Verdens befolkning og promille

Anta at det på et tidspunkt vil bo 18 millioner mennesker i et land, og at dette vil tilsvare 2 promille av verdens befolkning.

Fasit

Verdens befolkning vil være \(\underline{\underline{9 \text{ milliarder} = 9 \cdot 10^9}}\)

Løsningsforslag

2 promille betyr 2 per 1000, det vil si:

Hvis 18 millioner mennesker utgjør 2 promille av verdens befolkning, kan vi sette opp:

Vi løser for verdens befolkning ved å dele begge sider på \(0{,}002\):

Vi regner ut:

Svaret er 9000 millioner = 9 milliarder.

Ada sparer med eksponentialfunksjon

Ada vil spare penger og har funnet ut at hun kan bruke funksjonen \(f\) gitt ved

for å regne ut hvor mye penger hun vil ha i banken om \(x\) år.

Ada har laget programmet nedenfor.

123456789def f(x):
    return 20000 * 1.0485 ** x

start = 0
slutt = 10

v = (f(slutt) - f(start))/(slutt - start)

print(v)

Fasit

a) \(20\,000\) er beløpet Ada har i banken nå (ved \(x = 0\)). \(1{,}0485\) er vekstfaktoren, som tilsvarer \(4{,}85\,\%\) årlig rente.
b) Programmet skriver ut den gjennomsnittlige vekstfarten fra \(x = 0\) til \(x = 10\), altså omtrent \(\underline{\underline{1211{,}55 \, \mathrm{kr/år}}}\) — beløpet øker i gjennomsnitt med ca. 1212 kr per år de første 10 årene.

Løsningsforslag

a

Funksjonen er \(f(x) = 20000 \cdot 1{,}0485^{x}\), der \(x\) er antall år.

Når vi setter inn \(x = 0\), får vi

Tallet \(\textcolor{steelblue}{20\,000}\) er altså beløpet Ada har i banken i dag (startbeløpet).

Vekstfaktoren \(\textcolor{seagreen}{1{,}0485}\) betyr at beløpet vokser med \(4{,}85\,\%\) hvert år. Beløpet ganges med \(1{,}0485\) for hvert år som går.

\(\textcolor{steelblue}{20\,000}\) kr er beløpet Ada har i banken nå. \(\textcolor{seagreen}{1{,}0485}\) er vekstfaktoren, som tilsvarer \(4{,}85\,\%\) årlig rente.

b

Programmet regner ut dette uttrykket:

Vi finner de to verdiene:

Deretter:

Programmet skriver ut \(\underline{\underline{v \approx 1211{,}55 \, \mathrm{kr/år}}}\).

Dette er den gjennomsnittlige vekstfarten fra år 0 til år 10. Det betyr at beløpet i gjennomsnitt øker med ca. 1212 kr per år de første 10 årene.

Proporsjonale og omvendt proporsjonale størrelser fra graf

Her ser du grafene til fire funksjoner \(f\), \(g\), \(p\) og \(q\).

• Avgjør om en eller flere av grafene viser sammenhengen mellom to størrelser som er proporsjonale.
• Avgjør om en eller flere av grafene viser sammenhengen mellom to størrelser som er omvendt proporsjonale.

Husk å argumentere for svarene dine.

Fasit

\(f\) er proporsjonal, \(p\) er omvendt proporsjonal

Løsningsforslag

For at to størrelser skal være proporsjonale, må sammenhengen kunne skrives som \(y = k \cdot x\) for en konstant \(k > 0\). Grafen vil da være en rett linje som går gjennom origo.

For at to størrelser skal være omvendt proporsjonale, må sammenhengen kunne skrives som \(y = \frac{k}{x}\) for en konstant \(k > 0\). Grafen vil da være en hyperbel.

Fra grafen:

• \(f\) (grønn) er en rett linje som går gjennom origo → \(f\) viser proporsjonale størrelser.
• \(p\) (blå) er en kraftig avtagende kurve som ligner en hyperbel → \(p\) viser omvendt proporsjonale størrelser.
• \(q\) (rød) er en avtagende kurve, men den er brattere enn en hyperbel ved lave \(x\)-verdier og flater mer ut – dette er ikke en ren hyperbel, og er verken proporsjonal eller omvendt proporsjonal.
• \(g\) (lilla) er en stigende kurve som ikke går gjennom origo med konstant stigningstall – verken proporsjonal eller omvendt proporsjonal.

\(\underline{\underline{f}}\) viser proporsjonale størrelser, og \(\underline{\underline{p}}\) viser omvendt proporsjonale størrelser.

Bremselengde og fart

For å regne ut bremselengder på sommerføre kan vi bruke formelen

Her er \(B\) bremselengde (meter), og \(x\) er fart (km/h) delt på 10.

På nettsidene til Viking Redningstjeneste står det at en bil som kjører i \(70 \mathrm{~km/h}\), har en bremselengde på \(24{,}5 \mathrm{~m}\).

Fasit

a) \(\underline{\underline{B = 24{,}5 \, \mathrm{m}}}\)
b) \(\underline{\underline{v = 90 \, \mathrm{km/h}}}\)

Løsningsforslag

a

Vi skal vise at en bil som kjører i \(70 \, \mathrm{km/h}\) har bremselengde \(24{,}5 \, \mathrm{m}\).

Først finner vi \(x\) ved å dele farten på 10:

Deretter setter vi inn i formelen:

Bremselengden er \(\underline{\underline{24{,}5 \, \mathrm{m}}}\), som stemmer med det Viking Redningstjeneste oppgir.

b

Vi vet at bremselengden er \(B = 40{,}5 \, \mathrm{m}\), og skal finne farten.

Vi setter inn \(B = 40{,}5\) i formelen:

Vi ganger begge sider med 2:

Vi tar kvadratroten av begge sider (fart er positiv, så vi tar den positive roten):

Siden \(x\) er farten delt på 10, finner vi farten ved å gange med 10:

Bilen kjører i \(\underline{\underline{90 \, \mathrm{km/h}}}\).

Modellering av bagettsalg

Tabellen nedenfor viser hvor mange bagetter en kantine har solgt hver av de siste sju ukene, og hvor stort overskudd salget har gitt.

Fasit

a) Alle datapunkter ligger nær kurven — \(O(x)\) er en god modell.
b) Maksimalt overskudd \(\underline{\underline{\approx 4459 \, \mathrm{kr}}}\) ved \(\underline{\underline{x \approx 284}}\) bagetter.
c) Stigningstallet er \(\underline{\underline{24{,}04 \, \mathrm{kr/bagett}}}\).
d) Momentan vekstfart: \(\underline{\underline{O'(235) \approx 8{,}74 \, \mathrm{kr/bagett}}}\).

Løsningsforslag

a

Vi plotter datapunktene fra tabellen og grafen til \(O(x) = -0{,}09x^2 + 51{,}04x - 2776{,}98\) i GeoGebra:

Vi ser at alle de røde datapunktene ligger svært nær den blå kurven. Vi kan også beregne modellverdiene og sammenligne:

Avvikene er små (under \(50\) kr) sammenlignet med overskuddet. \(O(x)\) er en god modell.

b

Vi finner toppunktet til \(O(x)\) ved å sette den deriverte lik null.

Vi løser dette i GeoGebra CAS:

Det vil si at overskuddet er størst ved \(x \approx 284\) bagetter. Maksimalt overskudd:

Kantinen bør produsere og selge ca. \(\underline{\underline{284}}\) bagetter per uke. Da blir overskuddet \(\underline{\underline{\approx 4459 \, \mathrm{kr}}}\).

c

Vi beregner stigningstallet til sekanten gjennom \((100,\, O(100))\) og \((200,\, O(200))\):

Stigningstallet er \(\underline{\underline{24{,}04 \, \mathrm{kr/bagett}}}\).

Praktisk tolkning: Når antall solgte bagetter øker fra 100 til 200, øker overskuddet i gjennomsnitt med \(24{,}04\) kr per ekstra bagett.

d

Den momentane vekstfarten er verdien av den deriverte i punktet \(x = 235\):

Den momentane vekstfarten er \(\underline{\underline{O'(235) \approx 8{,}74 \, \mathrm{kr/bagett}}}\).

Praktisk tolkning: Når kantinen allerede selger 235 bagetter per uke, vil én ekstra solgt bagett øke overskuddet med ca. \(8{,}74\) kr.

Gautes sparekonto

Oppgave a) og oppgave b) nedenfor skal du løse på to ulike måter. Du skal løse hver av deloppgavene

1. ved å gjøre beregninger
2. grafisk

For fem år siden satte Gaute inn sparepengene sine på en konto med en fast rente på \(3{,}25\%\) per år. I dag står det litt over \(105\,607\) kroner på kontoen.

Fasit

a) 123 920 kr
b) 90 000 kr

Løsningsforslag

Jeg lager først funksjonen \(f(x)=105\,607 \cdot 1{,}0325^{x}\) ut fra opplysningene i oppgaven (3,25 % rente tilsvarer vekstfaktoren 1,0325).

Grafisk løsning
For å løse oppgaven grafisk la jeg inn funksjonsuttrykket i GeoGebra og fant skjæringen med \(x=-5\) og \(x=5\), se punkt \(A\) og \(B\) i utklippet.

Beregnet løsning
For å løse oppgaven med beregning brukte jeg det samme funksjonsuttrykket og beregnet \(f(5)\) og \(f(-5)\) i CAS, se skjermbildet.

Vi runder av svarene til 90 000 kr og 123 920 kr.

Gaute satte inn 90 000 kroner for 5 år siden, og han kommer til å ha 123 920 kroner på kontoen om renta ikke endrer seg.

Oljeproduksjon på norsk sokkel

Fat er en enhet for volummåling av olje.

\(1 \mathrm{~fat} \approx 158{,}987 \mathrm{~liter}\)

I 2023 ble det i gjennomsnitt produsert \(1{,}794\) millioner fat olje på norsk sokkel hvert døgn.

I 2022 ble det i gjennomsnitt produsert \(1{,}685\) millioner fat hvert døgn.

Fasit

a) \(\underline{\underline{\approx 2{,}85 \cdot 10^{8} \, \mathrm{liter}}}\) per døgn, \(\underline{\underline{\approx 1{,}04 \cdot 10^{11} \, \mathrm{liter}}}\) per år
b) \(\underline{\underline{\approx 6{,}47 \, \%}}\)

Løsningsforslag

a

Vi skal finne hvor mange liter olje som ble produsert i 2023.

Først finner vi antall liter per døgn:

Så ganger vi med antall dager i et år:

I 2023 ble det produsert omtrent \(\underline{\underline{2{,}85 \cdot 10^8 \, \mathrm{liter}}}\) olje per døgn, og omtrent \(\underline{\underline{1{,}04 \cdot 10^{11} \, \mathrm{liter}}}\) olje totalt i løpet av året.

b

Vi skal finne den prosentvise økningen fra 2022 til 2023.

Økning i antall fat per døgn:

Prosentvis endring:

Produksjonsmengden steg med omtrent \(\underline{\underline{6{,}47 \, \%}}\) fra 2022 til 2023.

Jakob Ingebrigtsens løpsrekorder

Tabellen nedenfor viser noen av de personlige rekordene til friidrettsutøveren Jakob Ingebrigtsen.

Tidene er gitt i minutter (før kolon) og sekunder (etter kolon). For eksempel betyr 7:23,63 en tid på 7 minutter og 23,63 sekunder.

Alle løpene i tabellen er gjennomført på en bane der en runde er 400 meter lang.

Da Jakob Ingebrigtsen satte personlig rekord på 1 engelsk mil, holdt han en gjennomsnittsfart på omtrent \(25{,}89 \mathrm{~km/h}\).

Fasit

a) \(\underline{\underline{55{,}24 \, \mathrm{s}}}\)
b) \(\underline{\underline{1609 \, \mathrm{m}}}\)

Løsningsforslag

a

Vi regner først om rekordtiden til sekunder:

Deretter finner vi antall runder. En runde er 400 m, og 1500 m løpes på:

Den gjennomsnittlige rundetiden blir:

b

Vi regner om farten fra km/h til m/s:

Rekordtiden på 1 engelsk mil er:

Vi bruker formelen distanse \(=\) fart \(\cdot\) tid:

Dermed er 1 engelsk mil omtrent 1609 meter.

Knut og Sabrina tallfølge

Knut og Sabrina jobber med tallfølgen

Fasit

Mønster: \(a_{n+1} = 2 \cdot a_n + 1\). Neste ledd er 95.

Alle ledd fra og med \(a_2\) er oddetall fordi \(2 \cdot (\text{oddetall}) + 1\) alltid gir et oddetall.

Løsningsforslag

Mønster

Vi undersøker forholdet mellom påfølgende ledd:

Mønsteret er at hvert ledd er det dobbelte av det forrige, pluss 1. Skrevet som en rekursiv formel:

Det neste leddet etter 47 er:

Argumentasjon for at alle ledd bortsett fra det første er oddetall

Det andre leddet er \(a_2 = 5\), som er et oddetall.

Vi antar at ett ledd \(a_n\) er et oddetall. Så ser vi på neste ledd:

Siden \(a_n\) er et oddetall, er \(2 \cdot a_n\) et partall (et partall ganger hva som helst er partall). Et partall pluss 1 er alltid et oddetall. Derfor er \(a_{n+1}\) også et oddetall.

Siden \(a_2 = 5\) er et oddetall, og hvert ledd gir et oddetall som neste ledd, vil \(a_3, a_4, a_5, \ldots\) alle være oddetall.

Alle ledd i tallfølgen bortsett fra det første er oddetall.

Lufttrykk og kokepunkt for vann

Når lufttrykket er lavere enn 1000 hPa, vil kokepunktet for vann være lavere enn \(100 \degree\mathrm{C}\). Se tabellen nedenfor.

Fasit

a) \(K(x) = 8{,}71 \cdot x^{0{,}356}\)
b) Aris modell: \(L_A(x) = 1000 \cdot 0{,}88^x\). Lisas modell: \(L_L(x) = 1000 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{x/5{,}5}\)
c) Med Aris modell: ca. \(\underline{\underline{4 \, \mathrm{km}}}\) over havet.

Løsningsforslag

a

Vi legger inn datapunktene fra tabellen i GeoGebra og bruker regresjonsverktøyet til å finne en modell på formen \(K(x) = a \cdot x^b\).

Fra GeoGebra (potensregresjon):

Modellen passer godt — alle datapunktene ligger nær kurven.

\(\mathbf{K(x) = 8{,}71 \cdot x^{0{,}356}}\)

b

Aris modell: Lufttrykket minker med 12 % per km, det vil si lufttrykket blir ganget med \(0{,}88\) for hvert km. Vi starter ved \(1000\) hPa ved havets overflate, slik at

der \(x\) er antall km over havet.

Lisas modell: Lufttrykket halveres for hver \(5{,}5\) km, det vil si \(k^{5{,}5} = \tfrac{1}{2}\), som gir \(k = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{1/5{,}5} \approx 0{,}8816\). Med samme startverdi:

Modellene er svært like: \(k_A = 0{,}88\) og \(k_L \approx 0{,}882\).

c

Et egg blir hardkokt dersom kokepunktet er minst \(85 \, \degree\mathrm{C}\). Vi må finne høyden \(x\) slik at \(K(L(x)) = 85\).

Vi bruker Aris modell og setter opp likningen

Vi løser likningen i GeoGebra CAS:

CAS gir \(x \approx 3{,}98 \, \mathrm{km}\).

Med Lisas modell får man \(x \approx 4{,}03 \, \mathrm{km}\) — begge modellene gir omtrent det samme svaret.

Det er mulig å få egg hardkokte opp til ca. \(\underline{\underline{4 \, \mathrm{km}}}\) over havet.

Skobutikk ta 3 betal for 2

Du har bestemt deg for å benytte et «Ta 3, betal for 2»-tilbud i en skobutikk. Du trenger bare to par sko selv, men du tar med deg en venn som også trenger et par sko.

Du velger et par sko som koster \(800\) kroner, og et par sko som koster \(1550\) kroner. Vennen din velger et par sko som koster \(1350\) kroner.

Fasit

Mange ulike løsninger

Løsningsforslag

Jeg mener det er enklest og mest rettferdig at jeg får \(\frac{2}{3}\) av rabatten og at vennen min får \(\frac{1}{3}\) av rabatten. Snittprisen for mine to par med sko er \(1175\) kroner, slik at det ikke er alt for stor forskjell på prisene på skoene våre (men jeg burde kanskje ha valgt et dyrere par, siden jeg kunne fått et til 1350 kroner i stedet).

Til sammen betaler vi \(1550 \mathrm{~kr}+1350 \mathrm{~kr}=2900 \mathrm{~kr}\). Den samlede rabatten er \(800\) kr. Min del av rabatten er \(0{,}67 \cdot 800=536 \mathrm{~kr}\) og min venns andel er \(0{,}33 \cdot 800=264\mathrm{~kr}\).

Jeg må betale: \(1550+800-536=\underline{\underline{ 1814 \mathrm{~kr} }}\).
Min venn må betale \(1350-264=\underline{\underline{ 1086 \mathrm{~kr} }}\).