Likesidet trekant og cos 60°

En likesidet trekant har sidelengder 2. Se figuren til høyre.

Fasit

\(\cos 60\degree = \dfrac{1}{2}\) (vist ved geometrisk argument).

Løsningsforslag

Vi tegner høyden \(h\) fra ett hjørne ned til motstående side i den likesilte trekanten med sidelengder \(2\).

Høyden deler trekanten i to kongruente rettvinklede trekanter. I én av dem er:

• hypotenus \(= 2\) (sidekant i den likesilte trekanten),
• korteste katet \(= 1\) (halvparten av motstående side, siden høyden halverer den),
• vinkelen ved hypotenusen \(= 60\degree\) (hjørnevinkelen i den likesilte trekanten).

Definisjonen av cosinus gir

Dermed er \(\underline{\underline{\cos 60\degree = \dfrac{1}{2}}}\).

Skjæringspunkter med x-aksen

Funksjonen \(f\) er gitt ved

Fasit

Skjæringspunkter med \(x\)-aksen: \((-3, 0)\), \((-1, 0)\) og \((2, 0)\)

Løsningsforslag

Grafen skjærer \(x\)-aksen der \(f(x) = 0\), altså der

Vi prøver heltallsrøtter som er delere av konstantleddet \(6\): \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\).

Siden \(x = -1\) er en rot, er \((x + 1)\) en faktor. Vi utfører polynomdivisjon:

Vi kan altså skrive

Andregradsuttrykket \(x^2 + x - 6\) faktoriserer vi:

Dermed er

og likningen \(f(x) = 0\) har løsningene \(x = -1\), \(x = 2\) og \(x = -3\).

Grafen skjærer \(x\)-aksen i punktene \(\underline{\underline{(-3, 0)}}\), \(\underline{\underline{(-1, 0)}}\) og \(\underline{\underline{(2, 0)}}\).

Tangent til tredjegradsfunksjon

Funksjonen \(f\) er gitt ved

Fasit

\(\underline{\underline{y = -4x + 5}}\)

Løsningsforslag

Vi finner først funksjonsverdien i \(x = 1\):

Tangentpunktet er altså \((1, 1)\), som stemmer med oppgaven.

Deretter deriverer vi \(f\):

Stigningstallet til tangenten er \(f'(1)\):

Tangentlinjen går gjennom \((1, 1)\) med stigning \(-4\). Vi bruker ettpunktsformelen:

To trekanter og størst areal

Fasit

Trekant 2 (med vinkel 32°) har størst areal.

\(A_1 = 9 \, \mathrm{cm}^2\), \(\quad A_2 = 18\sin(32°) \, \mathrm{cm}^2 > 9 \, \mathrm{cm}^2\)

Løsningsforslag

Begge trekantene har to sider med lengde 6 (la oss kalle dem \(a = b = 6\)), men ulike inkluderte vinkler. Vi bruker arealsetningen:

Trekant 1 har inkludert vinkel \(C_1 = 150°\):

Vi utnytter at \(\sin(150°) = \sin(180° - 30°) = \sin(30°) = \frac{1}{2}\):

Trekant 2 har inkludert vinkel \(C_2 = 32°\):

Sammenligning: Vi trenger å avgjøre om \(\sin(32°) > \sin(150°) = \frac{1}{2}\).

Sinusfunksjonen er stigende på intervallet \(\langle 0°, 90° \rangle\), og siden \(32° > 30°\):

Dermed er \(A_2 = 18\sin(32°) > 18 \cdot \frac{1}{2} = 9 = A_1\).

\(\underline{\underline{\text{Trekant 2 har størst areal.}}}\)

Rasjonale funksjoner og grafvalg

Funksjonene \(f\) og \(g\) er gitt ved

Fasit

a) Graf C
b) Graf F

Løsningsforslag

a

Vi finner kjennetegnene til \(f(x) = \dfrac{2x-8}{x+2}\).

Vertikal asymptote der nevneren er null:

Horisontal asymptote — teller og nevner er begge av grad 1, så vi tar forholdet mellom de ledende koeffisientene:

Nullpunkt — sett teller lik null:

Skjæring med \(y\)-aksen (\(x = 0\)):

Vi leter etter grafen som har:

• én vertikal asymptote til venstre for \(y\)-aksen (ved \(x = -2\)),
• horisontal asymptote ved \(y = 2\) (over \(x\)-aksen),
• nullpunkt ved \(x = 4\) (til høyre for \(y\)-aksen),
• skjærer \(y\)-aksen ved \(y = -4\) (under \(x\)-aksen).

Dette passer med graf C.

b

Vi finner kjennetegnene til \(g(x) = \dfrac{x^2 - 4}{(x-3)(x+3)}\).

Vertikale asymptoter der nevneren er null:

Grafene med to vertikale asymptoter er D, E og F.

Horisontal asymptote — teller og nevner er begge av grad 2:

Nullpunkter — faktoriser telleren:

Nullpunktene \(x = -2\) og \(x = 2\) ligger begge mellom de to asymptotene ved \(x = -3\) og \(x = 3\).

Skjæring med \(y\)-aksen (\(x = 0\)):

\(y\)-skjæringen er positiv og litt under den horisontale asymptoten \(y = 1\).

Vi leter etter grafen med:

• to vertikale asymptoter symmetrisk om \(y\)-aksen (ved \(x = \pm 3\)),
• horisontal asymptote ved \(y = 1\),
• to nullpunkter mellom asymptotene (ved \(x = \pm 2\)),
• \(y\)-skjæring mellom 0 og 1.

Dette passer med graf F.

Folketall i et område

En gruppe statistikere har sett på hvordan folketallet i et område har endret seg siden 1960, og laget en modell \(F\) gitt ved

for folketallet \(F(x)\) tusen innbyggere i området \(x\) år etter 1960.

Fasit

a) Folketallet var høyest etter \(\underline{\underline{x \approx 22{,}5 \text{~år (år 1982/1983)}}}\), med \(\underline{\underline{F(22{,}5) \approx 10{,}22 \text{~tusen innbyggere}}}\).
b) Stigningstallet er \(\underline{\underline{-0{,}1467 \text{~tusen innbyggere per år} \approx -147 \mathrm{~innb/år}}}\).
c) Folketallet avtar raskest etter \(\underline{\underline{x \approx 71{,}6 \text{~år (rundt år 2031/2032)}}}\).

Løsningsforslag

a

Vi skal finne når \(F(x)\) har sitt maksimum for \(x \in [0, 80]\).

Metode 1 – grafisk (toppunkt):

Vi plotter \(F(x)\) i GeoGebra og bruker verktøyet for å finne toppunktet. Grafen viser at toppunktet ligger ved \(x \approx 22{,}5\), se Topp i grafen.

Metode 2 – \(F'(x) = 0\) og fortegnstest:

Vi deriverer:

Vi løser \(F'(x) = 0\) i CAS (linje 4) og får to løsninger. Den ene er \(x \approx 22{,}5\) (innenfor domenet \([0, 80]\)) og den andre er \(x \approx 120{,}7\) (utenfor domenet).

Vi sjekker med andrederiverte (linje 3):

Siden \(F''(22{,}5) < 0\), er \(x \approx 22{,}5\) et toppunkt.

Funksjonsverdi (linje 5):

Folkretallet var høyest etter omtrent \(22{,}5\) år, det vil si rundt 1982/1983, med ca. 10 220 innbyggere.

b

Vi beregner stigningstallet til sekanten gjennom \((30, F(30))\) og \((70, F(70))\) (se CAS linje 6–8 og sekantlinjen sek i grafen):

Stigningstallet er \(\approx -0{,}1467\) tusen innbyggere per år.

Praktisk tolkning: Fra 1990 (\(x = 30\)) til 2030 (\(x = 70\)) avtok folketallet i gjennomsnitt med omtrent \(\mathbf{147}\) innbyggere per år.

c

Folketallet avtar raskest der \(F'(x)\) er mest negativ. Det skjer i vendepunktet til \(F\), altså der \(F''(x) = 0\).

Vi løser i CAS (linje 9):

Momentan vekstfart i dette punktet (linje 10):

\(x \approx 71{,}6\) svarer til år \(1960 + 71{,}6 \approx 2031/2032\), se vendepunktet Vend i grafen.

Ifølge modellen vil folketallet avta raskest rundt år 2031/2032, med en nedgang på ca. 195 innbyggere per år.

Areal av firekantet figur

I denne oppgaven skal du vise at du kan bruke trigonometri til å bestemme arealet av figuren ovenfor.

Fasit

\(\approx 38{,}6\)

Løsningsforslag

Vi deler firkanten ABCD i to trekanter ved å trekke diagonalen \(BD\).

Trekant ABD: Vi kjenner \(BD = 12\), \(\angle A = 125°\) og \(\angle ABD = 35°\).

Vinkelsummen gir den siste vinkelen:

Vi bruker sinussetningen til å finne \(AB\):

Deretter bruker vi arealsetningen for trekant ABD:

Trekant BCD: Vi kjenner \(BC = 6\), \(DC = 8\) og \(BD = 12\).

Vi bruker cosinussetningen til å finne \(\angle BCD\):

Deretter bruker vi arealsetningen for trekant BCD:

Vi beregner alt i CAS, se linje 1–6 i utklippet:

Fra linje 6 leser vi av at det totale arealet er

Arealet av figuren er \(\underline{\underline{\approx 38{,}6}}\).

Linjestykker og geometrisk vekst

I denne oppgaven skal du arbeide med linjestykker som settes sammen til en figur.

Skissen nedenfor viser de 16 første linjestykkene i figuren. Lengden av et linjestykke er alltid 90 % av lengden av det forrige linjestykket. Det første linjestykket er 100 cm langt.

Fasit

a) 569,5 cm
b) 22 linjestykker
c) 0,52 %

Løsningsforslag

a

Lengden reduseres med 10 % per linjestykke og den begynner på 100 cm. Da blir lengden av linjestykke nummer \(n\):

Jeg bruker et regneark til å legge sammen de 8 første linjestykkene.

Lengden av de 8 første linjestykkene er 569,5 cm.

b

n = 1
L = 100
total = L

while total < 900:      # Kjører så lenge totalen er under 900 cm
    L = L * 0.9         # Beregner nytt linjestykke
    total = total + L   # Legger til linjestykke på totallengden
    n = n + 1           # Teller hvor mange linjestykker

print("Etter", n, "linjestykker er lengden", round(total, 2), "cm.")

Output: Etter 22 linjestykker er lengden 901.52 cm.

Du må ha 22 linjestykker for at lengden skal bli minst 9 meter.

c

L = 100
total = L

for n in range(1, 101):
    if n == 50:            # Lagrer totallengden etter 50 figurer
        lengde_50 = total
    if n == 100:           # Lagrer totallengden etter 100 figurer
        lengde_100 = total
    L = L * 0.9            # Beregner nytt linjestykke
    total = total + L      # Legger til linjestykke på totallengden

prosent_endring = (lengde_100 - lengde_50) / (lengde_50) * 100

print(round(prosent_endring, 2))

Output: 0.52

Summen av lengdene øker med 0,52 % dersom vi øker antallet linjestykker fra 50 til 100.

Antall fiskere og regresjon

Tabellen nedenfor viser antall personer i Norge som hadde fiske som hovedyrke noen år i perioden 1952–2022.

Fasit

a) \(F(x)=66\,360 \cdot 0{,}9714^{x}\)
b) Ca. 3645 fiskere i 2050. Gyldighetsområde: \(x \in [0, 100]\).

Løsningsforslag

a

Jeg la inn årstallene, antall år etter 1950 og antallet fiskere i regnearket i GeoGebra. Se figuren.

Punktene så ut til å passe godt med en eksponentiell modell, og det virker fornuftig at antallet fiskere minker med en relativt fast prosentandel hvert år. Den eksponentielle modellen vil også aldri treffe 0, slik at den kan brukes langt fram i tid.

\(\underline{\underline{ F(x)=66\,360 \cdot 0{,}9714^{x} }}\) er en god modell for antall fiskere i denne perioden.

b

Vi kan bruke modellen for å finne ut hvor mange fiskere det vil være i 1950. Vi regner ut \(F(100)\) i GeoGebra siden 2050 tilsvarer \(x=100\).

Det er vanskelig å vurdere gydligheten til denne modellen. Jeg vurderer at vi ikke bør bruke den lenger fram i framtida enn 2050. For eksempel er det kun 854 fiskere igjen i 2100 ifølge modellen. Det høres lite ut. Et fornuftig gyldighetsområde kan være \(x \in \left[ 0,100 \right]\).

Det er omtrent 3645 fiskere i 2050 ifølge modellen vår. Jeg vurderer at modellen er gyldig fra 1950 til 2050.

Avstand mellom to funksjoner

Ovenfor har Sara tegnet grafene til funksjonene \(f\) og \(g\) gitt ved

Linjen \(x = 1\) skjærer grafen til \(f\) i punktet \(P\) og grafen til \(g\) i punktet \(Q\).

Sara skal tegne en ny linje \(x = a\) der \(a \in \langle 1, 3 \rangle\) i koordinatsystemet. Hun vil kalle skjæringspunktet mellom linjen og grafen til \(f\) for \(R\) og skjæringspunktet mellom linjen og grafen til \(g\) for \(S\).

Fasit

a) \(\underline{\underline{PQ = 6}}\)
b) \(\underline{\underline{a = \dfrac{1 + \sqrt{19}}{3}}}\)

Løsningsforslag

Vi bruker GeoGebra CAS til å løse oppgaven.

a

Vi definerer \(f\) og \(g\) og beregner funksjonsverdiene ved \(x = 1\) (linje 3–4 i CAS):

Siden \(P\) og \(Q\) ligger på den vertikale linjen \(x = 1\), er avstanden

b

For \(a \in \langle 1, 3 \rangle\) er \(f(a) > g(a)\), så avstanden fra \(R\) til \(S\) er

CAS forenkler dette til (linje 5–6):

Vi finner ekstremalstedene ved å derivere og sette \(d'(a) = 0\) (linje 7–8):

CAS gir løsningene \(a = \dfrac{-\sqrt{19}+1}{3}\) og \(a = \dfrac{\sqrt{19}+1}{3}\).

Siden \(a \in \langle 1, 3 \rangle\) er det kun \(a = \dfrac{1 + \sqrt{19}}{3} \approx 1{,}79\) som er aktuell.

Vi kontrollerer at det er et maksimum: \(d''(a) = -6a + 2\), og ved \(a \approx 1{,}79\) er \(d''(a) < 0\), så det er et maksimumspunkt.

Maksimal avstand fra \(R\) til \(S\) oppnås når

(Maksimumsverdien er \(d\left(\dfrac{1+\sqrt{19}}{3}\right) = \dfrac{2}{27}\left(19\sqrt{19}+28\right) \approx 8{,}21\).)

Tredjegradsfunksjon med ukjente koeffisienter

En tredjegradsfunksjon \(f\) er gitt ved

• Punktet \((-8, 0)\) er et toppunkt på grafen til \(f\).
• Den gjennomsnittlige vekstfarten til \(f\) i intervallet \([0, 5]\) er \(\dfrac{64}{5}\).

Fasit

\(a=\frac{1}{5}, b=\frac{11}{5},c=-\frac{16}{5}\)

Løsningsforslag

Vi vet at \(f'(x)=0\) i toppunktet, så jeg begynner med å derivere funksjonen og setter uttrykket lik null

Vi kan også sette opp en likning for funksjonsverdien ved toppunktet.

Til slutt kan vi sette opp en likning for gjennomsnittlig vekstfart i intervallet \(x \in \left[ 0,5 \right]\).

Det var først nå jeg la merke til at dette var en del 2 oppgave, så jeg løste likningssystemet i GeoGebra 😄. Se utklippet.

Rektangel under graf

Nedenfor ser du grafen til funksjonen \(f\) gitt ved

Rektangelet under grafen har hjørner i punktene \((0, 0)\), \((5, 0)\), \((5, f(5))\) og \((0, f(5))\).

Fasit

a) \(\frac{8}{9}\)
b) –
c) \(2\sqrt{ 5 } \approx 4{,}47\)

Løsningsforslag

a

Rektangelet har bredde \(5\) og høyde \(f(5)\).

Arealet er \(\underline{\underline{ \frac{8}{9} }}\).

b

Den enkleste måten å lage en systematisk oversikt er med et regneark.

c

Ut fra oversikten ser det ut til at svaret vil være når bredden er omtrent 4,5. For å bestemme dette eksakt kan vi lage en arealfunksjon:

For å finne toppunktet til funksjonen deriverer vi den i CAS og setter den deriverte lik 0.

Arealet er størst når \(\underline{\underline{ k=2\sqrt{ 5 } }}\).