Gjennomsnitt og median sosiale medier

Nedenfor ser du hvor mange timer 10 ungdommer brukte på sosiale medier i løpet av en dag.

Fasit

Gjennomsnitt: \(\underline{\underline{4 \text{ timer}}}\)

Median: \(\underline{\underline{3{,}5 \text{ timer}}}\)

Løsningsforslag

Gjennomsnitt

Vi legger sammen alle verdiene og deler på antall:

Median

Vi sorterer verdiene i stigende rekkefølge:

Det er 10 verdier (et partall), så medianen er gjennomsnittet av den 5. og 6. verdien:

Konsumprisindeks vare 2015–2023

Tabellen nedenfor viser konsumprisindeksen (KPI) for 2015 og 2023.

Fasit

\(\underline{\underline{648 \, \mathrm{kr}}}\)

Løsningsforslag

Vi bruker konsumprisindeksen til å finne hva varen kostet i 2023.

Når KPI øker fra \(100\) til \(129{,}6\), betyr det at prisnivået har økt med faktoren

Vi multipliserer den gamle prisen med denne faktoren:

Varen kostet \(\underline{\underline{648 \, \mathrm{kr}}}\) i 2023.

Kartmålestokk Oslo

Astrid har funnet et gammelt kart over Oslo. Hun vil finne målestokken til kartet.

Hun bestemmer seg for å gå 300 meter langs en av de rette gatene i byen. Etterpå måler hun og finner ut at den avstanden hun har gått, tilsvarer 2 cm på kartet.

Fasit

1:15000

Løsningsforslag

Hvis \(2 \mathrm{~cm}\) på kartet tilsvarer 300 meter så må 1 cm tilsvare 150 meter eller 15 000 cm. Da er målestokken 1 : 15 000.

Ispinner og mineralvann likningssystem

Elevene i 2STA kjøpte 30 ispinner og 30 bokser med mineralvann til en sommeravslutning. Til sammen betalte de 900 kroner. En boks med mineralvann kostet 6 kroner mer enn en ispinne.

Fasit

Is: 12 kr
Mineralvann: 18 kr

Løsningsforslag

Det er lurt å løse dette som et likningssystem. La \(i\) være antall ispinner og \(m\) være antall bokser mineralvann. Da er

Vi har to likninger med 2 ukjente. Det ser enkelt ut å bruke innsettingsmetoden med \(m=i+6\) i den andre likningen.

En ispinne kostet 12 kroner og en boks mineralvann kostet 18 kroner.

Prosentvis prisreduksjon bagetter

Nora skal kjøpe bagetter.

Fasit

25 % lavere

Løsningsforslag

• 32 kroner for 2 bagetter betyr at hver bagett koster 16 kroner.
• 48 kroner for 4 bagetter betyr at hver bagett koster 12 kroner.

For å regne den prosentvise forskjellen kan vi sammenligne differansen mellom de to tilbudene og den dyreste prisen.

Prisen per bagett blir 25 % lavere dersom hun kjøper 4 istedenfor 2 bagetter.

Instagram-følgere eksponentiell vekst

Tuva har en profil på Instagram. Tabellen nedenfor viser hvor mange følgere hun har hatt de siste seks månedene.

Tuva har laget en modell som viser at antallet følgere har økt med ca. 35 % hver måned i perioden november 2023–april 2024.

For å få antall følgere til å øke raskere vil Tuva gjøre noen endringer i innholdet hun legger ut. Hun har som mål at økningen i antall følgere ikke skal fortsette å være på 35 % etter april 2024, men øke med 5 prosentpoeng hver måned.

Fasit

a) \(f(x) = 5244 \cdot 1{,}35^x\)
c) 43,6 % flere følgere

Løsningsforslag

a

Vi lar \(x\) være antall måneder etter november og bruker regresjon i GeoGebra. Siden modellen skal stige med 35 % per måned bør vi velge eksponentiell modell, siden disse vokser med en fast prosent.

Modellen \(f(x)=5244 \cdot 1{,}35^{x}\) er en modell som vokser med 35 % per måned, og som kan være modellen Tuva har brukt.

b

Tuva har 24 008 følgere i april. Hvis økningen i mai skal være 35 % + 5 prosentpoeng så har hun \(24008 \cdot 1{,}40=33 \,611\) følgere i mai.

I juni øker økningen med enda 5 prosentpoeng til 45 %. Antall følgere i juni vil derfor være \(33 \,611 \cdot 1{,}45=48\, 736\).

c

Vi kan bruke modellen \(f(x)=5244 \cdot 1{,}35^{x}\) til å beregne hvor mange følgere hun har i august med 35 % økning. August tilsvarer \(x=9\)

Dersom Tuva klarer å holde målet sitt med 5 prosentpoeng økning vil hun i juli ha
\(48 \, 736 \cdot 1{,}50=73 \, 104\) følgere, og i august \(73 \, 104 \cdot 1{,}55=113 \, 311\) følgere.

Vi finner den prosentvise forskjellen

Tuva vil ha 45,1 % flere følgere i august om hun klarer å nå det nye målet sitt.

Skiturstatistikk Solveig og Miriam

Nedenfor ser du hvor mange timer Solveig brukte på hver av de 20 skiturene hun gikk vinteren 2024.

Solveigs venninne, Miriam, gikk også 20 skiturer vinteren 2024. I gjennomsnitt brukte Miriam 4,7 timer per tur. Medianen var 4, og standardavviket hennes for antall timer per tur var 4,2.

Solveig og Miriam gikk noen av skiturene sammen. Tabellen nedenfor viser den kumulative frekvensen for antallet timer disse skiturene varte.

Fasit

b) 3 turer på 5 timer; Solveig gikk 1 tur på 8 timer alene

Løsningsforslag

a

Jeg beregnet gjennomsnittet og standardavviket til turene til Solveig ved å bruke formlene =gjennomsnitt() og =stdav.p() i Excel. Jeg oppsummerer opplysningene om gjennomsnitt og standardavvik til venninnene i tabellen

Solveig har omtrent 2,5 timer høyere gjennomsnitt enn Miriam. Solveig går derfor oftere turer som er veldig lange (hun har et gjennomsnitt på over 7 timer). Gjennomsnittet og medianen til Solveig er ganske like, det tyder på at det er få ekstreme verdier i datamaterialet.

Solveig har et mye lavere standardavvik enn Miriam, nesten 2 timer eller kun\(\frac{4{,}2-2{,}45}{4{,}2}=41{,}7 \,\%\) av Miriams standardavvik. Det er derfor mye større variasjon lengdene på turene til Miriam. Sannsynligvis har hun gått noen veldig lange turer siden standardavviket er nesten like høyt som gjennomsnittet.

b

Den kumulative frekvensen for turer på 5 timer er 14, og den kumulative frekvensen for turer på 3 timer er 11. De har ikke gått noen turer sammen på 4 timer.

Siden kumulativ frekvens er summen av alle frekvenser for observasjoner som er mindre eller lik den aktuelle observasjonen, kan vi finne frekvensen for antall turer på 5 timer slik:

Ifølge datamaterialet i starten av oppgaven har Solveig gått 4 turer på 8 timer. Ifølge de kumulative frekvensene i tabellen har de to venninnene vært på \(17-14=3\) turer sammen på 8 timer. Solveig har altså gått en skitur på 8 timer alene, og 3 sammen med Miriam.

Tid brukt på lekser histogram

Oda har undersøkt hvor mange minutter elevene ved skolen brukte på lekser en ettermiddag i mai, og laget histogrammet nedenfor.

Bruk opplysningene du kan lese ut av histogrammet, gjør beregninger, og argumenter for at hver av de fire påstandene nedenfor kan være riktig.

Fasit

Alle fire påstandene stemmer

Løsningsforslag

Påstand 1

Den første søylen i histogrammet har høyde 2 og bredde 40, altså er frekvensen \(2 \cdot 40=80\). Derfor stemmer det at 80 elever brukte 40 minutter eller mindre på lekser.

Påstand 2

Søylen mellom 100 og 150 minutter har høyde 2, altså er frekvensen \(2 \cdot 50 = 100\). For å bestemme den relative frekvensen finner jeg først det totale antall elever ved å finne arealet til de siste to søylene: \(6 \cdot 20=120\) og \(5 \cdot 40=200\). Det er altså \(80+120+200+100=500\) elever på skolen og den relative frekvensen for 100 til 150 minutter blir \(\frac{100}{500}=\frac{1}{5}\).

Påstand 3

Det er 80 elever som vi kan regne med at har brukt 20 minutter i gjennomsnitt (siden 20 ligger midt i intervallet \([0,40\rangle\)). Det er 120 elever som i gjennomsnitt har brukt 50 minutter. Til sammen har disse elevene brukt

Hvis vi fordeler tiden på de 200 elevene får vi gjennomsnittet

Påstand 4

Medianeleven blant de som brukte under 60 minutter er omtrent elev nummer 100. Siden det er 80 elever i det første intervallet, så må vår medianelev være elev nummer 20 av 120 i det andre intervallet. Med andre ord finner vi medianen vår \(\frac{20}{120}=\frac{1}{6}\) ut i intervallet. For å finne ut hvor mange minutter dette tilsvarer så kan jeg ta bredden av intervallet og gange med \(\frac{1}{6}\)

Medianen vil være 3,33 minutter over bunnen av intervallet vårt, altså ved \(40+3{,}33=43{,}33\) minutter. Medianen 43,33 minutter er altså høyere enn gjennomsnittet på 38 minutter.

Programmering likningssystem Sara og Ole

Sara og Ole jobber med å løse likningssystemer.

For å prøve å løse likningssystemet

har Sara laget programmet nedenfor.

12345678910def f(x):
    return 4 * x + 12

def g(x):
    return -2 * x ** 2 + 2 * x + 24

for x in range(-5, 5):

    if f(x) == g(x):
        print("Jeg har funnet løsningen x =", x ,"og y =", f(x))

Jeg har funnet løsningen x = -3 og y = 0
Jeg har funnet løsningen x = 2 og y = 20

Ole arbeider med likningssystemet

Fasit

a) Sara omformer likningene til \(y = f(x)\) og \(y = g(x)\) og sjekker for hvilke heltalls-\(x\) det gjelder at \(f(x) = g(x)\).
b) Endre f(x) til 2 * x + 8, g(x) til x ** 2 + x - 48, og utvide range til f.eks. range(-10, 10). Løsningene er \((-7, -6)\) og \((8, 24)\).

Løsningsforslag

a

Sara skriver om begge likningene slik at \(y\) står alene:

• \(4x = -12 + y \implies y = 4x + 12\) — dette er f(x) i programmet
• \(2x + 24 - y = 2x^2 \implies y = -2x^2 + 2x + 24\) — dette er g(x) i programmet

Strategien er at der grafene til \(f\) og \(g\) krysser hverandre, er \(f(x) = g(x)\), og \(x\)- og \(y\)-verdien gir løsningen av likningssystemet.

Programmet tester alle heltallsverdier av \(x\) fra \(-5\) til \(4\) og sjekker om \(f(x) = g(x)\). Når det stemmer, skrives løsningen ut.

b

Ole må gjøre følgende endringer:

1. Endre f(x) til sin første likning løst for \(y\):
   \(2x = y - 8 \implies y = 2x + 8\), altså return 2 * x + 8

2. Endre g(x) til sin andre likning:
   \(y = x^2 + x - 48\), altså return x ** 2 + x - 48

3. Utvide range slik at løsningene fanges opp, for eksempel range(-10, 10)

Det endrede programmet:

12345678910def f(x):
    return 2 * x + 8

def g(x):
    return x ** 2 + x - 48

for x in range(-10, 10):

    if f(x) == g(x):
        print("Jeg har funnet løsningen x =", x ,"og y =", f(x))

Jeg har funnet løsningen x = -7 og y = -6
Jeg har funnet løsningen x = 8 og y = 24

Løsningene er \((x, y) = (-7, -6)\) og \((x, y) = (8, 24)\).

Klatrevegg rettavkortet kjegle

Henrik og Hanne arbeider i et byggefirma. Byggefirmaet har fått i oppdrag å lage en klatrevegg til en skolegård. Klatreveggen skal ha form som en rettavkortet kjegle slik at elevene kan klatre opp til en plattform på toppen. Firmaet vurderer å støpe klatreveggen i betong. Se skissen nedenfor.

Skolen har to krav når det gjelder utforming av klatreveggen.

• Klatreveggen må få plass på et kvadratisk område med areal \(20 \mathrm{~m^2}\).
• Plattformen på toppen må ikke være mer enn \(2{,}5 \mathrm{~m}\) over bakken, og den skal ha et areal på \(10 \mathrm{~m^2}\).

Hanne og Henrik skal lage et forslag til hvordan klatreveggen kan utformes, og beregne hvor mye betong som vil gå med for å lage den.

Fasit

a) Grunnradius \(R = \sqrt{5} \approx 2{,}24 \, \mathrm{m}\), toppradius \(r = \sqrt{\frac{10}{\pi}} \approx 1{,}78 \, \mathrm{m}\), høyde \(h = 2{,}5 \, \mathrm{m}\)
b) \(\underline{\underline{V \approx 31{,}87 \, \mathrm{m^3}}}\)

Løsningsforslag

a

Henrik påpeker at klatreveggen må få plass på et kvadratisk område med areal \(20 \, \mathrm{m^2}\). Arealet av kvadratet er

som gir sidelengde \(s = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47 \, \mathrm{m}\).

Den størst mulige sirkelgrunnflaten som passer inni kvadratet er den innskrevne sirkelen med diameter lik kvadratets side. Da er grunnradiusen

Plattformen på toppen skal ha areal \(10 \, \mathrm{m^2}\), altså

For å oppfylle kravet om at plattformen ikke er mer enn \(2{,}5 \, \mathrm{m}\) over bakken, setter vi høyden til det maksimale

Skisse av klatreveggen (sett fra siden):

        ←2r≈3,56 m→
        ___________
       /           \    ↑
      /             \   | h = 2,5 m
     /               \  ↓
    /_________________\
    ←— 2R ≈ 4,47 m —→

Klatreveggen er en rettavkortet kjegle med \(\textcolor{seagreen}{R = \sqrt{5} \approx 2{,}24 \, \mathrm{m}}\), \(\textcolor{steelblue}{r = \sqrt{\frac{10}{\pi}} \approx 1{,}78 \, \mathrm{m}}\) og \(h = 2{,}5 \, \mathrm{m}\).

b

Hanne foreslår å beregne volumet ved å ta en hel kjegle og trekke fra toppkjeglen som kuttes av.

Siden den rettavkortede kjeglen og den helhetlige kjeglen har samme halvvinkel, er forholdet mellom toppradius og grunnradius det samme som forholdet mellom høydene:

der \(H\) er høyden til den hele kjeglen. Vi løser for \(H\):

Vi regner ut forholdet

og den hele kjeglens høyde

Høyden til toppkjeglen (den som kuttes av) er

Volumet av den hele kjeglen er

Volumet av toppkjeglen som fjernes er

Volumet av klatreveggen (den rettavkortede kjeglen) er

Man kan også bruke formelen for rettavkortet kjegle direkte:

Det vil gå med omtrent \(\underline{\underline{31{,}87 \, \mathrm{m^3}}}\) betong for å lage klatreveggen.

Leilighet og annuitetslån Johannes

Johannes vil kjøpe en leilighet som koster 2 000 000 kroner.

Han har sjekket bankens nettsider og brukt en lånekalkulator for å finne ut hvor mye han må betale dersom han tar opp lån for å kjøpe leiligheten.

Johannes lurer på hvordan han kan finne ut hvor mye en rente på \(5{,}49 \,\%\) per år tilsvarer per måned. Han finner teksten nedenfor på kredittguiden.no

Johannes skal betale første terminbeløp etter én måned.

Johannes vil bruke SIFO sitt referansebudsjett for å få bedre oversikt over økonomien sin.

I tillegg til utgiftene som er representert i dette budsjettet, bruker Johannes 1600 kroner per måned til nedbetaling av studielån og 2000 kroner per måned til ulike forsikringer.

Johannes har en brutto månedslønn på 52 000 kroner. Han betaler 1,2 % av brutto månedslønn i fagforeningskontingent og 2 % til pensjonssparing. Han har et skattetrekk på 32 %.

Fasit

a) Terminbeløpet er det samme hver måned (10 495 kr) – dette kjennetegner et annuitetslån. Maksimalt lånebeløp er 85 % av 2 000 000 kr = 1 700 000 kr (krav om minst 15 % egenkapital).
b) Månedlig rente: \(\underline{\underline{r \approx 0{,}4464 \,\%}}\) per måned.
c) Omtrent \(\underline{\underline{73{,}7 \,\%}}\) renter (\(\approx 7 590 \, \mathrm{kr}\)) og \(\approx 26{,}3 \,\%\) avdrag (\(\approx 2 705 \, \mathrm{kr}\)).
d) Johannes har råd – han sitter igjen med \(\approx \underline{\underline{7 500 \, \mathrm{kr}}}\) per måned etter alle utgifter. Selv ved renteøkning på 3 prosentpoeng (stresstest) er det et overskudd på \(\approx 4 500 \, \mathrm{kr}\) per måned.

Løsningsforslag

a

Et annuitetslån kjennetegnes ved at terminbeløpet er det samme hver gang. I lånekalkulatoren vises månedskostnaden som 10 495 kr hele nedbetalingstiden – dette er et fast beløp uavhengig av termin, noe som er karakteristisk for annuitetslån.

Maksimalt lånebeløp begrenses av kravet om minst 15 % egenkapital:

Johannes kan dermed ikke låne mer enn 1 700 000 kr.

b

Forklaring av eksempelet:

Regnestykket \((1+0{,}015)^{12} = 1{,}1956\) viser at dersom man betaler 1,5 % rente per måned, vil en krone vokse til 1,1956 kroner i løpet av 12 måneder. Det tilsvarer en årsrente på 19,56 %, siden \(1{,}1956 - 1 = 0{,}1956 = 19{,}56 \,\%\).

Månedlig rente for 5,49 % p.a.:

Vi setter opp likningen der \(r\) er den ukjente månedlige renten:

Vi løser for \(r\):

En årsrente på \(5{,}49 \,\%\) tilsvarer omtrent \(\underline{\underline{0{,}4464 \,\%}}\) per måned.

c

Fra lånekalkulatoren er terminbeløpet 10 495 kr per måned.

Renter i første termin beregnes av hele restlånet (1 700 000 kr):

Avdrag i første termin er differansen mellom terminbeløpet og rentene:

Andel renter:

Andel avdrag:

Omtrent \(\underline{\underline{72 \,\%}}\) av terminbeløpet går til renter og omtrent \(\underline{\underline{28 \,\%}}\) går til avdrag i første termin.

Grafen nedenfor viser hvordan restlånet minker over de 25 årene. I starten betales det meste i renter, og avdragene øker gradvis:

Nedbetalingsplanen er beregnet med regneark (se vedlegg). De første terminen ser slik ut:

d

Beregning av netto månedslønn:

Beregning av månedlige utgifter:

Overskudd per måned:

Stresstest – rente øker med 3 prosentpoeng (til 8,49 %):

Ny månedlig rente: \((1{,}0849)^{\frac{1}{12}} - 1 \approx 0{,}6806 \,\%\)

Nytt terminbeløp med 8,49 % rente og 25 år:

Nye totale utgifter: \(26\,388 - 10\,495 + 13\,320 = 29\,213 \, \mathrm{kr}\)

Overskudd ved stresstest: \(33\,696 - 29\,213 = 4\,483 \, \mathrm{kr}\)

Vurdering: Johannes har råd til å kjøpe leiligheten. Han oppfyller egenkapitalkravet på 15 % (han trenger 300 000 kr i egenkapital). Med normal rente sitter han igjen med omtrent 7 300 kr per måned etter alle faste utgifter. Selv om renten øker med 3 prosentpoeng (stresstesten), har han fortsatt et positivt overskudd på omtrent 4 500 kr per måned. Johannes klarer dermed begge kravene som er nødvendige for å få boliglån.