Brune egg fra bonden 2P-Y V26

En bonde leverer \(5200\) egg til et pakkeri. \(20 \, \%\) av eggene er brune.

Fasit

\(\underline{\underline{1040 \text{ brune egg}}}\)

Løsningsforslag

Vi skal finne \(20 \,\%\) av \(5200\).

\(20 \,\%\) betyr \(\frac{20}{100} = 0{,}20\).

Det er \(\underline{\underline{1040}}\) brune egg.

Det vil si at omtrent hvert femte egg bonden leverer, er brunt.

Sentralmål og relativ frekvens for togvogner 2P-Y V26

En dag registrerer Anita hvor mange vogner det er på togene som passerer der hun bor. Resultatene ser du nedenfor.

Fasit

a) Median \(= 5{,}5\) vogner, gjennomsnitt \(= 8{,}3\) vogner, variasjonsbredde \(= 29\) vogner, typetall \(= 6\) vogner
b) Relativ frekvens \(= 0{,}30 = 30\,\%\)

Løsningsforslag

a

Vi sorterer datamaterialet:

Det er \(n = 10\) observasjoner (partall). Medianen er gjennomsnittet av de to midterste verdiene, det vil si den 5. og den 6. verdien.

Gjennomsnittet finner vi ved å summere alle verdiene og dele på antallet:

Variasjonsbredden er differansen mellom den største og minste verdien:

Typetallet er den verdien som forekommer flest ganger. Verdien \(6\) forekommer \(3\) ganger, og er den hyppigste.

b

Verdien \(6\) forekommer \(3\) ganger av totalt \(10\) observasjoner. Den relative frekvensen er:

Praktisk tolkning: \(30\,\%\) av togene Anita registrerte hadde \(6\) vogner.

Vekstfaktor og prosentvis endring i tabell 2P-Y V26

Fasit

Løsningsforslag

Sammenhengen mellom vekstfaktor og prosentvis endring er:

Pris ned og opp med 20 prosent 2P-Y V26

Prisen for en vare settes ned med \(20 \, \%\). Litt senere settes prisen opp igjen med \(20 \, \%\).

Fasit

Varen koster mindre enn før — \(4 \,\%\) mindre.

Løsningsforslag

Vi tester med et eksempel: la oss si at en vare koster 100 kr og blir først satt ned 20 % og deretter opp 20 %.

• Etter den første prisreduksjonen koster varen 80 kr.
• Når vi skal legge på 20 % så må vi finne 20 % av 80 kr.
  • \(0{,}20 \cdot 80 \mathrm{~kr}=16 \mathrm{~kr}\)
• Prisen etter 20 % økning blir \(80 \mathrm{~kr} + 16\mathrm{~kr}=96 \mathrm{~kr}\)
• 96 kr er 4 % mindre enn 100 kr.

Varen koster 4 % mindre enn før prisendringene, siden vi regner 20 % ut fra to ulike priser (100 kr og 80 kr).

Tolke uttrykk for tre prisendringer 2P-Y V26

Prisen for en vare har endret seg tre ganger i løpet av det siste året. Uttrykket nedenfor viser prisen for varen før prisendringene.

Fasit

\(40\,000\) kr er prisen etter alle tre endringene. Varen ble først økt med \(5\,\%\) (vekstfaktor \(1{,}05\)), deretter satt ned med \(15\,\%\) to ganger (vekstfaktor \(0{,}85\) to ganger). Prisen før endringene var omtrent \(\mathbf{52\,727} \, \mathrm{kr}\).

Løsningsforslag

Vi leser uttrykket del for del:

Telleren \(40\,000\) er prisen på varen etter at alle tre prisendringene har skjedd, altså den nye prisen på \(40\,000 \, \mathrm{kr}\).

Vekstfaktoren \(1{,}05\) tilsvarer en økning på \(5\,\%\). Varen ble altså økt med \(5\,\%\) én gang.

Vekstfaktoren \(0{,}85\) tilsvarer en nedgang på \(15\,\%\), siden \(1 - 0{,}15 = 0{,}85\). Eksponenten \(2\) betyr at denne nedgangen skjedde to ganger.

Til sammen har varen altså gjennomgått tre prisendringer: én økning på \(5\,\%\) og to nedganger på \(15\,\%\).

Renteendring i prosentpoeng og prosent 2P-Y V26

En bank har i løpet av et år satt ned renten på boliglån fra \(6 \, \%\) til \(5{,}46 \, \%\).

Fasit

a) \(\underline{\underline{0{,}54 \text{ prosentpoeng}}}\)
b) \(\underline{\underline{9 \,\%}}\)

Løsningsforslag

a

Prosentpoeng er selve differansen mellom to prosenter — vi trekker rett og slett den ene prosenten fra den andre.

Renten er satt ned med \(\underline{\underline{0{,}54}}\) prosentpoeng.

b

Prosentvis endring forteller oss hvor stor nedgangen er sammenlignet med den opprinnelige renten. Vi deler nedgangen (i prosentpoeng) på den opprinnelige renten.

Renten er satt ned med \(\underline{\underline{9 \,\%}}\).

Multiplikasjon av store og små tall 2P-Y V26

Fasit

\(\mathbf{75}\)

Løsningsforslag

Vi skriver tallene som tierpotenser:

Deretter multipliserer vi grunntallene og legger sammen eksponentene:

Sortere potens- og rotuttrykk 2P-Y V26

Fasit

\(\dfrac{1}{5^3} < 10^{-2} < \sqrt{64} < 3 \cdot 3^2 < 2^5 < \sqrt{10\,000} < 10^3\)

Løsningsforslag

Vi regner ut hvert uttrykk:

• \(\sqrt{64} = 8\)
• \(\sqrt{10\,000} = 100\)
• \(2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32\)
• \(10^{-2} = \dfrac{1}{10^2} = \dfrac{1}{100} = 0{,}01\)
• \(10^3 = 1000\)
• \(3 \cdot 3^2 = 3 \cdot 9 = 27\)
• \(\dfrac{1}{5^3} = \dfrac{1}{125} = 0{,}008\)

Sortert i stigende rekkefølge:

Hyttetur med leieutgift og matkostnad 2P-Y V26

En gruppe elever skal på tur og har leid en hytte for \(15\,000\) kroner. Elevene som deltar på turen, skal dele leieutgiftene likt mellom seg. I tillegg må hver elev betale \(250\) kroner for mat.

Fasit

a) Ingen av delene
b) \(P(x) = \dfrac{15\,000}{x} + 250\)

Løsningsforslag

a

Vi sjekker hva som skjer med prisen når antall elever dobles fra \(1\) til \(2\):

Proporsjonale? Da skulle prisen blitt doblet når antall elever dobles. Men \(P(2) = 7\,750 \, \mathrm{kr}\), ikke \(2 \cdot 15\,250 = 30\,500 \, \mathrm{kr}\). Altså er de ikke proporsjonale.

Omvendt proporsjonale? Da skulle prisen blitt halvert når antall elever dobles. Men \(P(2) = 7\,750 \, \mathrm{kr}\), ikke \(\frac{15\,250}{2} = 7\,625 \, \mathrm{kr}\). Altså er de ikke omvendt proporsjonale.

Svaret er: \(\underline{\underline{\text{ingen av delene}}}\)

b

Pris per elev består av to deler:

• Leieutgift per elev: \(\dfrac{15\,000}{x}\) kroner (deles likt på \(x\) elever)
• Matkostnad: \(250\) kroner (fast per elev)

Totalt:

Figurmønster med grønne sirkler 2P-Y V26

Ovenfor ser du fire figurer. Figurene er satt sammen av grønne sirkler. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.

Fasit

a) Figur 5: \(\underline{\underline{23 \text{ sirkler}}}\), figur 10: \(\underline{\underline{43 \text{ sirkler}}}\)
b) \(\underline{\underline{f(n) = 4n + 3}}\)

Løsningsforslag

a

Vi teller antall sirkler i de fire figurene:

Vi ser at det er \(11 - 7 = 4\), \(15 - 11 = 4\) og \(19 - 15 = 4\) sirkler ekstra fra figur til figur. Differansen er konstant lik \(4\).

For å finne figur 5 legger vi til 4:

Figur 5 har \(\underline{\underline{23}}\) grønne sirkler.

For figur 10 kan vi legge til 4 for hvert steg fra figur 4 til figur 10, det vil si 6 steg:

Figur 10 har \(\underline{\underline{43}}\) grønne sirkler.

b

Her har jeg tegnet figur 4 på to ulike måter. I den høyre figuren har jeg flyttet de to røde sirklene til «ledige plasser» slik at det skal bli enklere å se mønsteret.

Hver figur består av:

• En diagonal linje med \(\textcolor{steelblue}{n}\) sirkler oppe til høyre
• Et rektangel med \(\textcolor{seagreen}{3} \cdot \textcolor{seagreen}{(n+1)}\) sirkler

Til sammen blir dette

Formelen for antall grønne sirkler i figur \(n\) er \(\underline{\underline{f(n) = 4n + 3}}\).

Kyllingfilet som proporsjonal størrelse 2P-Y V26

En butikk selger ulike pakker med kyllingfilet. \(1 \mathrm{~kg}\) kyllingfilet koster \(120\) kroner.

Fasit

\(1{,}4 \mathrm{~kg}\): \(\mathbf{168 \mathrm{~kr}}\)

\(250 \mathrm{~g}\): \(\mathbf{30 \mathrm{~kr}}\)

Løsningsforslag

Når pris og vekt er proporsjonale størrelser, betyr det at prisen er lik kiloprisen ganget med antall kilo:

1,4 kg kyllingfilet:

\(1{,}4 \mathrm{~kg}\) kyllingfilet ville kostet \(\mathbf{168 \mathrm{~kr}}\).

250 g kyllingfilet:

Vi gjør om \(250 \mathrm{~g}\) til kilo:

\(250 \mathrm{~g}\) kyllingfilet ville kostet \(\mathbf{30 \mathrm{~kr}}\).

Python-program for gjennomsnitt 2P-Y V26

Kari har laget programmet nedenfor.

123456789L = [2, 4, 8, 16, 20]    # L er en liste med tall

a = len(L)               # Antall tall i listen L
s = sum(L)               # Summen av tallene i listen L

g = s/a

print("Resultat:")
print(g)

Resultat:
10.0

Fasit

Programmet regner ut gjennomsnittet av tallene i listen \(L\), og svaret er \(\underline{\underline{10{,}0}}\).

Løsningsforslag

Programmet utfører følgende steg:

• L = [2, 4, 8, 16, 20] lager en liste med fem tall.
• a = len(L) finner antall tall i listen: \(a = 5\).
• s = sum(L) regner ut summen av tallene:

• g = s/a deler summen på antallet:

• print(g) skriver ut resultatet: 10.0.

Verdien \(10{,}0\) er gjennomsnittet av tallene i listen \(L\).

Kumulativ frekvenskurve for aldersfordeling 2P-Y V26

Tabellen til høyre viser aldersfordelingen for de \(200\) personene som bor i blokk Z på Tirilltoppen.

Aurora har laget diagrammet nedenfor.

Aurora kan bruke diagrammet til å finne en verdi hun kan anta er medianalderen.

Fasit

a) \(70 \,\%\) av beboerne er yngre enn \(50\) år.
b) Medianalderen er omtrent \(\underline{\underline{27 \text{ år}}}\).

Løsningsforslag

a

Punkt \(A\) har koordinatene \((50, 70)\).

• Førstekordinaten \(50\) viser til alder \(50\) år på den vannrette aksen.
• Andrekordinaten \(70\) viser til \(70 \,\%\) på den loddrette aksen (kumulativ frekvens).

Koordinatene forteller oss at \(70 \,\%\) av beboerne i blokk Z er yngre enn \(50\) år.

b

Medianen er den alderen som deler beboerne i to like store grupper – altså den alderen der \(50 \,\%\) av beboerne er yngre.

Vi leser av den kumulative frekvenskurven ved \(50 \,\%\) på den loddrette aksen og finner hvilken alder kurven krysser denne linjen.

Fra figuren ser det ut til at medianalderen er omtrent 26,5 år.

For at denne antakelsen om medianen skal være riktig så må de 60 personene som er mellom 20 og 30 år være jevnt fordelt i alder.

Medianalderen er omtrent 26,5 år når vi antar at aldrene er jevnt fordelt i klassene.

Eksponentiell modell for utslippsreduksjon 2P-Y V26

En bedrift har fått krav om å redusere utslippet av et miljøskadelig stoff.

• I dag er utslippet \(16\,000\) tonn per år.
• Kravet er at utslippet skal halveres for hvert sjette år. Det betyr at utslippet skal være \(8000\) tonn per år om \(6\) år, \(4000\) tonn per år om \(12\) år, og så videre.

Ledelsen mener funksjonen \(U\) gitt ved

vil være en god modell for utslippet \(U(x)\) tonn per år om \(x\) år dersom bedriften klarer å innfri kravet.

Fasit

a) Kravet om halvering hvert sjette år gir \(k = \sqrt[6]{0{,}5} \approx 0{,}89\), og startverdi \(16\,000\) tonn.
b) Utslippet reduseres med \(\mathbf{11 \,\%}\) per år.
c) Gjennomsnittlig reduksjon er ca. \(\mathbf{1413}\) tonn per år.

Løsningsforslag

a

Vi kan løse denne med regresjon i GeoGebra hvis vi setter opp i at vi i dag er i år 0 med 16 000 tonn og at utslippene i år 6 og 12 skal være henholdsvis 8000 tonn og 4000 tonn.

En modell som passer godt er \(\underline{\underline{ U(x)=16\,000 \cdot 0{,}89^{x} }}\).

b

Vekstfaktoren i modellen er \(0{,}89\).

Det betyr at utslippet hvert år er \(0{,}89\) ganger utslippet året før.

Prosentvis endring per år:

Utslippet reduseres med \(11 \,\%\) per år, ifølge modellen.

c

Utslippene er 16 000 tonn i dag. Om 5 år er utslippene:

Gjennomsnittlig reduksjon per år over de 5 årene:

I gjennomsnitt reduseres utslippet med ca. \(\underline{\underline{1413}}\) tonn per år i løpet av de fem første årene, ifølge modellen.

Tre medlemskap i mekkeklubb 2P-Y V26

Sondre og Sindre har startet en mekkeklubb. De leier et gammelt verksted og har kjøpt en del verktøy. Alle som melder seg inn i klubben, kan bruke verkstedet og verktøyene. Samtidig kan de få hjelp og gode råd.

For å dekke utgifter og samtidig gi medlemmene fleksibilitet tilbyr klubben tre ulike medlemskap.

La \(x\) være antall timer et medlem bruker verkstedet i løpet av en måned.

Fasit

a) \(B(x) = 150 + 70x\), \(S(x) = 300 + 40x\), \(P(x) = 1000\)
b) Fra 5 til 17,5 timer

Løsningsforslag

a

Kostnaden per måned er månedsavgiften pluss pris per time ganget med antall timer \(x\).

For Basis:

For Standard:

For Premium er prisen per time 0, så kostnaden er alltid 1000 kr uavhengig av antall timer:

b

Vi tegner opp grafene til funksjonene i GeoGebra og ser når \(B\) gir den laveste kostnaden. Vi bruker verktøyet skjæring for å finne ut når grafene skjærer hverandre.

Standard, \(S\), lønner seg hvis medlemmet er mellom 5 timer (se punkt \(A\)) og 17,5 timer (se punkt \(C\)) på verkstedet.

Sammenligning av sykefravær mellom to bedrifter 2P-Y V26

Nedenfor ser du hvor mange fraværsdager hver av de \(15\) ansatte i bedrift A hadde i \(2025\).

Bedrift B har også \(15\) ansatte.

• Gjennomsnittet for antall fraværsdager i \(2025\) er det samme for bedrift B som for bedrift A.
• Medianen er høyere for bedrift B.
• Standardavviket er lavere for bedrift B.

Kari påstår at den kumulative frekvensen for \(5\) fraværsdager i bedrift B må være høyere enn for bedrift A.

Fasit

a) Gjennomsnitt: \(\underline{\underline{3 \text{ fraværsdager}}}\), median: \(\underline{\underline{1 \text{ fraværsdag}}}\), standardavvik: \(\underline{\underline{\approx 4{,}5 \text{ fraværsdager}}}\)
b) Kumulativ frekvens: \(\underline{\underline{\approx 86{,}7 \,\%}}\)
c) Fraværet i bedrift B er jevnere fordelt – færre ansatte med svært høyt eller svært lavt fravær.
d) Påstanden er ikke nødvendigvis riktig.

Løsningsforslag

a

Vi kan lese verdiene fra statistikkvinduet i GeoGebra.

• Gjennomsnitt: 3
• Median: 1
• Standardavvik (\(\sigma\)): 4,38

Gjennomsnittet er 3, medianen er 1 og standardavviket er 4,38.

b

Vi teller opp hvor mange ansatte som hadde \(5\) eller færre fraværsdager.

Fra den sorterte lista er alle verdier unntatt \(12\) og \(15\) mindre enn eller lik \(5\):

Den kumulative frekvensen til \(5\) eller færre fraværsdager er 13 siden det er 13 observasjoner som er mindre eller lik 5.

Den kumulative frekvensen for 5 fraværsdager er 13. Det betyr at 13 ansatte har vært hatt 5 eller færre fraværsdager i 2025.

c

Vi sammenligner de tre statistiske målene for bedrift B med bedrift A:

• Samme gjennomsnitt (\(3\) dager): Det totale fraværet er likt fordelt på antall ansatte.
• Høyere median: Mer enn halvparten av de ansatte i bedrift B hadde flere fraværsdager enn medianen i bedrift A (som var \(1\) dag). Det betyr at færre ansatte i B hadde \(0\) eller \(1\) fraværsdag.
• Lavere standardavvik: Fraværsdagene i bedrift B ligger tettere rundt gjennomsnittet enn i bedrift A. Det er færre ansatte med svært høyt fravær (som de med \(12\) og \(15\) dager i A).

\(\underline{\underline{\text{Fraværet i bedrift B er jevnere fordelt.}}}\) Færre ansatte har nesten ingen fraværsdager, og færre har svært mange. Fraværet er mer samlet rundt gjennomsnittet på \(3\) dager.

d

Kari påstår at den kumulative frekvensen for 5 fraværsdager i bedrift B må være høyere enn for bedrift A, altså at den må være høyere enn 13.

Denne påstanden er vanskelig å bevise eller motbevise, men dersom vi klarer å finne et moteksempel så kan vi si at påstanden til Kari ikke stemmer.

Når vi lager moteksempelet så bør vi tenke på at

• det totale antallet fraværsdager er 45 slik at gjennomsnittet blir 3
• medianen må bli større enn 1
• standardavviket må bli mindre enn 4,38
• vi har maksimalt 2 observasjoner som er større enn 5 slik at kumulativ frekvens for 5 blir 13

Moteksempel: La oss si at de \(15\) ansatte i bedrift B hadde følgende fraværsdager:

Vi kontrollerer at alle opplysningene stemmer:

• Gjennomsnitt: \(\frac{45}{15} = 3\) ✓
• Median: Den \(8.\) verdien i den sorterte lista er \(3\), som er høyere enn \(1\) i bedrift A ✓
• Standardavvik (beregnet i GeoGebra): \(\approx 2{,}2\) dager, som er lavere enn \(4{,}5\) i bedrift A ✓
• Kumulativ frekvens for \(5\) dager: \(13\) ✓

Dette viser at det er mulig å ha en fordeling i bedrift B som oppfyller alle de tre opplysningene, men der den kumulative frekvensen for \(5\) fraværsdager ikke er høyere enn i bedrift A.

Påstanden til Kari er feil.

Presentasjon av nyhetsundersøkelser 2P-Y V26

Hvert år undersøker Reuters Institute, Universitetet i Bergen og Stiftelsen Fritt Ord hvordan vi får med oss nyheter, og i hvilken grad vi unngår nyheter. Dersom vi unngår nyheter over tid, kan vi gå glipp av viktig informasjon og få en svakere tilknytning til samfunnet. Forskerne er derfor spesielt opptatt av dette.

Nedenfor ser du noen resultater fra undersøkelsene.

Tenk deg at du skal presentere funn fra dette datamaterialet for klassen din.

Fasit

Mange gyldige svar. Eksempelpresentasjon viser at smarttelefon er den dominerende nyhetskilden i 2025 (\(50 \,\%\)), opp fra \(32 \,\%\) i 2019 – en relativ økning på \(+56 \,\%\). Papiravis har størst relativ nedgang (\(-71 \,\%\)). \(59 \,\%\) av nordmenn unngår nyheter av og til.

Løsningsforslag

Nøkkelfunn og beregninger

Funn 1 – Smarttelefon dominerer i 2025

Smarttelefon er den klart største nyhetskilden i 2025. Vi beregner endringen fra 2019 til 2025:

Den relative økningen er:

Smarttelefon har altså økt med 18 prosentpoeng (relativt sett \(+56 \,\%\)) fra 2019 til 2025.

Funn 2 – Papiravis har størst relativ nedgang

Papiravisens andel falt fra \(7 \,\%\) til \(2 \,\%\). Den relative endringen er:

Papiravis har falt med 5 prosentpoeng, noe som tilsvarer en relativ nedgang på \(-71 \,\%\).

Selv om nedgangen i absolutte tall er liten (\(5\) prosentpoeng), viser den relative beregningen at papiravis har mistet nesten tre fjerdedeler av sin andel.

Funn 3 – Majoriteten unngår nyheter av og til

Fra tabellen om nyhetsunngåelse legger vi sammen andelene som unngår nyheter «en gang iblant», «noen ganger» eller «ofte»:

59 % av nordmenn unngår nyheter i hvert fall av og til i 2025. Bare 37 % sier at de aldri unngår nyheter.

Diagram 1: Gruppert søylediagram til tabell 1

Dette diagrammet passer best til Tabell 1 fordi det gjør det enkelt å sammenligne hvert medium mellom de to årstallene.

• Diagramtype: gruppert stolpediagram (to stolper per kategori – én for 2019, én for 2025)
• X-akse: kildenavn (Smarttelefon, Radio, PC, TV, Nettbrett, Papiravis, Ingen, Vet ikke)
• Y-akse: andel i prosent (\(0\)–\(55 \,\%\))
• Farge: én farge for 2019 (f.eks. blå), én farge for 2025 (f.eks. oransje)
• Legg til dataetiketter på toppen av hver stolpe
• Nøkkelfunn å trekke frem muntlig: smarttelefonstolpen i 2025 er klart høyest; alle tradisjonelle medier har kortere stolper i 2025 enn i 2019

Diagram 2 – Sektordiagram: fordeling av nyhetskilder i 2025

Sektordiagrammet viser tydelig at smarttelefon utgjør halvparten av alle svar alene.

• Diagramtype: sektordiagram (ett for 2025)
• Én sektor per kilde; sektorenes størrelse svarer til prosentandelene
• Legg til prosentlabeler på sektorene
• Merk gjerne at smarttelefon-sektoren (\(50 \,\%\)) er like stor som alle de andre kildene til sammen
• Tips: «Ingen av disse» og «Vet ikke» kan slås sammen til én sektor («Annet») for å forenkle bildet

Diagram 3 – Stolpediagram: nyhetsunngåelse i 2025

Dette diagrammet hører til Tabell 2 og illustrerer at de fleste nordmenn unngår nyheter til en viss grad.

• Diagramtype: enkelt stolpediagram (én stolpe per svaralternativ)
• X-akse: Aldri / En gang iblant / Noen ganger / Ofte / Vet ikke
• Y-akse: andel i prosent (\(0\)–\(40 \,\%\))
• Legg til en tydelig markering (f.eks. en pil eller farge) på de tre stolpene som til sammen utgjør \(59 \,\%\) («unngår av og til»)
• Alternativ: sektordiagram der «Aldri» og «Unngår av og til» (de tre kategoriene slått sammen) kontrasteres mot hverandre

Kort konklusjon til presentasjonen

Undersøkelsen viser en klar forskyvning i hvordan nordmenn skaffer seg nyheter: smarttelefonen har tatt over og utgjør nå halvparten av alle svar, mens papiravis nesten er forsvunnet. Samtidig er det overraskende mange – hele 59 % – som av og til aktivt unngår nyheter. Disse funnene reiser et viktig spørsmål: hva skjer med samfunnsdebatten når folk velger bort nyhetene?