1T eksamen H2022

Oversikt over eksamensoppgavene

Del 1 — 1 time — uten hjelpemidler

№	Navn	Poeng	LF
1-1	Vis at sin u delt på cos u er tan u	—	✔︎
1-2	Tredjegradsfunksjon med tre nullpunkter og grafvalg	—	×
1-3	Python-program med rasjonal funksjon og feilmelding	—	×
1-4	Andregradsfunksjon fra to tangentlikninger	—	×

Del 2 — 4 timer — med hjelpemidler

№	Navn	Poeng	LF
2-1	Hagebasseng som kjøles ned	—	×
2-2	Leiligheter i bygård	—	KI
2-3	Sirkel med diameter og innskrevet trekant	—	×
2-4	Cosinussetning med to løsninger	—	×
2-5	Pendel og potensregresjon med fysikkformel	—	×
2-6	Største areal i rektangel med omkrets 64	—	×
2-7	Gardiner som parabler kuttet fra tøyrull	—	×

Del 1

Oppgave 1-1

Vis at (sin u) / (cos u) = tan u

Gitt trekanten under.

{width=20%}

Oppgave

Vis at

\[\frac{\sin u}{\cos u}=\tan u \]

Fasit

Se løsningsforslag

Løsningsforslag

Vi vet at \(\sin u= \frac{mk}{h}\) og \(\cos u = \frac{hk}{h}\). Da er

\[\frac{\sin u}{\cos u}=\frac{\frac{mk}{\cancel{ h }}}{\frac{hk}{\cancel{ h }}}=\frac{mk}{hk} \]

Siden \(\tan u = \frac{mk}{hk}\) så har vi vist at

\[\frac{\sin u}{\cos u}=\tan u \qquad\qquad \blacksquare \]

Oppgave 1-2

Tredjegradsfunksjon med tre nullpunkter og grafvalg

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[f(x)=(x-4)(x-2)(x+4) \]

Oppgave

Hvilken av grafene nedenfor kan være grafen til \(f\)?
Husk å forklare hvordan du tenker.

Tre kandidater A, B og C

Oppgave

Løs ulikheten
\[(x-4)(x-2)(x+4)>0 \]

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 1-3

Python-program med rasjonal funksjon og feilmelding

123456789def f(x):
    return (1 - 2 * x) / (x - 2)

x = 8

while x >= -8:

    print(x , f(x))
    x = x - 1

8 -2.5
7 -2.6
6 -2.75
5 -3.0
4 -3.5
3 -5.0

Lars har skrevet en programkode. Ovenfor ser du koden, og resultatet Lars får når han kjører programmet.

Når programmet har skrevet ut de seks linjene, kommer en feilmelding.

Oppgave

Hva ønsker Lars å bruke programmet til, og hvorfor får han en feilmelding?
Foreslå endringer Lars kan gjøre i koden for å unngå feilmeldingen.
Skisser grafen til funksjonen \(f\) som Lars har definert i linje 1 og 2 i koden.

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 1-4

Andregradsfunksjon fra to tangentlikninger

Andregradsfunksjon og de to tangentene

Om grafen til en andregradsfunksjon \(f\) får du vite at

tangenten i punktet \((-2,0)\) har likningen \(y=9x+18\)
tangenten i punktet \((8,-10)\) har likningen \(y=-11x+78\)

Oppgave

Bestem \(f'(x)\).

Fasit

Løsningsforslag

Del 2

Oppgave 2-1

Hagebasseng som kjøles ned

Hagebasseng

Strømmen som holder vannet i et hagebasseng varmt, blir slått av.

Anta at funksjonen \(T\) gitt ved

\[T(x)=3{,}5+34{,}5\cdot 0{,}87^x,\quad x\ge 0 \]

kan brukes som en modell for temperaturen \(T(x)\degree\) i vannet \(x\) timer etter at strømmen blir slått av.

Oppgave

Hva er temperaturen i vannet når strømmen blir slått av?
Hvor lang tid vil det ta før temperaturen i vannet er under \(20\degree\)?
Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene \((0,T(0))\) og \((4,T(4))\). Gi en praktisk tolkning av svaret.
Undersøk om temperaturen i vannet noen gang vil synke med mer enn \(5\degree\) i løpet av en time.
Gi en praktisk tolkning av tallet \(3{,}5\) i modellen.

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 2-2

Leiligheter i bygård

I en bygård er det 40 leiligheter med til sammen 90 rom. Hver leilighet har enten to eller tre rom.

Oppgave

Hvor mange leiligheter har to rom, og hvor mange har tre rom?

Fasit

30 leiligheter med 2 rom, 10 leiligheter med 3 rom

Løsningsforslag

La \(x\) = antall leiligheter med 2 rom og \(y\) = antall leiligheter med 3 rom.

Vi setter opp et likningssystem:

\[\begin{cases} x + y = 40 & \text{(totalt antall leiligheter)} \\ 2x + 3y = 90 & \text{(totalt antall rom)} \end{cases} \]

Vi løser systemet i GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS: løsning av likningssystem

CAS gir \(x = 30\) og \(y = 10\).

Det er \(\underline{\underline{30}}\) leiligheter med 2 rom og \(\underline{\underline{10}}\) leiligheter med 3 rom.

Sjekk: \(30 + 10 = 40\) ✓ og \(2 \cdot 30 + 3 \cdot 10 = 60 + 30 = 90\) ✓

Oppgave 2-3

Sirkel med diameter og innskrevet trekant

Sirkel med sentrum , diameter og på periferien

En sirkel har sentrum i \(S\). \(AB\) er diameter, og \(C\) ligger på sirkelperiferien. Arealet av \(\triangle SBC\) er \(3\cdot\sqrt{2}\).

Oppgave

Bestem sirkelens radius. Bruk eksakte verdier.
Bestem arealet av \(\triangle ABC\). Bruk eksakte verdier.

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 2-4

Cosinussetning med to løsninger

Nina og Edvard arbeider med å finne en ukjent side \(x\) i en trekant.
De har brukt cosinussetningen og satt opp likningen

\[14^2=16^2+x^2-16x \]

Oppgave

Hvilke opplysninger kan Nina og Edvard ha fått om trekanten?

Siden likningen ovenfor er en andregradslikning, antar Nina at det er to ulike trekanter som passer med opplysningene de har fått.

Oppgave

Løs likningen og lag én skisse som viser at Ninas antakelse er riktig.
Sett mål på skissen.

Nina og Edvard vet at andregradslikninger kan ha to løsninger, én løsning eller ingen løsning. Edvard bytter ut \(14^2\) med \(5^2\). Da har likningen ovenfor ingen løsning.

«Det kunne vi sett om vi hadde laget en skisse», sier Nina. «Jeg lurer på hvilket tall vi måtte erstattet \(14^2\) med for å få nøyaktig én løsning.»

Oppgave

Ta utgangspunkt i skissen du har laget. Gjør beregninger og bestem lengdene av sidene i det tilfellet der likningen har nøyaktig én løsning.
Bruk eksakte verdier.

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 2-5

Pendel og potensregresjon med fysikkformel

Pendel mellom posisjon A og B

Figuren ovenfor viser en pendel. Tiden pendelen bruker på å svinge fra posisjon B til posisjon A og tilbake til posisjon A igjen, kalles svingetiden.

Klasse 1STA har utført et forsøk i naturfag. De har målt svingetiden til pendler med ulike snorlengder.

Tabellen nedenfor viser svingetiden til pendler med åtte ulike snorlengder.

Snorlengde (meter)	\(0{,}1\)	\(0{,}3\)	\(0{,}5\)	\(0{,}8\)	\(1{,}0\)	\(1{,}3\)	\(1{,}6\)	\(2{,}0\)
Svingetid (sekund)	\(0{,}69\)	\(1{,}17\)	\(1{,}44\)	\(1{,}82\)	\(/Users/stale/Downloads/1T_V22_LK20.pdf{,}08\)	\(/Users/stale/Downloads/1T_V22_LK20.pdf{,}27\)	\(/Users/stale/Downloads/1T_V22_LK20.pdf{,}53\)	\(/Users/stale/Downloads/1T_V22_LK20.pdf{,}80\)

Oppgave

Bruk tallene i tabellen, og lag en modell på formen
\[S(x)=a\cdot x^b \]

som viser svingetiden \(S(x)\) sekunder til en pendel med snorlengde \(x\) meter.

Formelen

\[T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}} \]

kan brukes for å regne ut svingetiden \(T\) til en pendel, når vi ser bort fra friksjon og luftmotstand. \(L\) er snorlengden gitt i meter, og \(g\) er tyngdens akselerasjon. På jorden er \(g=9{,}81 \mathrm{~m/s^2}\).

Oppgave

Gjør beregninger og sammenlikn uttrykket du fant for \(S(x)\) i oppgave a) med formelen for \(T\).

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 2-6

Største areal i rektangel med omkrets 64

Gjerde rundt et rektangulært område

Per og Solveig har nok materialer til å lage et gjerde som er \(64\mathrm{~m}\) langt.
De skal gjerde inn et område som skal ha form som et rektangel, og de ønsker at området skal få størst mulig areal.

Per påstår at arealet blir størst mulig dersom alle sidekantene er like lange.

Oppgave

Vis at Per sin påstand kan være riktig, ved å lage en oversikt som viser arealet av ulike rektangler med omkrets \(64\mathrm{~m}\).

Solveig lurer på om de kan tegne en graf som viser at Per har rett. Hun prøver å sette opp et funksjonsuttrykk som hun kan bruke.

Oppgave

Sett opp funksjonsuttrykket for Solveig. Tegn grafen, og vis at Per sin påstand er riktig.

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 2-7

Gardiner som parabler kuttet fra tøyrull

En bedrift produserer gardiner. Hvert gardin skal ha form som en parabel. Høyden skal være \(70\mathrm{~cm}\). Lengden øverst skal være \(150\mathrm{~cm}\). Se figuren nedenfor.

Ett gardin: 150 cm bredt, 70 cm høyt

Bedriften vil klippe ut gardinene fra tøyruller som er \(140\mathrm{~cm}\) brede. For å bruke så lite tøy som mulig vil en maskin klippe ut gardinene slik figuren nedenfor viser.

Stoffrull med åtte gardiner klippet vekselvis

Oppgave

Gjør beregninger, og finn ut hvor langt tøystykke bedriften minst må bruke for å lage åtte gardiner.