av virkestoffet i kroppen. Hun må derfor få nye tabletter, som inneholder mindre av virkestoffet.

I en annen medisin har virkestoffet en halveringstid på 66 timer. Det vil si at det går 66 timer fra en bruker tar en tablett, til det kun er halvparten av virkestoffet fra tabletten igjen i kroppen.

En bruker har tatt én tablett med 10 mg av virkestoffet hver dag over en lang tidsperiode.

Fasit

a) I underkant av \(80 \text{~mg}\)
b) Høyst \(15 \text{~mg}\)
c) Ca. \(44{,}9 \text{~mg}\)

Løsningsforslag

a

Kroppen bryter ned 25 % per døgn, så 75 % av virkestoffet blir igjen. Like etter at Marit har tatt tabletten dag \(n\), er mengden virkestoff \(M_n\).

Over lang tid stabiliserer mengden seg. Like etter at tabletten er tatt:

Dette er en uendelig geometrisk rekke med \(a_1 = 20\) og \(k = 0{,}75\).

Fra linje 1:

Men dette er grenseverdien som aldri oppnås helt. Etter et endelig antall dager er mengden alltid litt under 80 mg. Altså har Marit i underkant av \(\underline{\underline{80 \text{~mg}}}\) av virkestoffet i kroppen.

b

Dersom hver tablett inneholder \(d\) mg, blir den stabile mengden

Vi krever \(4d \leq 60\):

Fra linje 2 i CAS-utklippet: \(60 \cdot (1 - 0{,}75) = 15\). ✓

c

Halveringstid 66 timer betyr at nedbrytningsfaktoren per døgn (24 timer) er

Fra linje 3 i CAS-utklippet: \(k \approx 0{,}7772\).

Den stabile mengden virkestoff like etter tablett-inntak er

Fra linje 4: \(M \approx \underline{\underline{44{,}9 \text{~mg}}}\)