Sjokoladeplate på bensinstasjon

En sjokoladeplate koster 40 kroner i en butikk og 60 kroner på en bensinstasjon.

Fasit

Sjokoladeplaten er \(\underline{\underline{50 \,\%}}\) dyrere på bensinstasjonen.

Løsningsforslag

Vi finner hvor mye dyrere sjokoladeplaten er på bensinstasjonen:

Denne prisforskjellen regner vi som prosent av butikkprisen (den opprinnelige prisen):

Sjokoladeplaten er \(50 \,\%\) dyrere på bensinstasjonen enn i butikken.

Prosentvis framgang for partier

I en kommune fikk Arbeiderpartiet 40 % av stemmene ved forrige valg. Senterpartiet fikk 20 % av stemmene. En meningsmåling viser at begge partiene har økt sin oppslutning med 5 prosentpoeng siden valget.

Fasit

Senterpartiet har hatt størst prosentvis framgang

Løsningsforslag

Begge partiene har økt med 5 prosentpoeng, det betyr at:

• Arbeiderpartiet må ha økt fra 40 % til 45 %
• Senterpartiet må ha økt fra 20 % til 25 %

Vi finner den prosentvise økningen

Siden \(\frac{100}{4}\) er et større tall enn \(\frac{100}{8}\) så må Senterpartiet ha den største prosentvise økningen.

Omvendt proporsjonale størrelser

Fasit

Eksempel: Venner deler regningen på en pizza til 240 kr. Pris per person = \(\dfrac{240}{x}\).

Løsningsforslag

Situasjon: Fire venner bestiller en pizza til 240 kroner og deler regningen likt.

La \(x\) være antall personer og \(y\) være beløpet hver person betaler.

Størrelsene er omvendt proporsjonale fordi produktet \(x \cdot y = 240\) alltid er det samme. Når antall personer øker, synker prisen per person tilsvarende — dobles antall personer, halveres prisen.

Vi regner ut tre punkter:

Grafen er en fallende kurve som nærmer seg aksene uten å treffe dem:

To løsninger med potensuttrykk

Klassen til Elias arbeider med oppgaven nedenfor.

Elias påstår at det er mulig å bruke åtte av de ti tallene 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9 og sette opp to ulike løsninger av oppgaven.

Fasit

Løsningsforslag

Vi skal få svaret 8 000 000 000 fra \(\textcolor{seagreen}{\Box} \cdot 10^{\textcolor{steelblue}{\Box}} \cdot \textcolor{tomato}{\Box} \cdot 10^{\textcolor{maroon}{\Box}}\)

Vi begynner med på se på faktorene som skal i den første (grønne) og tredje (oransje) ruten. Produktet av disse to faktorene må bli 8, det vil si at vi har to ulike muligheter for tallene i første og tredje rute: enten kan vi bruke 1 og 8 (siden \(1 \cdot 8 = 8\)) eller så kan vi bruke 2 og 4 siden \(2\cdot 4=8\).

• \(\textcolor{seagreen}{8} \cdot 10^{\textcolor{steelblue}{\Box}} \cdot \textcolor{tomato}{1} \cdot 10^{\textcolor{maroon}{\Box}}\)
• \(\textcolor{seagreen}{4} \cdot 10^{\textcolor{steelblue}{\Box}} \cdot \textcolor{tomato}{2} \cdot 10^{\textcolor{maroon}{\Box}}\).

Når det gjelder de to potensene så må produktet av disse bli \(1\,000 \,000 \,000=10^{9}\). Vi husker at \(a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}\), slik at vi kan skrive \(10^{9}\) som for eksempel \(10^{3+6}\) og \(10^{0+9}\).

Vi har dermed 2 løsninger ved å bruke 8 av tallene fra 0 til 9:

Blodceller i standardform

I blodet er det tre hovedtyper blodceller. De tre hovedtypene er hvite blodceller, røde blodceller og blodplater.

I en liter blod er det \(7 \cdot 10^9\) hvite blodceller, \(5 \cdot 10^{12}\) røde blodceller og \(3 \cdot 10^{11}\) blodplater.

Fasit

\(\underline{\underline{5{,}307 \cdot 10^{12}}}\) blodceller

Løsningsforslag

Vi skal legge sammen de tre tallene:

For å legge dem sammen må alle leddene ha samme potens av 10. Vi velger \(10^{12}\):

Nå kan vi legge dem sammen:

Det er til sammen \(\underline{\underline{5{,}307 \cdot 10^{12}}}\) blodceller i en liter blod.

Figurtall med grønne kvadrater

Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små grønne kvadrater. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.

Fasit

a) 36
b) \(F_{n}=n^{2}+2n+1\)

Løsningsforslag

a

• Jeg ser at kvadratet i toppen vil ha \(5\cdot5=25\) små grønne kvadrater.
• Jeg ser at delen på høyre side vil bestå av 5 kvadrater
• Jeg ser at delen nede til venstre vil bestå av 6 kvadrater

Det er \(25+5+6=\underline{\underline{ 36 }}\) kvadrater i figur 5.

b

Jeg deler opp figuren i tre deler, se figuren

Jeg ser at kvadratet har størrelse \(\textcolor{maroon}{n^{2}}\), den høyre siden har lengde \(\textcolor{tomato}{n}\) og den siste delen har lengde \(\textcolor{seagreen}{n+1}\). Antall kvadrater er summen av disse 3 delene.

Lars sin spareplan

Lars har spart penger i flere år. Han har nå 120 000 kroner. Pengene står på en konto i banken. Lars vil fortsette å spare og har en plan. Han har laget programmet nedenfor.

1234567891011121314konto = 120000
sparebeløp = 24000
vekstfaktor = 1.058
år = 0

while konto < 1000000:

    konto = konto + sparebeløp
    konto = konto * vekstfaktor

    år = år + 1

print(år)
print(konto)

Fasit

Programmet viser at Lars vil ha over én million kroner etter 17 år, og at kontoens verdi da er ca. \(\underline{\underline{1\,016\,760 \, \mathrm{kr}}}\).

Løsningsforslag

Hva forteller programmet om planen til Lars?

Programmet simulerer Lars sin spareplan år for år. Starten av programmet setter opp tre viktige verdier:

• konto = 120000 — Lars har 120 000 kr på konto nå.
• sparebeløp = 24000 — Lars setter inn 24 000 kr hvert år.
• vekstfaktor = 1.058 — Kontoen får \(5{,}8 \,\%\) rente per år.

Inne i løkken skjer to ting hvert år:

1. Lars setter inn sparebeløpet: konto = konto + sparebeløp
2. Renten legges til: konto = konto * vekstfaktor

Løkken fortsetter så lenge kontoens verdi er under 1 000 000 kr, og teller samtidig opp antall år.

Programmet forteller altså Lars hvor mange år det tar før han har spart én million kroner, og hva kontoen er verdt på det tidspunktet.

Hva vil verdiene som skrives ut, fortelle Lars?

Programmet skriver ut to verdier:

• print(år) skriver ut 17 — det vil si at det tar 17 år før Lars har over én million kroner.
• print(konto) skriver ut ca. 1 016 760 — kontoen er verdt ca. \(1\,016\,760 \, \mathrm{kr}\) etter disse 17 årene.

Noras bøtte med godteri

Nora bestemmer seg for å kjøpe en bøtte og fylle den med godteri. Hun ser at det er en lineær sammenheng mellom antall hektogram godteri hun fyller i bøtta, og prisen hun må betale for bøtta med godteriet.

Nedenfor ser du en modell som illustrerer dette.

Modellen kan uttrykkes på formen

Fasit

a) \(\underline{\underline{G(x) = 12x + 30}}\)
b) \(a = 12\) betyr at prisen øker med \(\underline{\underline{12 \, \mathrm{kr}}}\) per hektogram godteri. \(b = 30\) er prisen for selve bøtta, det vil si \(\underline{\underline{30 \, \mathrm{kr}}}\) uten godteri.
c) \(\underline{\underline{126 \, \mathrm{kr}}}\)

Løsningsforslag

a

Vi leser av to punkter fra grafen: \((5, 90)\) og \((20, 270)\).

Vi bruker formelen for stigningstallet:

For å finne \(b\) setter vi inn punktet \((5, 90)\) i \(G(x) = ax + b\):

Svaret er \(\underline{\underline{G(x) = 12x + 30}}\)

b

\(a = 12\) er stigningstallet og viser hvor mye prisen øker per hektogram godteri. Dette betyr at hvert hektogram godteri koster \(\underline{\underline{12 \, \mathrm{kr}}}\).

\(b = 30\) er konstantleddet og viser prisen når \(x = 0\), altså når bøtta er tom. Dette betyr at selve bøtta koster \(\underline{\underline{30 \, \mathrm{kr}}}\).

c

Vi setter inn \(x = 8\) i funksjonsuttrykket:

En bøtte med 8 hg godteri koster \(\underline{\underline{126 \, \mathrm{kr}}}\).

Kikhoste som eksponentiell vekst

Tabellen nedenfor viser antall registrerte tilfeller av kikhoste i Norge noen måneder i perioden januar 2023–oktober 2024.

La \(x\) være antall måneder etter desember 2022. Det vil si at \(x = 1\) tilsvarer januar 2023, \(x = 3\) tilsvarer mars 2023, og så videre.

Fasit

a) Modellens verdier er i samme størrelsesorden som de observerte — modellen er god.
b) Antall registrerte tilfeller øker med \(\underline{\underline{20 \,\%}}\) per måned.
c) \(\underline{\underline{\approx 72}}\) tilfeller per måned (gjennomsnittlig vekstfart fra mai 2023 til september 2024).
d) \(\underline{\underline{\approx 5500}}\) tilfeller i mai 2025.

Løsningsforslag

a

Vi setter inn \(x\)-verdiene fra tabellen i modellen \(K(x) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^{x}\) og sammenligner med de observerte tallene:

Modellens verdier er i samme størrelsesorden som de observerte verdiene i hele perioden. Noen måneder treffer modellen svært godt (oktober 2023, august 2024), og ingen av avvikene er dramatisk store sett opp mot den sterke veksten. Modellen \(K(x) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^{x}\) er en god modell for datamaterialet.

b

Funksjonen \(K(x) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^{x}\) er en eksponentialfunksjon med vekstfaktor \(1{,}2\).

Vekstfaktoren \(1{,}2\) betyr at antallet multipliseres med \(1{,}2\) for hver måned som går. Det tilsvarer en økning på \(20 \,\%\) per måned.

Praktisk tolkning: Antall registrerte tilfeller av kikhoste i Norge økte med ca. \(20 \,\%\) per måned i perioden januar 2023–oktober 2024.

c

Vi skal finne stigningstallet til den rette linjen gjennom punktene \((4,\ K(4))\) og \((21,\ K(21))\).

Først beregner vi funksjonsverdiene:

Deretter bruker vi formelen for stigningstall:

Vi kan også lese av sekantlinjens stigningstall i GeoGebra: stign = 71.84 ≈ 72.

Praktisk tolkning: I gjennomsnitt økte antall registrerte tilfeller av kikhoste med ca. 72 tilfeller per måned i perioden fra mai 2023 (\(x = 4\)) til september 2024 (\(x = 21\)).

d

Mai 2025 tilsvarer \(x = 29\) (29 måneder etter desember 2022).

Ifølge modellen vil ca. 5500 tilfeller av kikhoste bli registrert i Norge i mai 2025.

Stikk UT! og turstatistikk

I sommerens Stikk UT! har 40 000 deltagere registrert nær 1 million turer. De har tilbakelagt 3,3 millioner km på de ulike turene, noe som tilsvarer 83 ganger rundt jorda. Og når Stikk UT!-deltakerne i tillegg har lagt bak seg 78 000 høydekilometer, tilsvarer det nesten 9 000 ganger opp Mount Everest, går det frem av ei pressemelding fra Sunnmøre friluftsråd.

Artikkelen ovenfor er hentet fra aesby.no.

Fasit

a) \(\underline{\underline{82{,}5 \, \mathrm{km}}}\) per deltaker i gjennomsnitt
b) Sunnmøre friluftsråd har regnet med at det er \(\underline{\underline{39\,759 \, \mathrm{km}}}\) rundt jorda

Løsningsforslag

a

Vi skal finne gjennomsnittlig antall kilometer per deltaker.

Hver deltaker har i gjennomsnitt gått \(82{,}5 \, \mathrm{km}\).

b

Vi skal finne hvor langt Sunnmøre friluftsråd har regnet at det er rundt jorda. Vi vet at 3,3 millioner km tilsvarer 83 ganger rundt jorda, og bruker det til å finne én gang rundt:

Sunnmøre friluftsråd har regnet med at det er omtrent \(39\,759 \, \mathrm{km}\) rundt jorda.

Elise selger aviser

Elise skal gå fra dør til dør og selge aviser hver lørdag. En avis koster 49 kroner.

Firmaet hun skal arbeide for, beregner lønn på ulike måter. Elise kan velge mellom to tilbud.

Fasit

Hun bør velge tilbud 2 hvis hun selger under 21 aviser. Hvis hun selger minst 21 aviser bør hun velge tilbud 1.

Løsningsforslag

Vi kan lage en modell for hvert tilbud. Hvis vi sier at Elise selger \(x\) aviser så har vi for tilbud 1

For tilbud 2 så har vi

Vi ser umiddelbart at Elise bør velge tilbud 2 dersom hun selger veldig få aviser – da er hun jo garantert 150 kr uansett! Men vi bør undersøke hvor mye hun må selge for at det skal lønne seg å velge tilbud 1. Det kan vi gjøre ved å løse likningen

Hvis Elise regner med å selge minst 21 aviser så bør hun velge tilbud 1. Hvis hun selger mindre enn dette bør hun velge tilbud 2.

Dagbladet Lørdag uten rabatt

Informasjonen ovenfor er hentet fra nettsidene til Bladkongen.

Fasit

49 kr

Løsningsforslag

Vi ser på det første tilbudet først: «4 aviser for 99 kroner, spar 49 %».

Å spare 49 % betyr at vi fremdeles betaler 51 % av prisen. Vi kan finne full pris for avisene ved å gå veien om en:

Prisen per avis er \(\frac{194 \mathrm{~kr}}{4}=\underline{\underline{ 48{,}5 \mathrm{~kr} }}\).

Pris per kvadratmeter terrassebord

Anne skal bygge en brygge og lurer på hvilken type terrassebord hun skal velge.

Hun finner informasjonen nedenfor på nettsiden til en byggevareforhandler. Tykkelse og bredde er gitt i mm. Byggevareforhandleren oppgir pris per meter terrassebord.

Fasit

Furu 28×145: \(\underline{\underline{468{,}28 \, \mathrm{kr/m^2}}}\)

Furu 28×95: \(\underline{\underline{525{,}26 \, \mathrm{kr/m^2}}}\)

Løsningsforslag

For å finne prisen per kvadratmeter, må vi vite hvor mange løpemeter terrassebord som går med til én kvadratmeter.

Bredden på brettet bestemmer dette: 1 m² terrasse krever \(\frac{1}{\text{bredde}}\) løpemeter bord.

Furu 28×145 (bredde = 145 mm = 0,145 m)

Antall løpemeter per kvadratmeter:

Pris per kvadratmeter:

Furu 28×95 (bredde = 95 mm = 0,095 m)

Antall løpemeter per kvadratmeter:

Pris per kvadratmeter:

Det brede brettet (28×145) er billigst per kvadratmeter, selv om meterprisen er høyere.

Isabels sylinderformede bokser

Isabel er industridesigner. Hun arbeider med et design på bokser med form som sylindre.

Isabel lurer på hvor stor radius hun bør velge og hvor høye boksene må være, når hver boks skal ha

• et volum \(V\) på 450 cm³
• minst mulig overflate \(O\)

Isabel ser at når hun har gitt volum og radius, kan hun regne ut høyden ved å bruke formelen \(V = \pi \cdot r^2 \cdot h\)

Isabel ønsker å lage en modell som viser overflaten av ulike bokser hun kan lage ved å endre radius.

Fasit

a) Tabell:

b) \(O(r) = \pi r^2 + \dfrac{900}{r}\)
c) Radius \(r \approx 5{,}23 \, \mathrm{cm}\) gir minst mulig overflate \(O \approx 258 \, \mathrm{cm}^2\).

Løsningsforslag

a

Oppgaven oppgir at \(V = 450 \, \mathrm{cm}^3\) og at \(V = \pi \cdot r^2 \cdot h\). Vi løser for høyden:

Vi bruker dette til å fylle inn tabellen for hvert valg av \(r\):

\(r = 4\):

\(r = 6\):

\(r = 8\):

Fullstendig tabell:

b

Vi setter uttrykket for \(h\) inn i formelen for overflaten:

Funksjonsuttrykket er:

Grafen nedenfor viser sammenhengen mellom radius \(r\) og overflaten \(O\). Bunnpunktet A er markert.

I GeoGebra brukes kommandoene:

O(r) = pi * r^2 + 900/r
Extremum(O, 1, 10)

c

Fra grafen leser vi av at bunnpunktet er ved \(A \approx (5{,}23;\; 258{,}02)\).

Radius \(r \approx 5{,}23 \, \mathrm{cm}\) gir minst mulig overflate \(O \approx 258 \, \mathrm{cm}^2\).

Sofie lager bagetter hjemme

Sofie kjøper en bagett med smør, ost, skinke, tomat og salat i kantina på skolen hver dag. Bagetten koster 65 kroner.

Sofie vurderer om hun heller skal kjøpe bagetter i en butikk, smøre dem selv og ta dem med på skolen.

Fasit

Sofie sparer omtrent \(\underline{\underline{650 \, \mathrm{kr}}}\) i måneden.

Løsningsforslag

For å løse oppgaven må vi gjøre antakelser om hvor mye av hver ingrediens som går til én bagett, og hvor mange skoledager det er i en måned.

Antakelser om ingrediensmengder per bagett:

Kostnad per bagett hjemme:

Innsparing per dag:

Antakelse om skoledager per måned:

En vanlig skoleuke har 5 dager. En måned har omtrent 4 uker med skole, altså omtrent 20 skoledager.

Innsparing per måned:

Sofie vil kunne spare omtrent \(\underline{\underline{650 \, \mathrm{kr}}}\) i løpet av en måned ved å lage bagettene selv. (Eksakt svar varierer avhengig av antakelsene som gjøres.)