Likesidet trekant og cos 60°

En likesidet trekant har sidelengder 2. Se figuren til høyre.

Fasit

Skjæringspunkter med x-aksen

Funksjonen \(f\) er gitt ved

Fasit

Tangent til tredjegradsfunksjon

Funksjonen \(f\) er gitt ved

Fasit

To trekanter og størst areal

Fasit

Rasjonale funksjoner og grafvalg

Funksjonene \(f\) og \(g\) er gitt ved

Fasit

Folketall i et område

En gruppe statistikere har sett på hvordan folketallet i et område har endret seg siden 1960, og laget en modell \(F\) gitt ved

for folketallet \(F(x)\) tusen innbyggere i området \(x\) år etter 1960.

Fasit

Areal av firekantet figur

I denne oppgaven skal du vise at du kan bruke trigonometri til å bestemme arealet av figuren ovenfor.

Fasit

\(\approx 38{,}6\)

Løsningsforslag

Vi deler firkanten ABCD i to trekanter ved å trekke diagonalen \(BD\).

Trekant ABD: Vi kjenner \(BD = 12\), \(\angle A = 125°\) og \(\angle ABD = 35°\).

Vinkelsummen gir den siste vinkelen:

Vi bruker sinussetningen til å finne \(AB\):

Deretter bruker vi arealsetningen for trekant ABD:

Trekant BCD: Vi kjenner \(BC = 6\), \(DC = 8\) og \(BD = 12\).

Vi bruker cosinussetningen til å finne \(\angle BCD\):

Deretter bruker vi arealsetningen for trekant BCD:

Vi beregner alt i CAS, se linje 1–6 i utklippet:

Fra linje 6 leser vi av at det totale arealet er

Arealet av figuren er \(\underline{\underline{\approx 38{,}6}}\).

Linjestykker og geometrisk vekst

I denne oppgaven skal du arbeide med linjestykker som settes sammen til en figur.

Skissen nedenfor viser de 16 første linjestykkene i figuren. Lengden av et linjestykke er alltid 90 % av lengden av det forrige linjestykket. Det første linjestykket er 100 cm langt.

Fasit

a) 569,5 cm
b) 22 linjestykker
c) 0,52 %

Løsningsforslag

a

Lengden reduseres med 10 % per linjestykke og den begynner på 100 cm. Da blir lengden av linjestykke nummer \(n\):

Jeg bruker et regneark til å legge sammen de 8 første linjestykkene.

Lengden av de 8 første linjestykkene er 569,5 cm.

b

n = 1
L = 100
total = L

while total < 900:      # Kjører så lenge totalen er under 900 cm
    L = L * 0.9         # Beregner nytt linjestykke
    total = total + L   # Legger til linjestykke på totallengden
    n = n + 1           # Teller hvor mange linjestykker

print("Etter", n, "linjestykker er lengden", round(total, 2), "cm.")

Output: Etter 22 linjestykker er lengden 901.52 cm.

Du må ha 22 linjestykker for at lengden skal bli minst 9 meter.

c

L = 100
total = L

for n in range(1, 101):
    if n == 50:            # Lagrer totallengden etter 50 figurer
        lengde_50 = total
    if n == 100:           # Lagrer totallengden etter 100 figurer
        lengde_100 = total
    L = L * 0.9            # Beregner nytt linjestykke
    total = total + L      # Legger til linjestykke på totallengden

prosent_endring = (lengde_100 - lengde_50) / (lengde_50) * 100

print(round(prosent_endring, 2))

Output: 0.52

Summen av lengdene øker med 0,52 % dersom vi øker antallet linjestykker fra 50 til 100.

Antall fiskere og regresjon

Tabellen nedenfor viser antall personer i Norge som hadde fiske som hovedyrke noen år i perioden 1952–2022.

Fasit

a) \(F(x)=66\,360 \cdot 0{,}9714^{x}\)
b) Ca. 3645 fiskere i 2050. Gyldighetsområde: \(x \in [0, 100]\).

Løsningsforslag

a

Jeg la inn årstallene, antall år etter 1950 og antallet fiskere i regnearket i GeoGebra. Se figuren.

Punktene så ut til å passe godt med en eksponentiell modell, og det virker fornuftig at antallet fiskere minker med en relativt fast prosentandel hvert år. Den eksponentielle modellen vil også aldri treffe 0, slik at den kan brukes langt fram i tid.

\(\underline{\underline{ F(x)=66\,360 \cdot 0{,}9714^{x} }}\) er en god modell for antall fiskere i denne perioden.

b

Vi kan bruke modellen for å finne ut hvor mange fiskere det vil være i 1950. Vi regner ut \(F(100)\) i GeoGebra siden 2050 tilsvarer \(x=100\).

Det er vanskelig å vurdere gydligheten til denne modellen. Jeg vurderer at vi ikke bør bruke den lenger fram i framtida enn 2050. For eksempel er det kun 854 fiskere igjen i 2100 ifølge modellen. Det høres lite ut. Et fornuftig gyldighetsområde kan være \(x \in \left[ 0,100 \right]\).

Det er omtrent 3645 fiskere i 2050 ifølge modellen vår. Jeg vurderer at modellen er gyldig fra 1950 til 2050.

Avstand mellom to funksjoner

Ovenfor har Sara tegnet grafene til funksjonene \(f\) og \(g\) gitt ved

Linjen \(x = 1\) skjærer grafen til \(f\) i punktet \(P\) og grafen til \(g\) i punktet \(Q\).

Sara skal tegne en ny linje \(x = a\) der \(a \in \langle 1, 3 \rangle\) i koordinatsystemet. Hun vil kalle skjæringspunktet mellom linjen og grafen til \(f\) for \(R\) og skjæringspunktet mellom linjen og grafen til \(g\) for \(S\).

Fasit

Tredjegradsfunksjon med ukjente koeffisienter

En tredjegradsfunksjon \(f\) er gitt ved

• Punktet \((-8, 0)\) er et toppunkt på grafen til \(f\).
• Den gjennomsnittlige vekstfarten til \(f\) i intervallet \([0, 5]\) er \(\dfrac{64}{5}\).

Fasit

\(a=\frac{1}{5}, b=\frac{11}{5},c=-\frac{16}{5}\)

Løsningsforslag

Vi vet at \(f'(x)=0\) i toppunktet, så jeg begynner med å derivere funksjonen og setter uttrykket lik null

Vi kan også sette opp en likning for funksjonsverdien ved toppunktet.

Til slutt kan vi sette opp en likning for gjennomsnittlig vekstfart i intervallet \(x \in \left[ 0,5 \right]\).

Det var først nå jeg la merke til at dette var en del 2 oppgave, så jeg løste likningssystemet i GeoGebra 😄. Se utklippet.

Rektangel under graf

Nedenfor ser du grafen til funksjonen \(f\) gitt ved

Rektangelet under grafen har hjørner i punktene \((0, 0)\), \((5, 0)\), \((5, f(5))\) og \((0, f(5))\).

Fasit