Likningssystem med andregradsfunksjon 1T V26
Gitt likningssystemet
\[\begin{bmatrix} -x^2 + 4 = y \\ x - y = 2 \end{bmatrix} \]
Oppgave
- Løs likningssystemet ved regning.
- Løs likningssystemet grafisk.
Fasit
a) \(x = -3,\ y = -5\) og \(x = 2,\ y = 0\)
b) Skjæringspunktene \((-3,\ {-5})\) og \((2,\ 0)\) leses av grafen.
Løsningsforslag
Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.
a
Vi løser likningssystemet ved innsetting. Fra den andre likningen isolerer vi \(y\):
\[x - y = 2 \implies y = x - 2 \]
Vi setter dette inn i den første likningen:
\[-x^2 + 4 = x - 2 \]
\[\begin{aligned} -x^2 + 4 &= x - 2 \\ -x^2 - x + 6 &= 0 \\ x^2 + x - 6 &= 0 \end{aligned}\]
Vi faktoriserer andregradsuttrykket. Vi leter etter to tall med produkt \(-6\) og sum \(1\): det er \(3\) og \(-2\).
\[x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2) = 0 \]
Dette gir
\[x = -3 \qquad \text{eller} \qquad x = 2 \]
Vi finner tilhørende \(y\)-verdier ved å bruke \(y = x - 2\):
- \(x = -3\): \(y = -3 - 2 = -5\)
- \(x = 2\): \(y = 2 - 2 = 0\)
Løsningene er \(\mathbf{\underline{\underline{x = -3,\ y = -5}}}\) og \(\mathbf{\underline{\underline{x = 2,\ y = 0}}}\).
b
Vi tegner de to grafene i samme koordinatsystem:
- \(y = -x^2 + 4\) (parabel)
- \(y = x - 2\) (rett linje, omskrevet fra \(x - y = 2\))
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
x = np.linspace(-5, 4, 400)
y_parabel = -x**2 + 4
y_linje = x - 2
fig, ax = plt.subplots(figsize=(7, 6))
ax.plot(x, y_parabel, color='steelblue', linewidth=2.5, label=r'$y = -x^2 + 4
Grafene skjærer hverandre i punktene $\mathbf{\underline{\underline{(-3,\ {-5})}}}$ og $\mathbf{\underline{\underline{(2,\ 0)}}}$.
)
ax.plot(x, y_linje, color='tomato', linewidth=2.5, label=r'$y = x - 2
Grafene skjærer hverandre i punktene $\mathbf{\underline{\underline{(-3,\ {-5})}}}$ og $\mathbf{\underline{\underline{(2,\ 0)}}}$.
)
for p, label, xytext in [
((-3, -5), r'$(-3,\ -5)
Grafene skjærer hverandre i punktene $\mathbf{\underline{\underline{(-3,\ {-5})}}}$ og $\mathbf{\underline{\underline{(2,\ 0)}}}$.
, (-4.5, -3.5)),
((2, 0), r'$(2,\ 0)
Grafene skjærer hverandre i punktene $\mathbf{\underline{\underline{(-3,\ {-5})}}}$ og $\mathbf{\underline{\underline{(2,\ 0)}}}$.
, (2.3, 1.2)),
]:
ax.plot(*p, 'ko', markersize=8, zorder=5)
ax.annotate(label, xy=p, xytext=xytext, fontsize=11,
arrowprops=dict(arrowstyle='->', color='black'))
ax.axhline(0, color='black', linewidth=0.8)
ax.axvline(0, color='black', linewidth=0.8)
ax.set_xlim(-5, 4); ax.set_ylim(-8, 6)
ax.legend(fontsize=11, loc='upper right')
ax.grid(True, linestyle='--', alpha=0.5)
plt.tight_layout()
plt.savefig('_resources/1t-v26-1-2.png', dpi=150)
Grafene skjærer hverandre i punktene \(\mathbf{\underline{\underline{(-3,\ {-5})}}}\) og \(\mathbf{\underline{\underline{(2,\ 0)}}}\).