Identitet med andregradsuttrykk 1T V26
Gitt likningen
\[a(x+b)^2 = x^2 + 8x + c \]
Oppgave
Bestem \(a\), \(b\) og \(c\) slik at likningen blir en identitet.
Fasit
\(a = 1\), \(b = 4\), \(c = 16\)
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
For at likningen skal være en identitet, må venstre side og høyre side være like for alle verdier av \(x\). Vi utvider venstre side og sammenligner koeffisientene.
Vi utvider \(a(x+b)^2\):
\[\begin{aligned} a(x+b)^2 &= a(x^2 + 2bx + b^2) \\ &= ax^2 + 2abx + ab^2 \end{aligned}\]
For at dette skal være identisk med \(x^2 + 8x + c\), må koeffisientene for hvert ledd være like:
\[\begin{aligned} ax^2 &= x^2 &\implies &\quad a = 1 \\ 2abx &= 8x &\implies &\quad 2 \cdot 1 \cdot b = 8 \implies b = 4 \\ ab^2 &= c &\implies &\quad c = 1 \cdot 4^2 = 16 \end{aligned}\]
\(\underline{\underline{a = 1, \quad b = 4, \quad c = 16}}\)