Prosentvis prisforskjell sjokolade

Marko har kjøpt en sjokoladeplate i en butikk. Den kostet 20 kroner.

Mari har kjøpt en sjokoladeplate på en bensinstasjon. Den kostet 50 kroner.

Det var rart. Kan vi ha regnet riktig? Hvorfor får vi ulike prosenttall?

Fasit

Begge har rett. Marko: \(\frac{30}{20} \cdot 100\,\% = 150\,\%\) (grunnlag: butikkpris). Mari: \(\frac{30}{50} \cdot 100\,\% = 60\,\%\) (grunnlag: bensinstasjonspris).

Løsningsforslag

Marko regner ut hvor mye dyrere bensinstasjonen er sammenlignet med butikken (bruker butikkprisen 20 kr som grunnlag):

Mari regner ut hvor mye billigere butikken er sammenlignet med bensinstasjonen (bruker bensinstasjonsprisen 50 kr som grunnlag):

Begge har regnet riktig. De får ulike prosenttall fordi de har brukt forskjellige grunnlag. Marko regner prosentvis økning fra butikkpris (20 kr), mens Mari regner prosentvis reduksjon fra bensinstasjonspris (50 kr).

Antall maur på jorden

• Tall fra FN viser at folketallet på jorden nå har passert 8 milliarder.
• Forskere har kommet fram til at det er omtrent 2,5 millioner ganger så mange maur som mennesker på jorden.

Fasit

\(\underline{\underline{2 \cdot 10^{16} \text{ maur}}}\)

Løsningsforslag

Vi skal gange antall mennesker med antall maur per menneske.

Antall mennesker skrives på standardform:

Antall maur per menneske skrives på standardform:

Vi ganger disse sammen:

Vi samler tallene for seg og tier-potenserene for seg:

Vi skriver om til standardform (én siffer foran komma):

Det er omtrent \(\underline{\underline{2 \cdot 10^{16}}}\) maur på jorden.

Finn eksempler på proporsjonale størrelser

Fasit

a) Eksempel: pris og antall bokser brus. Graf: rett linje gjennom origo med stigning 15, funksjonsuttrykk \(y = 15n\).
b) Eksempel: fart og tid på en strekning på 60 km. Graf: hyperbel, funksjonsuttrykk \(y = \frac{60}{x}\).

Løsningsforslag

a

Eksempel: pris og antall bokser brus.

La \(n\) være antall bokser brus og \(y\) være den totale prisen i kroner. Én boks koster \(15 \, \mathrm{kr}\), så

Begrunnelse for proporsjonalitet: Forholdet mellom pris og antall er alltid det samme:

Siden forholdet \(\frac{y}{n}\) er konstant (= 15) for alle verdier av \(n\), er \(y\) og \(n\) proporsjonale størrelser.

Graf: Grafen er en rett linje gjennom origo med stigning 15.

Grafen går gjennom punktene \((1, 15)\), \((2, 30)\), \((3, 45)\) og \((4, 60)\), og starter i origo \((0, 0)\).

b

Eksempel: fart og tid på en strekning på 60 km.

La \(x\) være farten i \(\mathrm{km/h}\) og \(y\) være tiden i timer. Da gjelder

Begrunnelse for omvendt proporsjonalitet: Produktet av fart og tid er alltid det samme:

Siden produktet \(x \cdot y\) er konstant (= 60) for alle verdier av \(x\), er \(x\) og \(y\) omvendt proporsjonale størrelser.

Graf: Grafen er en hyperbel som nærmer seg begge aksene, men aldri krysser dem.

Grafen går gjennom punktene \((20, 3)\), \((30, 2)\), \((60, 1)\) og \((120; 0{,}5)\). Kurven faller bratt når farten er lav, og flater ut når farten øker.

Lineær modell for Klaras høyde

Tabellen nedenfor viser høyden til Klara noen år fra hun var 4 år, til hun var 10 år.

Klara var 50 cm høy da hun ble født.

Fasit

a) \(\underline{\underline{H(x) = 7x + 72}}\)
b) \(\underline{\underline{H(19) = 205 \, \mathrm{cm}}}\) — urealistisk høyt
c) Modellen er bare gyldig for alder omtrent \(4 \leq x \leq 14\) år

Løsningsforslag

a

Vi regner ut stigningen ved hjelp av to punkter fra tabellen. Vi bruker punktene \((4, 100)\) og \((10, 142)\):

Stigningen er \(7\), som betyr at Klara vokser \(7 \, \mathrm{cm}\) per år.

Vi bruker punkt-stigningstall-formen og setter inn punktet \((4, 100)\) for å finne konstantleddet \(b\):

Vi sjekker at modellen stemmer med de andre verdiene i tabellen:

• \(H(5) = 7 \cdot 5 + 72 = 35 + 72 = 107\) ✓
• \(H(8) = 7 \cdot 8 + 72 = 56 + 72 = 128\) ✓
• \(H(10) = 7 \cdot 10 + 72 = 70 + 72 = 142\) ✓

Modellen er:

der \(x\) er alderen i år og \(H(x)\) er høyden i cm.

b

Vi setter \(x = 19\) inn i modellen:

Ifølge modellen vil Klara være \(205 \, \mathrm{cm}\) høy når hun fyller 19 år. Det er svært høyt og lite realistisk — de fleste jenter er ferdigvokst rundt 16–17 år.

c

Ifølge oppgaven var Klara \(50 \, \mathrm{cm}\) høy da hun ble født, det vil si ved \(x = 0\).

Vi sjekker hva modellen gir for \(x = 0\):

Modellen gir \(72 \, \mathrm{cm}\) ved fødselen, men den faktiske fødselshøyden var \(50 \, \mathrm{cm}\). Det er et avvik på \(22 \, \mathrm{cm}\).

Vi kan også finne hvilken alder modellen gir høyden \(50 \, \mathrm{cm}\):

En negativ alder gir ingen mening.

Modellen stemmer ikke for nyfødte eller små barn, og vil heller ikke stemme for voksne (man vokser ikke \(7 \, \mathrm{cm}\) i året hele livet). Gyldighetsområdet er omtrent \(4 \leq x \leq 14\) år, det vil si aldersspennet tabellen dekker.

Gjennomsnittstemperatur på Svalbard

De siste årene har Lars bodd på Svalbard fra 1. februar til 1. oktober. Hvert år har han målt temperaturen utenfor huset sitt på ulike tidspunkt noen dager hver uke.

Han har funnet at funksjonen \(T\) gitt ved

er en rimelig bra modell for gjennomsnittstemperaturen \(T(x) \degree \mathrm{C}\) hvert døgn de månedene han bor på Svalbard, når han lar \(x=2\) svare til 1. februar, \(x=3\) til 1. mars, \(x=4\) til 1 . april og så videre.

Denne oppgaven har også én c)-oppgave som passer for 1T: Gjennomsnittstemperatur på Svalbard og den deriverte

Fasit

a) ca 95–96 døgn
b) Gjennomsnittlig vekstfart er 5,04. Gjennomsnittlig øker temp med 5,04 ºC per måned

Løsningsforslag

a

Jeg tegnet grafen til funksjonen og fant skjæringspunktene ved \(x\)-aksen, hvor temperaturen er 0 °C, se punkt \(B\) og \(C\).

Det er \(8{,}906-5{,}772=3{,}134\) måneder mellom skjæringspunktene. Jeg setter at det er 30,5 døgn i hver måned slik at vi får:

Temperaturen er over 0 °C i omtrent 96 døgn

b

Jeg la inn punktene i GeoGebra, dro en linje mellom dem og fant stigningstallet, se \(b=5{,}04\) i utklippet.

Stigningstallet til linja gir den gjennomsnittlige vekstfarten fra \(x=3\) til \(x=7\).

Temperaturen steg med 5,04 grader per måned i gjennomsnitt i perioden fra 1. mars til 1. juli.

c

Jeg tegnet \(T'\) sammen med \(T\) i koordinatsystemet og fant nullpunkter og ekstremalpunkter til \(T'\).

Jeg sammenlignet disse punktene med tilsvarende punkter på grafen til \(T\).

Nullpunktene til \(T'\) ligger ved samme \(x\)-verdi som ekstremalpunktene til \(T\). \(y\)-koordinatene til nullpunktene til \(T'\) er selvsagt null, og det stemmer godt med at vekstfarten i ekstremalpunktene til \(T\) er null. Ved hjelp av nullpunktene til \(T'\) finner vi den kaldeste temperaturen i bunnpunktet 23. februar og den varmeste temperaturen i toppunktet 10. juli.

Toppunktet til \(T'\) er er ved \(x=4,69\) og \(y=6,94\). Det vil si at rundt den 21. april vil temperaturen øke raskest. Gjennomsnittstemperaturen stiger raskest med 6,94 grader per måned rundt 21. april.

Bunnpunktet til \(T'\) er er ved \(x=9,90\) og \(y=-6,62\). Det vil si at rundt den 27. september vil temperaturen synke raskest. Gjennomsnittstemperaturen synker raskest med 6,62 grader per måned rundt 27. september.

Aurora går til postkontoret

En dag går Aurora med jevn fart fra huset der hun bor, til postkontoret, som ligger noen kilometer unna. Hun står i kø for å hente en pakke. Når hun har fått pakken, går hun med jevn fart hjem igjen.

Hvilken av de grafiske framstillingene nedenfor beskriver best lengden av turen som en funksjon av tiden?

Fasit

Graf C

Løsningsforslag

«Lengden av turen» betyr her hvor langt Aurora har gått til sammen — altså den totale tilbakelagte strekningen. Vi deler turen inn i tre faser og vurderer hva som skjer med denne strekningen:

1. Aurora går til postkontoret. Hun går med jevn fart, så strekningen øker jevnt. Dette gir en stigende rett linje i grafen.

2. Aurora står i kø. Hun står stille, så hun legger ikke til ny strekning. Dette gir et horisontalt platå.

3. Aurora går hjem igjen. Hun går med samme jevne fart, så strekningen øker jevnt videre med samme stigning som i fase 1.

Grafen skal altså bestå av to stigende rette linjer (med lik stigning) med et horisontalt platå mellom seg.

Dette passer best med graf C.

Bredden av teltplassen

En gruppe speidere har slått opp telt ved en elv. De har et tau som er 80 m langt, og fire pinner. Tauet og pinnene skal de bruke til å sette opp et gjerde rundt teltet. Området de gjerder inn, skal ha form som et rektangel, og de vil ikke sette opp gjerde langs elven. Se skissen ovenfor.

Herman påstår at arealet av området blir størst dersom lengden er dobbelt så lang som bredden.

Josefine lurer på om de kan tegne en graf som viser at Herman har rett. Hun prøver å sette opp et funksjonsuttrykk som hun kan bruke.

Fasit

a) 600 m²
b) Herman har rett
c) En mulighet er \(A(x)=x\cdot (80-2x)\)

Løsningsforslag

a

Med 80 m tau og et område med lengde 60 m så har de 20 m igjen å fordele til de to siste sidene. Matematisk kan vi skrive \(\frac{80-60}{2}=10\). Bredden blir altså 10 m.

Arealet av området er 600 m².

b

Jeg satte opp en oversikt i Excel, se formlene i formelutklippet. Vi ser at arealet øker når bredden øker helt fram til lengden er 40 m og bredden er 20 m, deretter minker arealet.

Hermann har rett i at vi får det største arealet dersom lengden er dobbelt så lang som bredden.

c

La oss kalle bredden i meter for \(x\). Da må lengden i meter være \(80-2x\). Vi kan sette opp et funksjonsuttrykk for arealet \(A(x)\) der bredden er \(x\) meter.

\

Jeg tegnet denne grafen i GeoGebra og fant toppunktet, se punkt \(B\).
Toppunktet ligger ved bredden \(x=20\), så Hermann sin påstand er riktig.

Potetsekker i koordinatsystem

En bonde selger sekker med poteter.

I koordinatsystemet nedenfor ser du sammenhengen mellom vekt og pris for potetsekkene. Hvert av punktene A, B, C, D, E og F representerer en potetsekk.

I to av sekkene koster potetene like mye per kilogram.

Fasit

a) Sekk D
b) Sekk A og sekk C
c) Sekk C lønner seg
d) Sekk A og sekk F

Løsningsforslag

a

Tyngden til sekken leses av på \(x\)-aksen (vekt i kg). Vi ser etter punktet som ligger lengst til høyre i koordinatsystemet.

Sekk D har størst \(x\)-verdi og er derfor tyngst.

b

Prisen til sekken leses av på \(y\)-aksen (pris i kroner). Vi ser etter punkter som ligger på samme høyde (samme \(y\)-verdi).

Sekk A og sekk C ligger på samme høyde i koordinatsystemet og koster derfor like mye.

c

Kiloprisen (pris per kg) bestemmes av forholdet mellom pris og vekt, altså \(\frac{\text{pris}}{\text{vekt}}\). Jo lavere dette forholdet er, desto billigere er potetene per kilogram.

Sekk B og sekk C koster omtrent like mye, men sekk C er klart tyngre enn sekk B (større \(x\)-verdi). Da blir kiloprisen for sekk C lavere:

Det lønner seg å kjøpe sekk C, siden den er tyngre men koster omtrent det samme som sekk B — kiloprisen er altså lavere.

d

Like kilopris betyr at forholdet \(\frac{\text{pris}}{\text{vekt}}\) er likt for de to sekkene. Geometrisk betyr dette at de to punktene ligger på den samme rette linjen gjennom origo: jo brattere linja er, desto høyere er kiloprisen.

Vi tegner tenkte linjer fra origo gjennom hvert punkt og ser hvilke to punkter som havner på samme linje.

Fra grafen ser vi at sekk A og sekk F ligger på den samme rette linja gjennom origo — sekk A er liten og forholdsvis billig, sekk F er tyngre og dyrere, men forholdet pris/vekt er det samme.

Sekk A og sekk F har samme kilopris.

Non Stop K-mønster og programmering

Kari har brukt Non Stop og laget tre K-er. Se ovenfor. Tenk deg at hun skal fortsette å lage K-er etter samme mønster.

Kari ønsker å lage et program som finner antall Non Stop hun trenger for å lage hver av de 20 første K-ene. Hun ønsker også å vite hvor mange Non Stop hun trenger til sammen for å lage alle disse 20 K-ene.

123456789101112131415# Startverdier
nonstop_figur = 10
nonstop_totalt = 10

# Overskrifter
print("Figurnummer     Non Stop i figur     Non Stop totalt")


for figurnummer in range(1, 21):

    # Skriver ut i tre kolonner ved å bruke tabulatorer sep = "\t\t\t"
    print(figurnummer, nonstop_figur, nonstop_totalt, sep = "\t\t\t")

    nonstop_figur = 1
    nonstop_totalt = 1

Kari har 2000 Non Stop. Hun vil begynne med \(K_1\) og lage én K i hver størrelse.

Fasit

a) Hver K har 4 flere Non Stop enn den forrige. \(K_4 = \underline{\underline{22}}\) og \(K_5 = \underline{\underline{26}}\).
b) Se program under.
c) \(\underline{\underline{960}}\) Non Stop totalt.
d) Kari kan lage \(\underline{\underline{29}}\) K-er.

Løsningsforslag

a

Vi teller Non Stop i hver figur:

Mønsteret er at hver K har 4 flere Non Stop enn den forrige. Vi kan beskrive dette som \(K_n = K_{n-1} + 4\) der \(K_1 = 10\), eller med en eksplisitt formel \(K_n = 4n + 6\).

Derfor er:

b

Vi starter med nonstop_figur = 10 (antall Non Stop i \(K_1\)) og nonstop_totalt = 10. I løkken skriver vi ut verdiene for figuren, og oppdaterer deretter til neste figur ved å legge til 4.

1234567nonstop_figur = 10
nonstop_totalt = 10
print("Figurnummer     Non Stop i figur     Non Stop totalt")
for figurnummer in range(1, 21):
    print(figurnummer, nonstop_figur, nonstop_totalt, sep = "\t\t\t")
    nonstop_figur = nonstop_figur + 4
    nonstop_totalt = nonstop_totalt + nonstop_figur

Programmet skriver ut:

Figurnummer     Non Stop i figur     Non Stop totalt
1			10			10
2			14			24
3			18			42
4			22			64
5			26			90
6			30			120
7			34			154
8			38			192
9			42			234
10			46			280
11			50			330
12			54			384
13			58			442
14			62			504
15			66			570
16			70			640
17			74			714
18			78			792
19			82			874
20			86			960

c

Fra utskriften til programmet leser vi av at totalen for de 20 første K-ene er \(\underline{\underline{960}}\) Non Stop.

Vi kan også beregne dette med formelen \(K_n = 4n + 6\):

d

Vi setter opp en formel for totalt antall Non Stop etter \(n\) K-er:

Vi prøver systematisk:

\(S(29) = 1914 \leq 2000\), men \(S(30) = 2040 > 2000\).

Kari kan lage \(\underline{\underline{29}}\) K-er med 2000 Non Stop.

Eksponentiell modell for salg av energidrikker

Tabellen nedenfor viser salg av energidrikker i Norge hvert år fra 2015 til 2021.

La \(x\) være antall år etter 2015.

I 2022 var salget av energidrikk 73 109 tusen liter.

Fasit

a) \(\underline{\underline{E(x) = 17\,396 \cdot 1{,}248^x}}\)
b) \(a \approx 17\,396\): modellens estimat for salget i 2015 (tusen liter). \(b \approx 1{,}248\): salget øker med ca. \(\underline{\underline{24{,}8 \,\%}}\) per år ifølge modellen.
c) Faktisk økning fra 2021 til 2022: \(\underline{\underline{\approx 7{,}5 \,\%}}\). Modellen passer dårlig for 2022 — veksten har avtatt kraftig.

Løsningsforslag

a

Vi legger inn datapunktene i GeoGebra og bruker eksponentiell regresjon med kommandoen RegEksp.

La \(x\) = antall år etter 2015 og \(y\) = salg i tusen liter.

Datapunktene er plottet som røde punkter i grafen under. GeoGebra gir regresjonsmodellen

Kurven passer godt med datapunktene fra 2015 til 2021 (se grafen).

b

• \(a \approx 17\,396\) er modellens verdi for \(E(0)\), det vil si estimert salg i 2015: ca. \(17\,400\) tusen liter. (Det faktiske salget i 2015 var \(18\,899\) tusen liter — \(a\) er altså et estimat, ikke den eksakte verdien.)

• \(b \approx 1{,}248\) er vekstfaktoren. Det betyr at salget ifølge modellen øker med ca. \(24{,}8 \,\%\) per år.

c

Vi beregner faktisk prosentvis økning fra 2021 til 2022:

Den faktiske veksten fra 2021 til 2022 var altså ca. \(7{,}5 \,\%\).

Modellen vår anslår en vekst på ca. \(24{,}8 \,\%\) per år. Det er langt mer enn den faktiske veksten på \(7{,}5 \,\%\).

Vi kan også sammenligne modellens spådom for 2022 (\(x = 7\)) med det faktiske salget:

Faktisk salg i 2022 var \(73\,109\) tusen liter (det grønne punktet P2022 i grafen). Modellen overestimerer altså salget i 2022 med ca. 9 000 tusen liter.

Modellen passer dårlig for 2022. Veksten i salget har avtatt betydelig — fra rundt \(25 \,\%\) per år (2015–2021) til bare \(7{,}5 \,\%\) fra 2021 til 2022. Den eksponentielle modellen er best egnet for perioden den er basert på (2015–2021), men overestimerer kraftig når veksten bremser opp.