Buss enkeltbillett eller fleksikort

Selma er på ferie og vil bruke buss for å komme seg rundt i området. Hun vurderer om hun skal kjøpe en enkeltbillett for hver reise eller et fleksikort med 20 reiser.

• Hver enkeltbillett koster 25 kroner.
• Et fleksikort med 20 reiser koster 415 kroner.

Tenk deg at Selma kjøper et fleksikort med 20 reiser og bruker alle reisene.

Fasit

a) 17
b) 17 %

Løsningsforslag

a

Siden \(25 \cdot 4=100\) så må \(25 \cdot 16 = 400\). Da må også \(25\cdot 17 =425\).

Hvis Selma kjører 16 reiser så vil hun altså betale mindre ved å kjøpe enkeltbilletter til 25 kr stk.

Hvis Selma kjører 17 reiser så lønner det seg å kjøpe fleksikort med 20 reiser.

b

Prisen for 20 enkeltreiser er \(25 \cdot 20=500\).

Hun sparer altså \(500-415=85 \mathrm{~kr}\). Det tilsvarer

Hun sparer 17 % på å kjøpe fleksikort hvis hun bruker 20 reiser.

Kart og målestokk

På et kart er avstanden mellom to byer 40 cm. I virkeligheten er avstanden 20 km.

Fasit

\(\underline{\underline{1 : 50\,000}}\)

Løsningsforslag

For å finne målestokken må vi sammenligne avstand på kartet med avstand i virkeligheten. Begge mål må ha samme enhet.

Vi gjør om 20 km til cm:

Målestokken er forholdet mellom kartavstand og virkelig avstand:

Målestokken til kartet er \(\underline{\underline{1 : 50\,000}}\).

Det betyr at 1 cm på kartet svarer til 50 000 cm = 500 m = 0,5 km i virkeligheten.

Joggeavstander med gitte sentralmål

Jonas har notert hvor mange kilometer han har jogget hver av de siste ti dagene. Han ser at typetallet er 5 km, medianen er 8 km og gjennomsnittet er 9 km.

Fasit

Mange mulige svar. Eks. alt. 1: 5, 5, 5, 7, 8, 8, 10, 12, 15, 15 | alt. 2: 3, 5, 5, 5, 6, 10, 11, 14, 15, 16

Løsningsforslag

Vi trenger en tallrekke med 10 tall der:

• typetallet er 5 (5 km forekommer flest ganger)
• medianen er 8 km (gjennomsnittet av det 5. og 6. tallet i sortert rekkefølge er 8)
• gjennomsnittet er 9 km (summen av alle tallene er \(10 \cdot 9 = 90\))

Alternativ 1 (bruker 8 km minst én gang):

• Typetall: 5 forekommer 3 ganger ✓
• Median: \(\dfrac{8+8}{2} = 8\) ✓
• Gjennomsnitt: \(\dfrac{5+5+5+7+8+8+10+12+15+15}{10} = \dfrac{90}{10} = 9\) ✓

Alternativ 2 (bruker ikke 8 km, minst halvparten nye tall):

• Typetall: 5 forekommer 3 ganger ✓
• Median: \(\dfrac{6+10}{2} = 8\) ✓
• Gjennomsnitt: \(\dfrac{3+5+5+5+6+10+11+14+15+16}{10} = \dfrac{90}{10} = 9\) ✓
• Ingen 8 km ✓
• Nye tall (ikke i alt. 1): 3, 6, 11, 14, 16 – det er 5 av 10 tall som ikke ble brukt i alternativ 1 ✓

Nullpunkter og andregradslikninger

Selma og Tobine arbeider med likningene ovenfor.

Fasit

\(\underline{\underline{x_1 = 0}}\) og \(\underline{\underline{x_2 = 1}}\)

Løsningsforslag

Kommentar til Selma

Selma har rett! Grunnen til at metoden virker, er nullproduktsregelen: hvis et produkt av to faktorer er lik null, må minst én av faktorene være lik null. Det betyr at

Fra \(x + 4 = 0\) får vi \(x_1 = -4\), og fra \(x - 1 = 0\) får vi \(x_2 = 1\). Selma regner riktig.

Kommentar til Tobine

Tobine misforstår. Nullproduktsregelen gjelder kun når høyresiden er lik null. Når høyresiden er \(-6\), kan vi ikke si at én av parentesene må være \(-6\). Det er mulig å sette opp utallige kombinasjoner av to tall som gir produktet \(-6\) (f.eks. \(2 \cdot (-3)\), \((-1) \cdot 6\), osv.), og det gir ikke en enkel metode.

Vi kan sjekke at Tobines svar er feil: setter vi inn \(x = -8\):

Løsning av \((x+2)(x-3) = -6\)

Vi må flytte \(-6\) over til venstre side slik at høyresiden blir null, og deretter multiplisere ut:

Vi multipliserer ut venstre side:

Vi setter \(x\) utenfor parentes (faktoriserer):

Nå kan vi bruke nullproduktsregelen:

\(\underline{\underline{x_1 = 0}}\) og \(\underline{\underline{x_2 = 1}}\)

Vase og roser likningssystem

Fasit

En vase koster 225 kr, en rose koster 12 kr.

Løsningsforslag

Vi leser av bildet og setter opp to likninger. La \(v\) være prisen for en vase og \(r\) prisen for en rose.

Fra bilde 1 og 2:

Fra likning II deler vi på 2:

Vi trekker denne fra likning I:

Setter inn i \(v + r = 237\):

Kontroll med bilde 3: \(3 \cdot 225 + 6 \cdot 12 = 675 + 72 = 747\) ✓

En vase koster \(\underline{\underline{225 \, \mathrm{kr}}}\) og en rose koster \(\underline{\underline{12 \, \mathrm{kr}}}\).

Prisindeks for sjokoladepålegg

Tabellen viser prisindeksen for sjokoladepålegg i perioden 2015–2022.

Prisen for ett bestemt merke sjokoladepålegg steg fra 35,90 kroner i 2019 til 39,90 kroner i 2022.

Fasit

Prisen på sjokoladepålegget steg med ca. \(11{,}1 \,\%\), mens prisindeksen steg med ca. \(19{,}9 \,\%\). Prisen steg mindre enn prisindeksen.

Løsningsforslag

Vi regner ut prosentvis endring i prisindeksen fra 2019 til 2022:

Deretter regner vi ut den faktiske prosentvise prisendringen for sjokoladepålegget:

Siden \(\textcolor{tomato}{11{,}1 \,\%} < \textcolor{steelblue}{19{,}9 \,\%}\), steg prisen på dette sjokoladepålegget mindre enn prisindeksen for sjokoladepålegg fra 2019 til 2022.

Målskårere i Eliteserien 2022

Nedenfor ser du de 11 fotballspillerne skåret flest mål i Eliteserien 2022.

For de 11 fotballspillerne som skåret flest mål i sesongen 2021, var medianen 11, gjennomsnittet 14,5 og standardavviket 6,7.

Fasit

a) Typetall: 15, variasjonsbredde: 14, median: 14
b) Gjennomsnitt: ≈ 14,5, standardavvik: ≈ 3,7
c) Gjennomsnittet er likt (≈ 14,5), men medianen er høyere i 2022 (14 mot 11) og standardavviket er lavere (3,7 mot 6,7) – scoringene er mer jevnt fordelt i 2022.

Løsningsforslag

a

Datamaterialet sortert: \(11, 11, 12, 12, 13, \mathbf{14}, 15, 15, 15, 16, 25\)

• Typetall: \(\underline{\underline{15}}\) (forekommer 3 ganger)
• Variasjonsbredde: \(25 - 11 = \underline{\underline{14}}\)
• Median: Det 6. tallet i sortert rekkefølge (11 tall) er \(\underline{\underline{14}}\)

b

Vi beregner i GeoGebra med listen \(\{11, 11, 12, 12, 13, 14, 15, 15, 15, 16, 25\}\).

Standardavvik (beregnet med GeoGebra): \(\underline{\underline{\sigma \approx 3{,}7}}\)

c

I 2021 var medianen 11, gjennomsnittet 14,5 og standardavviket 6,7. Vi kan se følgende:

• Gjennomsnittet er nesten likt i begge sesongene (≈ 14,5). De 11 beste spillerne scoret like mange mål totalt sett.
• Medianen er høyere i 2022 (14 mot 11). I 2022 scoret minst 6 av de 11 spillerne 14 mål eller mer, mens i 2021 scoret minst 6 spillere 11 mål eller mer. Den typiske topp-11-spilleren scoret altså mer i 2022.
• Standardavviket er lavere i 2022 (3,7 mot 6,7). Scoringene er mer jevnt fordelt i 2022 – ingen enkeltspiller dominerer like mye. I 2021 var det større forskjell mellom toppen og resten.

Boliglån månedlige terminer

Adam har tatt opp et lån på 2 500 000 kroner for å kjøpe bolig.

Han skal betale tilbake lånet i månedlige terminer. Renten er 0,33 % per måned. I tillegg må han betale et gebyr på 50 kroner per termin. Terminbeløpet skal være 13 385 kroner.

Fasit

Se tabell. Lånet er \(\approx 2\,373\,215 \, \mathrm{kr}\) etter 24 måneder.

Løsningsforslag

Hver måned beregner vi:

• Renter = restlån \(\cdot\) 0,0033
• Avdrag = terminbeløp \(-\) gebyr \(-\) renter = \(13\,385 - 50 -\) renter
• Nytt restlån = gammelt restlån \(-\) avdrag

Vi setter dette opp i et regneark:

Vi ser at avdragene øker litt for hver måned (fordi rentene minker), og etter to år er restlånet \(\underline{\underline{\approx 2\,373\,215 \, \mathrm{kr}}}\).

Trekant med to løsninger

Læreren har bedt elevene tegne en trekant \(ABC\) slik at \(\angle B = 30\degree\), \(BC = 8 \mathrm{~cm}\) og \(AC = 6 \mathrm{~cm}\).

Trym og Torgeir mener begge at de har tegnet en trekant som er slik læreren har sagt den skal være, men de ser at trekantene de har tegnet, ikke er like.

Fasit

Ja, begge kan ha tegnet riktig. Det finnes to ulike trekanter som oppfyller kravene.

Løsningsforslag

Vi konstruerer trekanten steg for steg:

1. Tegn linjestykket \(BC = 8 \text{~cm}\)
2. Fra \(B\), tegn en stråle som danner en vinkel på \(30\degree\) med \(BC\). Punkt \(A\) må ligge et sted på denne strålen.
3. Siden \(AC = 6 \text{~cm}\), tegner vi en sirkel med sentrum i \(C\) og radius \(6 \text{~cm}\). Punkt \(A\) må ligge på denne sirkelen.
4. Punkt \(A\) er der strålen og sirkelen krysser hverandre.

Strålen fra \(B\) krysser sirkelen i to punkter, \(A_1\) og \(A_2\). Det gir to ulike trekanter:

Begge trekantene har \(\angle B = 30\degree\), \(BC = 8 \text{~cm}\) og \(AC = 6 \text{~cm}\).

Ja, begge elevene kan ha tegnet riktig. Det finnes to forskjellige trekanter som oppfyller kravene.

Helsefagarbeidere presentasjon av data

Nedenfor ser du en tabell som viser antall helsefagarbeidere i Norge i perioden 2015–2022, fordelt på kjønn.

Fasit

Menn økte 228 %, kvinner 131 %, totalt 142 %. Andel menn økte fra 11,3 % til 15,3 %.

Løsningsforslag

Nedenfor presenteres datamaterialet med beregninger og to diagrammer.

Beregninger:

• Andelen menn økte fra \(\dfrac{2\,232}{19\,725} \approx 11{,}3 \,\%\) i 2015 til \(\dfrac{7\,317}{47\,789} \approx 15{,}3 \,\%\) i 2022.

Kommentarer til diagrammene:

• Linjediagrammet viser at antallet helsefagarbeidere økte kraftig for begge kjønn i perioden 2015–2022, og at veksten var sterkere for menn (228 %) enn for kvinner (131 %).
• Det stablede søylediagrammet viser at andelen menn har økt fra ca. 11 % til ca. 15 %. Yrket er fortsatt sterkt dominert av kvinner, men stadig flere menn velger dette yrket.

Kvadratserie geometrisk rekke

Tenk deg at du skal tegne en serie med kvadrater der

• sidekantene i det største kvadratet er 10 cm
• sidekantene i det neste kvadratet alltid er 10 % kortere enn sidekantene i det forrige du tegnet

Tenk deg at du har veldig mange kvadrater i serien.

Tenk deg at du lager nye serier med kvadrater. Du endrer størrelsen på det største kvadratet i hver serie og lar alltid sidekantene i det neste kvadratet i serien være 10 % kortere enn sidekantene i det forrige du tegnet.

Ole påstår at \(T = \dfrac{4 \cdot s}{p} \cdot 100\) er en formel for å regne ut den samlede omkretsen \(T\) av kvadratene i en serie når sidekanten i det største kvadratet er \(s\) og sidekantene i det neste kvadratet er \(p\) % kortere enn sidekantene i det forrige.

Fasit

a) Samlet omkrets \(= 40 + 36 + 32{,}4 = \underline{\underline{108{,}4 \, \mathrm{cm}}}\)
b) \(\underline{\underline{T = 400 \, \mathrm{cm}}}\)
c) Sammenhengen er lineær: \(T = 40 \cdot s\)
d) Oles formel stemmer.

Løsningsforslag

a

Sidekantene i de tre første kvadratene er

Omkretsene er

Samlet:

b

Omkretsene danner en geometrisk rekke med første ledd \(a_1 = 40\) og kvotient \(k = 0{,}9\).
Siden \(|k| < 1\) konvergerer rekken, og summen av uendelig mange ledd er

Program (Python):

s = 10       # sidekant første kvadrat
k = 0.9      # kvotient
total = 0
while s > 0.0001:
    total += 4 * s
    s = s * k
print(total)  # → 400.0

c

Vi lager nye serier der vi bare endrer størrelsen \(s\) på det største kvadratet, men beholder at hvert neste kvadrat er \(10 \,\%\) kortere. For en serie med største sidekant \(s\) er første omkretsled \(a_1 = 4s\) og kvotienten fortsatt \(k = 0{,}9\).

Samlet omkrets:

Sammenhengen er altså lineær: den samlede omkretsen er 40 ganger sidekanten i det største kvadratet.

Grafen (se T(s) = 40s i utklippet) bekrefter at sammenhengen er en rett linje gjennom origo. For \(s = 10\) er \(T = 400\), markert som punkt \(A = (10, 400)\).

d

For en serie der sidekantene reduseres med \(p \,\%\) for hvert ledd, er kvotienten

Første ledd er \(a_1 = 4s\), og sumformelen gir

Dette er nøyaktig Oles formel \(T = \dfrac{4 \cdot s}{p} \cdot 100\). Formelen stemmer.

Vi kan sjekke med \(s = 10\) og \(p = 10\):

Dette stemmer med svaret fra b).

Klimagassutslipp eksponentiell vekst

• I 1990 var Norges klimagassutslipp på 51,3 millioner tonn CO₂-ekvivalenter.
• I 2022 var Norges klimagassutslipp på 48,9 millioner tonn CO₂-ekvivalenter.

Norske myndigheter har satt som mål at klimagassutslippet skal reduseres med 55 % innen 2030, sammenliknet med hva utslippet var i 1990.

Arne ser for seg at utslippet reduseres med en fast prosent hvert år. Han ønsker å lage en modell som viser hvor mange prosent den årlige reduksjonen må være for å nå målet i 2030.

Norge har som mål å bli et lavutslippssamfunn innen 2050. Da må klimagassutslippet reduseres med 90–95 % sammenliknet med utslippet i 1990.

Fasit

a) \(U(x) = 48{,}9 \cdot 0{,}9104^x\), der nedgangen er ca. \(\underline{\underline{8{,}96 \,\%}}\) per år.
b) Modellen gir \(U(28) \approx \underline{\underline{3{,}53}}\) mill. tonn i 2050, som tilsvarer ca. 93 % reduksjon fra 1990-nivå — innenfor målet på 90–95 %.

Løsningsforslag

a

Utslippet i 2022 er startverdi: \(48{,}9\) millioner tonn CO₂-ekvivalenter.

Vi setter opp en eksponentialfunksjon der \(x\) er antall år etter 2022:

Klimamålet for 2030 er 55 % reduksjon fra 1990-nivå:

I 2030 er \(x = 2030 - 2022 = 8\). Vi setter opp likningen:

Den prosentvise nedgangen per år er:

Modellen er:

der \(x\) er antall år etter 2022.

b

Vi bruker GeoGebra til å tegne modellen og legger inn målene for 2050.

Vi leser av grafen (se P2050) at modellen gir

Målet for 2050 er 90–95 % reduksjon fra 1990-nivå:

Modellverdien \(3{,}53\) mill. tonn ligger mellom de to målinjene (de to grønne linjene i grafen), som betyr at den er innenfor intervallet 90–95 % reduksjon.

Modellen viser at hvis utslippet reduseres med ca. \(8{,}96 \,\%\) hvert år fra 2022, vil utslippet i 2050 være ca. \(3{,}53\) millioner tonn — det er en reduksjon på ca. 93 % fra 1990-nivå, og dermed innenfor lavutslippsmålet på 90–95 %.