Derivasjon av tre funksjoner

Deriver funksjonene

Fasit

a) \(f'(x) = 9x^2 + \dfrac{1}{x}\)
b) \(g'(x) = (1 - 4x^2) \cdot e^{-2x^2}\)
c) \(h'(x) = \dfrac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}\)

Løsningsforslag

a) Vi deriverer ledd for ledd:

b) Vi bruker produktregelen med \(u = x\) og \(v = e^{-2x^2}\):

c) Vi bruker brøkregelen med \(u = 2x\) og \(v = x^2 + 1\):

Tredjegradsfunksjon med nullpunkter og vendetangent

Funksjonen \(f\) er gitt ved

Fasit

a) \(x = 1\), \(x = -2\), \(x = -5\)
b) Topp: \(x = -2 - \sqrt{3}\), bunn: \(x = -2 + \sqrt{3}\)
c) \(y = -9x - 18\)
d) Skisse

Løsningsforslag

a

Vi setter inn \(x = 1\):

Siden \(x = 1\) er et nullpunkt, er \((x-1)\) en faktor. Vi utfører polynomdivisjon:

Vi faktoriserer: \(x^2 + 7x + 10 = (x+2)(x+5)\).

Nullpunktene er \(\underline{\underline{x = 1, \; x = -2, \; x = -5}}\).

b

Vi deriverer:

Vi setter \(f'(x) = 0\):

Vi sjekker med \(f''(x) = 6x + 12\):

• \(f''(-2-\sqrt{3}) = 6(-2-\sqrt{3}) + 12 = -6\sqrt{3} < 0\) → toppunkt i \(\underline{\underline{x = -2 - \sqrt{3}}}\)
• \(f''(-2+\sqrt{3}) = 6(-2+\sqrt{3}) + 12 = 6\sqrt{3} > 0\) → bunnpunkt i \(\underline{\underline{x = -2 + \sqrt{3}}}\)

c

Vendepunktet ligger der \(f''(x) = 0\):

Stigningstallet til vendetangenten:

Vendetangenten: \(y - 0 = -9(x - (-2))\), altså

d

Grafen har nullpunkter i \(x = -5\), \(x = -2\) og \(x = 1\). Toppunkt for \(x = -2-\sqrt{3} \approx -3{,}7\) og bunnpunkt for \(x = -2+\sqrt{3} \approx -0{,}3\). Vendepunktet er \((-2, \, 0)\), og vendetangenten \(y = -9x - 18\) går gjennom dette punktet. For store \(x\) går \(f(x) \to +\infty\) og for \(x \to -\infty\) går \(f(x) \to -\infty\).

Aritmetisk og geometrisk rekke med betingelser

I en rekke \(a_1 + a_2 + \cdots + a_n\) er \(a_2 = 8\) og \(a_4 = 2\).

Det fins to geometriske rekker som tilfredsstiller betingelsene ovenfor.

Fasit

a) \(s_6 = 21\)
b) \(s_6 = \frac{63}{2}\) eller \(s_6 = -\frac{21}{2}\)

Løsningsforslag

a

I en aritmetisk rekke er \(a_n = a_1 + (n-1)d\). Vi har:

Vi trekker den første fra den andre:

Summen av de seks første leddene:

b

I en geometrisk rekke er \(a_n = a_1 \cdot k^{n-1}\). Vi har:

Vi deler:

Tilfelle 1: \(k = \frac{1}{2}\), da er \(a_1 = \frac{8}{1/2} = 16\)

Tilfelle 2: \(k = -\frac{1}{2}\), da er \(a_1 = \frac{8}{-1/2} = -16\)

Virkestoff i tablett

En tablett inneholder 125 mg av et virkestoff. Elise tar én tablett hver dag i en periode. Kroppen til Elise bryter ned 20 prosent av virkestoffet hvert døgn.

Fasit

a) \(369 \, \mathrm{mg}\)
b) \(625 \, \mathrm{mg}\)

Løsningsforslag

a

Kroppen beholder 80 % av virkestoffet hvert døgn (\(k = 0{,}8\)). Like etter den \(n\)-te tabletten har Elise

Etter den fjerde tabletten:

b

Over en lang tidsperiode nærmer vi oss en uendelig geometrisk rekke med \(a_1 = 125\) og \(k = 0{,}8\):

Grensekostnad og enhetskostnad bedrift

En bedrift produserer og selger en vare. De daglige kostnadene \(K\) ved produksjon og salg av \(x\) enheter av denne varen er gitt ved

Ledelsen i bedriften har funnet ut at med dagens produksjonsmengde vil det koste 160 kroner å øke den daglige produksjonsmengden med 1 enhet.

Bedriften får solgt varen for 180 kroner per enhet.

Fasit

a) 200 enheter
b) Nei
c) 60 enheter

Løsningsforslag

a

Grensekostnaden er \(K'(x) = 0{,}4x + 80\).

Dagens grensekostnad er 160 kr:

b

Grensekostnaden ved \(x = 300\):

Siden grensekostnaden (\(200 \, \mathrm{kr}\)) er høyere enn salgsprisen (\(180 \, \mathrm{kr}\)), vil det ikke lønne seg å øke produksjonen til mer enn 300 enheter. Hvert ekstra produkt koster mer å produsere enn det selges for.

c

Enhetskostnaden er

Vi deriverer og setter lik null:

Laveste daglige inntekt

Dersom en bedrift selger en vare for \(p\) kroner per enhet, vil den daglige etterspørselen \(q\) være gitt ved

Fasit

\(10\,000e \approx 27\,183 \, \mathrm{kr}\)

Løsningsforslag

Daglig inntekt er \(I(p) = p \cdot q(p) = \dfrac{10\,000p}{\ln p}\).

Vi deriverer med brøkregelen:

Vi setter \(I'(p) = 0\): \(\ln p - 1 = 0 \implies p = e\).

Vi sjekker endepunktene og det stasjonære punktet:

Den laveste daglige inntekten er \(\underline{\underline{10\,000e \approx 27\,183 \, \mathrm{kr}}}\), når prisen er \(p = e \approx 2{,}72 \, \mathrm{kr}\).

Torskefileter i poser

Caroline driver et cateringfirma og kjøper ofte poser med frosne torskefileter. La \(X\) være antall torskefileter i en tilfeldig valgt pose. Sannsynlighetsfordelingen til \(X\) er gitt i tabellen nedenfor.

La \(S\) være det totale antallet torskefileter i 120 tilfeldig valgte poser. Vi antar at antall torskefileter i de ulike posene er uavhengig av hverandre.

En uke trenger Caroline 822 torskefileter. Hun bestiller derfor 120 poser.

Fasit

a) \(\text{E}(X) = 7\)
b) \(\text{Var}(X) = 1{,}2\)
c) \(\text{E}(S) = 840\), \(\text{Var}(S) = 144\)
d) \(P(S \geq 822) \approx 0{,}933\)

Løsningsforslag

a

Forventningsverdien forteller at man i gjennomsnitt får 7 torskefileter per pose.

b

c

\(S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{120}\), der \(X_i\) er uavhengige med samme fordeling som \(X\).

d

Siden \(S\) er summen av 120 uavhengige, identisk fordelte stokastiske variabler og \(n = 120 \geq 30\), følger det av sentralgrensesetningen at \(S\) er tilnærmet normalfordelt med \(\text{E}(S) = 840\) og \(\text{SD}(S) = \sqrt{144} = 12\).

Det er ca. 93 % sannsynlighet for at Caroline får nok torskefileter.

Immunitet og logistisk modell

I en by i Norge ble det i 2021 kartlagt hvor mange som ble immune mot en sykdom.

Tabellen viser hvor stor prosentandel av befolkningen som var immune ved slutten av noen utvalgte måneder i 2021.

Her er \(t = 1\) slutten av januar 2021, \(t = 2\) slutten av februar 2021 og så videre.

I en annen by er \(N\) gitt ved

en god modell for hvor mye prosentandelen som er immune, økte med per måned, \(t\) måneder etter 1. januar 2021. Det vil si at \(N(1)\) er prosentandelen nye immune i januar 2021, \(N(2)\) er prosentandelen nye immune i februar 2021, og så videre.

Fasit

a) \(g(t) \approx \dfrac{90}{1 + 38{,}6 \cdot e^{-0{,}59t}}\)
b) \(t \approx 11\), dvs. slutten av november 2021
c) Nei, grenseverdien er ca. 90 %
d) Se graf
e) \(\approx 89{,}4\) prosentpoeng

Løsningsforslag

a

Vi bruker logistisk regresjon på datapunktene \((2, 6)\), \((4, 21)\), \((6, 41)\), \((8, 68)\), \((10, 81)\).

Regresjonen gir en logistisk modell:

b

Vi skal løse \(g(t) = 85\):

Andelen immune passerer 85 % ved slutten av november 2021.

c

Grenseverdien til den logistiske modellen er \(L \approx 90\):

Nei, hele befolkningen vil aldri bli immune ifølge modellen. Andelen nærmer seg 90 %, men når aldri 100 %.

d

Grafen viser at \(N(t)\) starter lavt, stiger til et maksimum rundt \(t \approx 6\) (juni), og avtar deretter mot null.

e

Vi beregner integralet i CAS, se utklipp under.

Svaret forteller at den totale prosentandelen av befolkningen som ble immune i løpet av de 12 månedene fra midten av januar til midten av januar (altså hele 2021), var ca. 89,4 prosentpoeng.

Kaffefabrikken og hypotesetest

Kaffefabrikken har en maskin som fyller kaffe i poser. La \(X\) være mengden kaffe i en tilfeldig pose. Det viser seg at \(X\) er normalfordelt med en forventningsverdi lik 250 gram og standardavvik lik 5 gram.

Kaffefabrikken har den siste tiden fått klager på at det er for lite kaffe i posene. De bestemmer seg for å justere pakkemaskinen slik at det blir mer kaffe i posene. Forventningsverdien blir da større, men vi kan anta at standardavviket fortsatt er 5 gram.

For å være på den sikre siden justerer Kaffefabrikken maskinen slik at den i gjennomsnitt fyller 260 gram i hver pose. De selger kaffe i esker med 10 poser i hver eske. Vi antar at mengden kaffe i hver pose er uavhengig av hverandre.

Ledelsen på Kaffefabrikken mistenker at det er noe galt med innstillingen til pakkemaskinen. De tror at forventningsverdien er mindre enn 260 gram.

I en stikkprøve viste det seg at gjennomsnittsvekten til 50 tilfeldige poser var 258,4 gram.

Fasit

a) \(\approx 0{,}6827\)
b) \(\mu \geq 258{,}2 \, \mathrm{g}\)
c) \(\approx 0{,}7944\)
d) \(H_0\!: \mu = 260\), \(H_1\!: \mu < 260\)
e) \(p\)-verdi \(\approx 0{,}012 < 0{,}05\), forkaster \(H_0\)

Løsningsforslag

Vi bruker GeoGebra til beregningene, se utklipp under.

a

\(X\) er normalfordelt med \(\mu = 250\) og \(\sigma = 5\).

Se PMellom i linje 1:

b

Vi skal finne \(\mu\) slik at \(P(X < 250) \leq 0{,}05\).

Se MuMin i linje 2: \(\mu \geq \underline{\underline{258{,}2 \, \mathrm{g}}}\).

c

Med \(\mu = 260\) og \(\sigma = 5\): sannsynligheten for at én pose har mer enn 250 g:

Se POver250 i linje 3: \(P(X > 250) \approx 0{,}9772\).

For at alle 10 posene i en eske har mer enn 250 g:

Se PAlleOver i linje 4: \(P = 0{,}9772^{10} \approx \underline{\underline{0{,}7944}}\).

d

Ledelsen tror at \(\mu < 260\). Vi setter opp:

• \(H_0\!: \mu = 260\) (maskinen er korrekt innstilt)
• \(H_1\!: \mu < 260\) (forventningsverdien er lavere enn 260)

Vi bruker en venstresidig test med signifikansnivå \(\alpha = 0{,}05\).

e

Testobservatoren med \(\bar{X} = 258{,}4\), \(\sigma = 5\) og \(n = 50\):

Se ZVerdi i linje 5:

Se PVerdi i linje 6: \(p\)-verdi \(\approx 0{,}012\).

Siden \(p\)-verdien \(0{,}012 < 0{,}05 = \alpha\), forkaster vi \(H_0\).

Det er grunnlag for ledelsens mistanke — det er statistisk signifikant at forventningsverdien er lavere enn 260 gram.

Sparing og annuitetslån Camilla

Camilla ønsker å arbeide som frivillig nødhjelpsarbeider etter at hun er ferdig med videregående skole. Hun har planlagt dette i 2 år. I denne perioden har hun spart 5000 kroner i måneden på en fastrentekonto. Den månedlige rentefoten på denne kontoen er 0,2 prosent.

Etter at Camilla kommer hjem, ønsker hun å kjøpe seg en bruktbil. Hun vurderer å ta opp et forbrukslån på 100 000 kroner. En bank tilbyr henne et lån med en månedlig rentefot på 1,5 prosent. Lånet skal nedbetales som et annuitetslån med 36 månedlige terminer. Første innbetaling skal skje én måned etter låneopptaket.

Dersom moren til Camilla stiller sikkerhet for lånet, kan banken tilby et lån med bedre betingelser. Dette lånet skal også nedbetales som et annuitetslån med 36 månedlige terminer, og første innbetaling skal skje én måned etter låneopptak. Terminbeløpet Camilla må betale på dette lånet, er 2926 kroner.

Fasit

a) Ca. \(122\,801 \, \mathrm{kr}\)
b) Ca. \(3615 \, \mathrm{kr}\)
c) Ca. \(0{,}28 \, \%\) per måned

Løsningsforslag

Vi bruker GeoGebra CAS til beregningene, se utklipp under.

a

Camilla setter inn 5000 kr per måned i 24 måneder med månedlig rentefot \(r = 0{,}002\). Innskuddene danner en geometrisk rekke.

Det første innskuddet vokser i 23 måneder, det andre i 22 måneder, ..., og det siste vokser i 0 måneder:

Se Sparekonto i linje 1: \(S \approx \underline{\underline{122\,801 \, \mathrm{kr}}}\).

b

Et annuitetslån på \(100\,000 \, \mathrm{kr}\) med månedlig rentefot \(r = 0{,}015\) og 36 terminer gir:

Se Terminbeløp i linje 2: \(T \approx \underline{\underline{3615 \, \mathrm{kr}}}\).

c

Vi skal finne \(r\) slik at terminbeløpet er \(2926 \, \mathrm{kr}\):

Se linje 3 i CAS: \(r \approx 0{,}00284\).

Den månedlige rentefoten er ca. \(\underline{\underline{0{,}28 \, \%}}\).