Skriv inn søketeksten i boksen over

Select a result to preview

Vis løsningsforslag Last ned oppgaver (PDF) Last ned løsningsforslag (PDF)

1T eksamen V2022

Oversikt over eksamensoppgavene

Del 1 — 1 time — uten hjelpemidler

№ Navn Poeng LF
1-1 Andregradslikning og ulikhet med faktorisering 1T V22 — ×
1-2 Identitet med andre kvadratsetning — ×
1-3 Rettvinklet trekant med tan B og tre tester — ×
1-4 Python-program med kvadrater og while-løkke — ×
1-5 Rasjonal funksjon fra asymptoter og to uttrykk — ×
1-6 Polynomdivisjon og grafvalg for tredjegradsfunksjon — ×

Del 2 — 4 timer — med hjelpemidler

№ Navn Poeng LF
2-1 Vanntank som tappes ut — ×
2-2 Klossmønster i tre figurer — ×
2-3 Eksakt omkrets og arealforhold i firkant — ×
2-4 Temperatur i hytte med potens- og eksponentialmodell — ×
2-5 Andregradsfunksjon fra tangentstigninger — ×
2-6 Tredjegradsfunksjon med parameter b og tangenter — ×

Del 1

Oppgave 1-1

Andregradslikning og ulikhet med faktorisering 1T V22

Oppgave
  1. Løs likningen
    \[(x-2)(x+1)=0 \]

    b) Sett opp en ulikhet som har løsning \(x\in\langle\leftarrow,-1\rangle\cup\langle 2,\rightarrow\rangle\)

    Husk å begrunne svaret.

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 1-2

Identitet med andre kvadratsetning

Oppgave

Bestem \(r\) og \(s\) slik at sammenhengen nedenfor blir en identitet

\[9x^2-30x+r=(3x-s)^2 \]

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 1-3

Rettvinklet trekant med tan B og tre tester

Om en rettvinklet trekant \(ABC\) får du vite at \(\tan\angle B=\dfrac{3}{4}\).

Oppgave

  • Kan det være riktig at \(\sin\angle B=\dfrac{3}{10}\)?
  • Kan det være riktig at den ene kateten er 6 og den andre kateten er 8?
  • Kan det være riktig at hypotenusen er kortere enn 4?

Husk å begrunne alle tre svarene.

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 1-4

Python-program med kvadrater og while-løkke

def f(x):
    return x ** 2     # Definerer funksjonen f gitt ved f(x) = x ^ 2

x = 1

while f(x) <= 400:
    print(f(x))
    x = x + 1
Oppgave

Forklar hva som skjer når programmet ovenfor kjøres.

Hva blir resultatet?

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 1-5

Rasjonal funksjon fra asymptoter og to uttrykk

En rasjonal funksjon \(f\) har vertikal asymptote \(x=-2\) og horisontal asymptote \(y=3\).

Oppgave

Bestem to mulige funksjonsuttrykk for \(f\).

Husk å forklare hvordan du tenker.

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 1-6

Polynomdivisjon og grafvalg for tredjegradsfunksjon

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[f(x)=2x^3+x^2-18x-9 \]
Oppgave
  1. Vis at divisjonen \(f(x):(x-3)\) går opp.
  2. Gjør beregninger, og vurder hvilken av grafene nedenfor som kan være grafen til \(f\).

Tre kandidater A, B og C for grafen til

Fasit

Løsningsforslag

Del 2

Oppgave 2-1

Vanntank som tappes ut

En fabrikk har en vanntank. Vannet i tanken skal tappes ut.

Anta at funksjonen \(V\) gitt ved

\[V(x)=2000-2000\cdot\left(1-\frac{x}{40}\right)^2,\quad 0\le x\le 40 \]

kan brukes som en modell for hvor mange liter vann \(V(x)\) som er tappet ut av tanken \(x\) minutter etter at tappingen startet.

Oppgave
  1. Bestem \(V(0)\). Gi en praktisk tolkning av svaret.
  2. Bestem verdimengden til \(V\).
  3. Hvor lang tid vil det ta før halvparten av vannet er tappet ut av tanken?
  4. Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene \((0,V(0))\) og \((30,V(30))\). Gi en praktisk tolkning av svaret.
  5. Undersøk om det noen gang vil tappes ut mer enn 105 liter vann i løpet av ett minutt.

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 2-2

Klossmønster i tre figurer

Tre figurer satt sammen av klosser

Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små klosser. Roar vil fortsette å lage figurer etter samme mønster.

Oppgave
  1. Hvor mange klosser trenger han for å lage figur 5?
  2. Hvor mange klosser trenger han til sammen for å lage de 10 første figurene?

Roar har 10 000 klosser. Han vil starte med den minste figuren og lage én figur i hver størrelse.

Oppgave
  1. Hvor mange figurer kan han lage?

    Hvor mange klosser vil han ha igjen når han har laget figurene?

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 2-3

Eksakt omkrets og arealforhold i firkant

Firkant med vinkler , , og sider ,

Gitt firkanten \(ABCD\) ovenfor.

Oppgave
  1. Bestem et eksakt uttrykk for omkretsen av firkanten.
  2. Vis at forholdet mellom arealet av \(\triangle ABD\) og arealet av \(\triangle BCD\) er \(\dfrac{3}{2}\left(\sqrt{3}+1\right)\).

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 2-4

Temperatur i hytte med potens- og eksponentialmodell

Da Eline og Malene kom til hytta, var temperaturen i stua \(/Users/stale/Downloads/1T_V22_LK20.pdf{,}0 \mathrm{~\degree C}\). De skrudde på varmen og stilte termostaten på \(20 \mathrm{~\degree C}\). Tabell 1 viser temperaturen i stua \(x\) minutter etter at de skrudde på varmen.

Tid (minutter) 1 5 10 20 30 50 80 120
Temperatur (°C) \(/Users/stale/Downloads/1T_V22_LK20.pdf{,}0\) \(/Users/stale/Downloads/1T_V22_LK20.pdf{,}7\) \(/Users/stale/Downloads/1T_V22_LK20.pdf{,}3\) \(/Users/stale/Downloads/1T_V22_LK20.pdf{,}0\) \(10{,}2\) \(13{,}4\) \(16{,}4\) \(18{,}4\)

Tabell 1

Eline og Malene vil lage en modell som viser temperaturen i stua \(x\) minutter etter at de skrudde på varmen. De starter med å bruke tallene i tabell 1 til å lage en modell \(T_1\) på formen \(T_1(x)=a\cdot x^b\).

Oppgave
  1. Bestem tallene \(a\) og \(b\).
  2. Vurder gyldighetsområdet til modellen \(T_1\).

Eline og Malene ønsker å forbedre modellen \(T_1\). Eline foreslår at de skal trekke \(20 \mathrm{~\degree C}\) fra hver temperatur de har målt, og heller bruke en eksponentialfunksjon som modell. Hun setter opp en ny tabell.

Tid (minutter) 1 5 10 20 30 50 80 120
Korrigert temperatur (°C) \(-18{,}0\) \(-16{,}3\) \(-14{,}7\) \(-12{,}0\) \(-9{,}8\) \(-6{,}6\) \(-3{,}6\) \(-1{,}6\)

Tabell 2

Oppgave
  1. Lag en eksponentialfunksjon \(f\) som passer godt til tallene i tabell 2.
  2. Tegn grafen til \(T_1\) og grafen til \(f\) i samme koordinatsystem.

    Beskriv forskjeller mellom de to grafene.

Malene mener de kan bruke funksjonen \(f\) til å lage en bedre modell enn \(T_1\) for temperaturen i stua. «Vi løfter grafen til \(f\) opp \(20\mathrm{~\degree C}\), slik at den starter omtrent i punktet \((0,2)\)», sier hun. «Da vil den passe perfekt.»

Oppgave
  1. Bruk funksjonen \(f\), og lag en modell \(T_2\) ved å gjøre som Malene foreslår.

    Hva vil temperaturen i stua være etter 4 timer ifølge modellen \(T_2\)?

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 2-5

Andregradsfunksjon fra tangentstigninger

Grafen til en andregradsfunksjon \(f\) har

  • en tangent i punktet \((1,f(1))\) med stigningstall 0
  • en tangent i punktet \((4,f(4))\) med stigningstall 6
Oppgave
  1. Bestem \(f'(x)\).

Grafen til \(f\) skjærer \(y\)-aksen i punktet \((0,4)\).

Oppgave
  1. Bestem \(f(x)\).

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 2-6

Tredjegradsfunksjon med parameter b og tangenter

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[f(x)=x^3-2b\cdot x^2+(b^2+3)\cdot x \quad\text{der}\quad b\in\mathbb{R} \]
Oppgave
  1. Vis at \(f\) bare har ett nullpunkt uavhengig av verdien av \(b\).
  2. Løs likningen \(f'(x)=0\).

    For hvilke verdier av \(b\) har grafen til \(f\) bare ett stasjonært punkt?

Dersom \(b\neq 0\) har grafen til \(f\) to tangenter med stigningstall 3.

Oppgave
  1. Bestem likningene for disse tangentene.

Fasit

Løsningsforslag