Verifiser dobbeltvinkelformel med 30-60-90-trekant

Snorre har funnet formelen nedenfor i en matematikkbok

Fasit

Begge sider er lik \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), så formelen gjelder for \(u = 30\degree\).

Løsningsforslag

Fra 30-60-90-trekanten leser vi av sidene: hypotenus \(= 2\), kateten motstående \(30\degree\) er \(1\), og kateten motstående \(60\degree\) er \(\sqrt{3}\).

Dette gir oss de trigonometriske verdiene vi trenger:

Vi beregner venstre side av formelen med \(u = 30\degree\):

Vi beregner høyre side av formelen med \(u = 30\degree\):

Siden venstre side \(=\) høyre side \(= \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), er formelen \(2\sin(u)\cos(u) = \sin(2u)\) verifisert for \(u = 30\degree\).

Bunnpunkt på faktorisert andregradsfunksjon

Funksjonen \(f\) er gitt ved

Fasit

Bunnpunkt \(\underline{\underline{(-1,\,-4)}}\)

Løsningsforslag

Nullpunktene finner vi ved å sette \(f(x) = 0\):

En andregradsfunksjon er symmetrisk om aksen gjennom bunnpunktet. Symmetriaksen ligger midt mellom nullpunktene:

Vi beregner funksjonsverdien i \(x = -1\):

Bunnpunktet er \(\underline{\underline{(-1,\,-4)}}\).

Løs tredjegradsulikhet og illustrer grafisk

Funksjonen \(f\) er gitt ved

Fasit

\(x \in \langle -\infty, -6 \rangle \cup \langle -2, 1 \rangle\)

Løsningsforslag

Vi skal løse \(f(x) < 0\) der \(f(x) = x^3 + 7x^2 + 4x - 12\).

Første steg er å finne nullpunktene til \(f\).

Gjett et heltallsnullpunkt. Nullpunktene må være delere av konstantleddet \(-12\), altså blant \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12\). Vi prøver \(x = 1\):

Så \((x - 1)\) er en faktor.

Polynomdivisjon:

Vi kontrollerer: \((x-1)(x^2 + 8x + 12) = x^3 + 8x^2 + 12x - x^2 - 8x - 12 = x^3 + 7x^2 + 4x - 12\) ✓

Faktoriser andregradsuttrykket \(x^2 + 8x + 12\):

Dette gir \(x = -2\) og \(x = -6\).

Dermed kan vi skrive:

Nullpunktene er \(x = -6\), \(x = -2\) og \(x = 1\).

Fortegnsanalyse. Siden ledende koeffisient er positiv (\(+1\) foran \(x^3\)), er \(f(x) \to -\infty\) for \(x \to -\infty\) og \(f(x) \to +\infty\) for \(x \to +\infty\). Fortegnet skifter ved hvert nullpunkt:

Grafisk illustrasjon:

Kurven starter nedenfra (negativ), krysser \(x\)-aksen i \(x = -6\), går opp (positiv), krysser i \(x = -2\), går ned (negativ), og krysser til slutt i \(x = 1\) og fortsetter oppover. De røde skyggede områdene viser der \(f(x) < 0\).

Løsningen er der \(f(x) < 0\):

Begrunn tangensverdier i enhetssirkelen

I koordinatsystemet nedenfor har vi tegnet en sirkel med radius \(r = 1\). Punktet \(P(0{,}64,\ 0{,}77)\) ligger på sirkelen.

Fasit

a) Ja, \(\tan 50\degree > 1\)
b) Nei, \(\tan 130\degree < 0\)

Løsningsforslag

a

I enhetssirkelen er \(\cos v\) lik \(x\)-koordinaten og \(\sin v\) lik \(y\)-koordinaten til punktet på sirkelen. Tangensen er definert som

For \(v = 50\degree\) gir punktet \(P(0{,}64,\ 0{,}77)\) at

Siden \(y\)-koordinaten \(0{,}77\) er større enn \(x\)-koordinaten \(0{,}64\), blir forholdet større enn \(1\).

Ja, \(\tan 50\degree > 1\).

b

Vinkelen \(130\degree\) ligger i andre kvadrant. Her er \(x\)-koordinaten negativ og \(y\)-koordinaten positiv. Vi kan bruke symmetri i enhetssirkelen: \(130\degree = 180\degree - 50\degree\), og punktet på sirkelen ved \(130\degree\) har koordinater \((-0{,}64,\ 0{,}77)\).

Fordi \(x\)-koordinaten er negativ og \(y\)-koordinaten er positiv, er forholdet \(y/x\) negativt.

Nei, \(\tan 130\degree < 0\).

Identitet for kvadrert sum fra arealmodell

Ovenfor ser du et lite kvadrat og to rektangler som til sammen utgjør et stort kvadrat.

Hver side i det lille kvadratet har lengde \(s\).
Hver side i det store kvadratet har lengde \(s + t\).

Fasit

\(\underline{\underline{(s+t)^2 = s^2 + 2st + t^2}}\)

Løsningsforslag

Det store kvadratet har side \(s + t\), så arealet er

Samtidig ser vi av figuren at det store kvadratet er satt sammen av fire deler:

• Et lite kvadrat med side \(s\): areal \(= s^2\)
• To rektangler med sider \(s\) og \(t\): areal \(= s \cdot t = st\) per rektangel, altså \(2st\) til sammen
• Et lite kvadrat med side \(t\): areal \(= t^2\)

Summen av delarealene gir det totale arealet:

Siden begge uttrykkene beskriver arealet av det samme store kvadratet, er de like:

Avisabonnenter, sekant og momentan vekstfart

Funksjonen \(P\) gitt ved

er en modell som viser hvor mange personer som abonnerte på papirutgaven av en avis \(x\) år etter 2010.

I 2019 abonnerte 1000 personer på den digitale utgaven av avisen. Antallet personer som abonnerte på den digitale utgaven, økte med 5,5 % hvert år fra 2019 til 2024.

Fasit

a) \(\underline{\underline{P(0) = 4200}}\) abonnenter i 2010.
b) Stigningstallet er \(\underline{\underline{\approx -150{,}93}}\). I gjennomsnitt mistet papirutgaven ca. 151 abonnenter per år i perioden 2014–2024.
c) \(\underline{\underline{P'(10) \approx -115{,}18}}\). I 2020 falt antall papir­abonnenter med ca. 115 per år momentant.
d) \(\underline{\underline{2022}}\) var første år da digitale abonnenter oversteg papir­abonnenter.

Løsningsforslag

a

Vi skal finne antall abonnenter på papirutgaven i 2010, som tilsvarer \(x = 0\).

Metode 1 – direkte innsetting:

Metode 2 – tolke modellen:

I uttrykket \(P(x) = 3600 \cdot 0{,}85^x + 600\) er leddet \(3600 \cdot 0{,}85^x\) en eksponentialfunksjon som starter i \(3600\) når \(x = 0\). Konstanten \(600\) er horisontal asymptote. Startverdien er dermed \(3600 + 600 = 4200\).

I 2010 abonnerte \(\underline{\underline{4200}}\) personer på papirutgaven.

b

Stigningstallet til sekanten gjennom \((4,\ P(4))\) og \((14,\ P(14))\) er den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet \([4, 14]\).

Vi beregner funksjonsverdiene:

Stigningstallet (gjennomsnittlig vekstfart):

Sekantlinjen er \(\textcolor{tomato}{sek(x) = -150{,}93x + 3082{,}92}\) (vist i oransje på grafen, med punktene \(A = (4,\ 2479{,}22)\) og \(B = (14,\ 969{,}97)\)).

Praktisk tolkning: Fra 2014 til 2024 mistet papirutgaven i gjennomsnitt ca. 151 abonnenter per år.

c

Den momentane vekstfarten er den deriverte \(P'(x)\).

Siden \(P(x) = 3600 \cdot 0{,}85^x + 600\) er en eksponentialfunksjon, bruker vi at \((a^x)' = a^x \cdot \ln a\):

CAS bekrefter (se utklipp fra GeoGebra CAS):

Ved \(x = 10\):

Praktisk tolkning: I 2020 (\(x = 10\)) falt antall papir­abonnenter med ca. 115 per år momentant.

d

Vi setter opp modellen for digitale abonnenter. I 2019 (\(x = 9\)) var det 1000 digitale abonnenter, og antallet økte med 5,5 % per år:

Vi sjekker heltallsverdiene rundt der de to grafene krysser hverandre (synlig på grafen ca. ved \(x \approx 11{,}7\)):

I 2021 var det fortsatt flere papir­abonnenter enn digitale. I 2022 oversteg digitale abonnenter papir­abonnenter for første gang.

\(\underline{\underline{2022}}\) var første år da flere abonnerte digitalt enn på papir.

Stjernens areal med arealsetningen

Maria skal lage en stjerne ved å sette sammen 12 like store likesidede trekanter. Lengdene av sidekantene i trekantene er 4.

Ved å bruke Pytagoras' setning og arealberegninger har Maria kommet fram til at arealet av stjernen vil bli \(48\sqrt{3}\).

Fasit

Arealet av stjernen er \(\underline{\underline{48\sqrt{3}}}\).

Løsningsforslag

Stjernen er satt sammen av 12 like store likesidede trekanter med sidelengde 4.

En likesidet trekant har alle vinkler lik \(60°\). Vi bruker arealsetningen på én trekant, der to sider er \(a = b = 4\) og den innesluttede vinkelen er \(C = 60°\):

Det totale arealet av stjernen er 12 slike trekanter:

CAS-beregning bekrefter:

Arealet av stjernen er \(\underline{\underline{48\sqrt{3}}}\).

Rasjonal funksjon fra asymptoter og nullpunkt

En rasjonal funksjon \(f\) har asymptotene \(x = 2\) og \(y = 4\).
Nullpunktet til funksjonen er \(x = -3\).

Fasit

Løsningsforslag

En rasjonal funksjon kan alltid skrives på formen

der \(x_0\) er nullpunktet, \(x_1\) gir den vertikale asymptoten, og \(a\) bestemmer den horisontale asymptoten.

Vertikal asymptote \(x = 2\): Nevneren er null når \(x = 2\), så nevneren har faktoren \((x - 2)\).

Nullpunkt \(x = -3\): Telleren er null når \(x = -3\), så telleren har faktoren \((x + 3)\).

Funksjonen er dermed

Horisontal asymptote \(y = 4\): Når \(x \to \pm\infty\) dominerer de ledende leddene:

Vi trenger \(a = 4\).

Funksjonsuttrykket blir:

Verifikasjon:

• \(f(-3) = \frac{4 \cdot 0}{-3-2} = 0\) — nullpunkt i \(x = -3\) ✓
• \(f(2)\): nevner \(= 0\) — vertikal asymptote i \(x = 2\) ✓
• \(f(x) \to 4\) når \(x \to \pm\infty\) — horisontal asymptote \(y = 4\) ✓

Grafen nedenfor viser begge grenene av \(f\), de stiplede asymptotene og nullpunktet \((-3, 0)\):

Programmer fakultet og forklar nuller i 100!

\(n!\) leses som «\(n\) fakultet» og er produktet av de naturlige tallene fra og med 1 til og med \(n\). Se eksemplene nedenfor.

\(100!\) er et produkt av 100 faktorer, \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 99 \cdot 100\).

Fasit

a) Se program under. \(5! = 120\), \(10! = 3\,628\,800\), \(15! = 1\,307\,674\,368\,000\).
b) \(\underline{\underline{24}}\) sluttende nuller i \(100!\)

Løsningsforslag

a

Vi lager en funksjon fakultet(n) som starter med \(f = 1\) og multipliserer med hvert tall fra 1 til og med \(n\) i en løkke:

def fakultet(n):
    f = 1
    for i in range(1, n + 1):
        f = f * i
    return f

print(fakultet(5))   # 120
print(fakultet(10))  # 3628800
print(fakultet(15))  # 1307674368000

Programmet gir

b

En sluttende null oppstår fordi \(10 = 2 \cdot 5\). Antall sluttende nuller i \(100!\) er derfor lik antall ganger vi kan skrive \(10\) som en faktor i produktet \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 100\), det vil si \(\min(\text{antall faktorer 2},\ \text{antall faktorer 5})\).

Faktorer 2 forekommer langt oftere enn faktorer 5 (hvert partall bidrar med minst én faktor 2), så det avgjørende er antall faktorer 5.

Vi teller faktorer 5 i \(100!\) ved å se hvilke tall som bidrar:

• Multipler av \(5\) (gir minst én faktor 5 hver): \(\left\lfloor \dfrac{100}{5} \right\rfloor = 20\) stykker.
• Multipler av \(25 = 5^2\) (gir én ekstra faktor 5 hver): \(\left\lfloor \dfrac{100}{25} \right\rfloor = 4\) stykker.
• Multipler av \(125 = 5^3\): \(\left\lfloor \dfrac{100}{125} \right\rfloor = 0\) stykker.

Totalt antall faktorer 5:

Siden det er minst 24 faktorer 2 (faktisk mange flere), kan vi danne nøyaktig \(24\) par \((2 \cdot 5) = 10\).

\(100!\) har derfor \(\underline{\underline{24}}\) sluttende nuller.

Tredjegradsfunksjon fra punkt, toppunkt og tangent

Du får vite følgende om en tredjegradsfunksjon \(f\) gitt ved

• Grafen til \(f\) går gjennom punktet \((2,\ 6)\).
• Punktet \((-2,\ 8)\) er et toppunkt på grafen til \(f\).
• Tangenten til grafen til \(f\) i punktet \((3,\ f(3))\) har stigningstall 4.

Fasit

Løsningsforslag

Vi kjenner \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) og \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\).

De tre opplysningene gir fire likninger (toppunktet gir to — ett fra \(f\)-verdien og ett fra at den deriverte er null):

Vi løser likningssystemet i GeoGebra CAS:

CAS gir:

Dermed er

Areal av firkant ABCD med trigonometri

Klassen til Isabel og Anniken skal vise at de kan bruke trigonometri for å bestemme arealet av figuren nedenfor.

Læreren har delt klassen i grupper og gitt hver gruppe noen opplysninger i tillegg til informasjonen som kan leses ut fra figuren.

Gruppen til Isabel har fått vite at \(AD = 6{,}0\), \(BC = 10{,}0\) og at diagonalen \(AC = 16{,}4\).

Gruppen til Anniken har fått vite at \(\angle A = 62{,}5\degree\), \(\angle C = 38{,}3\degree\), \(\angle ABD = 45{,}5\degree\) og \(\angle CBD = 85{,}5\degree\).

Fasit

a) \(\underline{\underline{\text{Areal} \approx 58{,}5 \, \mathrm{m}^2}}\)
b) \(\underline{\underline{\text{Areal} \approx 58{,}5 \, \mathrm{m}^2}}\)

Løsningsforslag

Utregningene er gjort i GeoGebra CAS:

a

Vi deler firkanten \(ABCD\) i to trekanter ved å trekke diagonalen \(AC\).

Trekant \(ABC\) — finn \(\angle B\) med cosinussetningen:

Vi kjenner alle tre sidene \(AB = 8{,}0\), \(BC = 10{,}0\) og \(AC = 16{,}4\), og bruker cosinussetningen til å finne \(\angle ABC\):

Areal av \(\triangle ABC\) med arealsetningen:

Trekant \(ACD\) — finn \(\angle D\) med cosinussetningen:

Vi kjenner \(AD = 6{,}0\), \(DC = 12{,}0\) og \(AC = 16{,}4\):

Areal av \(\triangle ACD\) med arealsetningen:

Totalt areal:

b

Vi deler firkanten \(ABCD\) i to trekanter ved å trekke diagonalen \(BD\).

Trekant \(ABD\) — finn \(BD\) med sinussetningen:

Vinklene i \(\triangle ABD\) er \(\angle A = 62{,}5\degree\), \(\angle ABD = 45{,}5\degree\), og dermed:

Vi bruker sinussetningen med den kjente siden \(AB = 8{,}0\):

Areal av \(\triangle ABD\) med arealsetningen:

Trekant \(BCD\) — finn \(\angle BDC\):

Vinklene er \(\angle C = 38{,}3\degree\), \(\angle CBD = 85{,}5\degree\), og dermed:

Areal av \(\triangle BCD\) med arealsetningen:

Totalt areal:

Optimalisering av grønnsakhage med 100 m gjerde

Else skal gjerde inn tre områder for å lage en grønnsakhage. Det største området skal ha form som et rektangel og de to minste som likebeinte rettvinklede trekanter. Se figuren ovenfor.

Else skal sette opp gjerde langs alle linjestykkene vist på figuren ovenfor.
Hun har til sammen 100 m gjerde som hun vil bruke.

Fasit

a) \(\underline{\underline{A \approx 245{,}5 \, \mathrm{m}^2}}\)
b) Tabellen viser at maksimum er rundt \(x \approx 10\)–\(11 \, \mathrm{m}\).
c) \(\underline{\underline{A(x) = 50x - x^2(1 + \sqrt{2})}}\)
d) \(\underline{\underline{x = 25(\sqrt{2}-1) \approx 10{,}36 \, \mathrm{m}}}\), maksimalt areal \(\underline{\underline{A = 625(\sqrt{2}-1) \approx 258{,}9 \, \mathrm{m}^2}}\)
e) \(\underline{\underline{0 < x < 25(2-\sqrt{2}) \approx 14{,}6}}\)

Løsningsforslag

Vi lar \(x\) være lengden på katetene i de to likebeinte rettvinklede trekantene, og \(y\) være lengden på rektangelets lange side.

Bibetingelse (totalt gjerde = 100 m):

Gjerdet består av to lange rektangelsider (\(2y\)), to korte rektangelsider (\(2x\)) og per trekant: én ekstra katet (\(x\)) og én hypotenus. Hypotenusen i en likebeint rettvinklet trekant med kateter \(x\) er \(x\sqrt{2}\) (Pytagoras). Siden den delte kateten allerede er telt som rektangelets korte side, bidrar hver trekant med \(x + x\sqrt{2}\) ekstra til gjerdet:

a

Vi setter \(x = 8\):

Arealet av rektangelet:

Arealet av to likebeinte rettvinklede trekanter med kateter \(x\):

Totalt areal:

b

Vi beregner \(A(x) = 50x - x^2(1+\sqrt{2})\) for ulike verdier av \(x\):

Av tabellen ser vi at arealet er størst rundt \(x \approx 10\) m.

c

En likebeint rettvinklet trekant med kateter \(x\) har areal \(\frac{x^2}{2}\). To slike trekanter gir samlet areal \(x^2\).

Med bibetingelsen \(y = 50 - 2x - x\sqrt{2}\) blir det totale arealet:

d

Vi bruker CAS til å finne \(A'(x)\) og løse \(A'(x) = 0\):

CAS gir:

(rasjonalisert ved å gange med \(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}\))

Maksimalt areal:

Siden \(A'(x) > 0\) for \(x < 25(\sqrt{2}-1)\) og \(A'(x) < 0\) for \(x > 25(\sqrt{2}-1)\), er dette et maksimum.

Grafen bekrefter resultatet:

Katetlengden \(x = 25(\sqrt{2}-1) \approx 10{,}36 \, \mathrm{m}\) gir størst areal på \(625(\sqrt{2}-1) \approx 258{,}9 \, \mathrm{m}^2\).

e

For at modellen skal gi mening må både \(x > 0\) og \(y > 0\):

Gyldighetsområdet er: