Bestem målestokk fra kart

På et kart er avstanden mellom to byer 10 cm. I virkeligheten er denne avstanden 5 km.

Fasit

Målestokk \(1 : 50\,000\)

Løsningsforslag

Vi skal finne forholdet mellom karstavstand og virkelig avstand.

Først gjør vi om den virkelige avstanden til samme enhet som kartavstanden (centimeter):

Målestokken er forholdet mellom kartavstand og virkelig avstand:

Målestokken til kartet er \(\underline{\underline{1 : 50\,000}}\).

Statistikk på Lars arbeidstid

Lars arbeider i en butikk etter skoletid og i helgene. Nedenfor ser du hvor mange timer han har arbeidet hver av de 10 siste dagene:

Fasit

a) Gjennomsnitt: 4,2 timer. Median: 4,5 timer.
b) 8

Løsningsforslag

a

Data sortert i stigende rekkefølge:

Gjennomsnittet er 4,2 timer og medianen er 4,5 timer.

b

Den kumulative frekvensen for 5 timer er antall dager der Lars jobbet høyst 5 timer. Vi teller antall verdier som er mindre eller lik 5 timer: \(0, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5\).

Den kumulative frekvensen for 5 timer er 8. Det betyr at Lars jobbet høyst 5 timer på 8 av de 10 siste dagene.

Formlike trekanter og areal

Even har tegnet en rettvinklet trekant. Den ene kateten er 10 cm, og den andre kateten er 5 cm. Even vil tegne en ny trekant som er formlik med den trekanten han har tegnet. Arealet av den nye trekanten skal være \(64 \mathrm{~cm^2}\).

Fasit

Katetene i den nye trekanten er \(\underline{\underline{16 \, \mathrm{cm}}}\) og \(\underline{\underline{8 \, \mathrm{cm}}}\).

Løsningsforslag

Evens originale trekant har kateter \(10 \, \mathrm{cm}\) og \(5 \, \mathrm{cm}\).

Arealet av den originale trekanten er:

Når to trekanter er formlike, er alle sidene skalert med den samme faktoren \(k\). Siden arealet er et produkt av to lengder, skalerer arealet med \(k^2\):

Vi setter inn \(A_2 = 64\) og \(A_1 = 25\):

De nye katetene er:

Kontroll: \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 8 = 64 \, \mathrm{cm}^2\) ✓

Katetene i den nye trekanten er \(\underline{\underline{16 \, \mathrm{cm}}}\) og \(\underline{\underline{8 \, \mathrm{cm}}}\).

Løse likningssystem for Markus

Markus arbeider med likningssystemet nedenfor.

Fasit

\(\underline{\underline{x = 3}}\) og \(\underline{\underline{y = 0}}\)

Løsningsforslag

Vi bruker innsettingsmetoden. Den første likningen er allerede løst for \(y\):

Vi setter dette inn for \(y\) i den andre likningen:

Nå setter vi \(x = 3\) tilbake i den første likningen for å finne \(y\):

Svaret er \(x = 3\) og \(y = 0\).

Utslippsreduksjon med prosentvis nedgang

Sara har lest om en bedrift som regner med å slippe ut \(200 \,\mathrm{tonn}\) CO\(_2\) i 2025.

Bedriften har som mål å redusere utslippet med \(2{,}5 ~\%\) hvert år framover.

Sara har laget programmet nedenfor:

1234567891011def f(x):
	return 200 * 0.975 ** x

x = 0
s = 0

while x <= 4:
	s = s + f(x)
	x = x + 1
	
print(s)

Fasit

a) Uttrykket gir utslippet (tonn CO₂) \(x\) år etter 2025
b) Det totale CO₂-utslippet i 2025–2029 (\(\approx 951 \, \mathrm{tonn}\))

Løsningsforslag

a

Linje 2 i programmet er return 200 * 0.975 ** x.

• \(200\) er utslippet i tonn CO₂ i 2025
• \(0{,}975 = 1 - 0{,}025\) er vekstfaktoren når utslippet reduseres med \(2{,}5 \,\%\) per år
• \(x\) er antall år etter 2025

Uttrykket \(200 \cdot 0{,}975^x\) gir utslippet (i tonn CO₂) \(x\) år etter 2025.

b

Programmet beregner \(f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4)\), altså summen av utslippet for \(x = 0, 1, 2, 3, 4\).

Dette tilsvarer utslippet i 2025, 2026, 2027, 2028 og 2029.

Verdien som skrives ut (\(\approx 951 \, \mathrm{tonn}\)), er det totale CO₂-utslippet fra bedriften i perioden 2025–2029.

Salg av iste

En bedrift produserer iste. Funksjonen gitt ved

er en modell som viser hvor mange flasker av isteen bedriften regner med å selge hver måned fra og med desember 2024.

For å regne ut salget i desember 2024 kan vi sette \(x = 0\), for å regne ut salget i januar 2025 kan vi sette \(x = 1\), og så videre.

Fasit

a) Des. 2025: \(\approx 1051\) flasker; selger \(> 2000\) fra mars 2027 (\(x = 27\))
b) \(\approx 188 \,\%\) økning

Løsningsforslag

a

Metode 1 – bruke modellen direkte:

Desember 2025 er 12 måneder etter desember 2024, så vi setter \(x = 12\):

For å finne når salget overstiger 2000 flasker løser vi \(F(x) > 2000\):

Det vil si at fra og med \(x = 27\) (mars 2027) vil salget overstige 2000 flasker.

Metode 2 – grafisk løsning:

Vi tegner \(F(x) = 620 \cdot 1{,}045^x\) og leser av. For spørsmål 1 leser vi av \(y\)-verdien ved \(x = 12\) (grønt punkt). For spørsmål 2 finner vi skjæringspunktet mellom \(F(x)\) og linjen \(y = 2000\) (rødt punkt).

Fra grafen leser vi av:

1. I desember 2025 regner bedriften med å selge omtrent \(\underline{\underline{1051 \text{ flasker}}}\) iste.

2. Fra og med \(x = 27\), som tilsvarer mars 2027, vil bedriften for første gang selge mer enn \(\underline{\underline{2000 \text{ flasker}}}\) i løpet av en måned.

b

Fra desember 2024 (\(x = 0\)) til desember 2026 (\(x = 24\)):

Vi kan også bruke at vekstfaktoren over 24 måneder er \(1{,}045^{24} \approx 2{,}876\), dvs. \(188 \,\%\) økning.

Salget vil øke med omtrent \(\underline{\underline{188 \,\%}}\) fra desember 2024 til desember 2026.

Kjøpekraft og konsumprisindeks

Tabellen nedenfor viser gjennomsnittlig månedslønn for arbeidstakere i Norge i perioden 2015–2022. Tabellen viser også konsumprisindeksen (KPI) de samme årene.

Fasit

Se tabell og graf i løsningsforslaget. Kjøpekraften falt i 2016 og 2022, og steg i alle andre år. Totalt økte kjøpekraften med ca. \(\underline{\underline{702 \, \mathrm{kr}}}\) (ca. \(\underline{\underline{1{,}6 \,\%}}\)) fra 2015 til 2022.

Løsningsforslag

For å undersøke kjøpekraften justerer vi månedslønnen for prisvekst ved hjelp av konsumprisindeksen (KPI). KPI forteller oss hvor mye prisene har steget sammenlignet med basisåret 2015, der KPI = 100.

Formel for kjøpekraft i faste 2015-kroner:

Eksempel for 2016:

Oversikt over kjøpekraft og endringer år for år:

Grafen nedenfor viser kjøpekraften i perioden (x = 0 tilsvarer 2015, x = 7 tilsvarer 2022):

Konklusjon: Kjøpekraften falt i 2016 og i 2022 (begge år med høy prisvekst som oversteg lønnsveksten). I alle andre år økte kjøpekraften. Fra 2015 til 2022 økte den totale kjøpekraften med omtrent \(702 \, \mathrm{kr}\), som tilsvarer ca. \(1{,}6 \,\%\). Den reelle lønnsveksten var altså svært beskjeden over denne perioden.

Argumenter for at prosentregnestykker gir samme svar

Chris arbeider med de seks oppgavene nedenfor. Han har systematisert oppgavene i tre kolonner og kaller de to oppgavene som står i samme kolonne, for et oppgavepar.

Fasit

\(a \,\%\) av \(b\) \(=\) \(\frac{a \cdot b}{100}\) \(=\) \(b \,\%\) av \(a\) (multiplikasjon er kommutativ)

Løsningsforslag

«\(a \,\%\) av \(b\)» betyr \(\frac{a}{100} \cdot b = \frac{a \cdot b}{100}\).

«\(b \,\%\) av \(a\)» betyr \(\frac{b}{100} \cdot a = \frac{b \cdot a}{100}\).

Siden multiplikasjon er kommutativ (\(a \cdot b = b \cdot a\)), gir de to regnestykket alltid det samme svaret:

Vi kan bytte om tallene i prosentoppgaver: \(a \,\%\) av \(b\) gir alltid samme svar som \(b \,\%\) av \(a\), fordi vi i begge tilfeller deler produktet \(a \cdot b\) på \(100\). Multiplikasjon er kommutativ.

En fotoklubb arrangerer quiz hver torsdag. Det er tre lag som alltid deltar på quizen. På hvert av lagene er det seks personer.

Nedenfor ser du alderen til de seks personene på lag A:

Du får vite dette om alderen til personene som er med på hvert av de to andre lagene:

Fasit

a) Median \(= 34{,}5 \, \text{år}\), gjennomsnitt \(= 40 \, \text{år}\), \(\sigma \approx 23{,}2 \, \text{år}\)
b) Se løsningsforslag for beskrivelse
c) Se løsningsforslag for eksempel

Løsningsforslag

a

Lag A sortert: \(15, 18, 24, 45, 60, 78\)

Medianalder:

Seks personer → gjennomsnittet av den 3. og 4. verdien:

Gjennomsnittsalder:

Standardavvik (beregnet med kalkulator):

Medianen er 34,5 år, gjennomsnittsalderen er 40 år og standardavviket er 23,2 år.

b

Lag B har høyere median og høyere gjennomsnitt enn lag A, men lavere standardavvik. Det betyr at personene på lag B generelt er eldre enn på lag A, og at de er mer jevnaldrende (mindre variasjon i alderen).

Lag C har lavere median men høyere gjennomsnitt enn lag A. Det tyder på at det er en eller noen få personer med svært høy alder som drar gjennomsnittet opp, mens over halvparten er yngre enn medianen på lag A. Det høyere standardavviket bekrefter at aldersfordelingen er mer spredt enn på lag A.

c

Eksempel på lag B (median > 34,5, gjennomsnitt > 40, SD < 23,2):

• Median: \(\frac{42+45}{2} = 43{,}5 > 34{,}5\) ✓
• Gjennomsnitt: \(\frac{270}{6} = 45 > 40\) ✓
• SD \(\approx 5{,}9 < 23{,}2\) ✓

Eksempel på lag C (median < 34,5, gjennomsnitt > 40, SD > 23,2):

• Median: \(\frac{30+35}{2} = 32{,}5 < 34{,}5\) ✓
• Gjennomsnitt: \(\frac{250}{6} \approx 41{,}7 > 40\) ✓
• SD \(\approx 30{,}6 > 23{,}2\) ✓

Nettoinntekt med overtid

Tobine har en fast arbeidstid på \(162{,}5\) timer hver måned og en fast månedslønn på \(35\,750\) kroner.

Ved overtid får hun et tillegg på \(40\,\%\).

Tobine har et pensjonstrekk på \(2\,\%\) og et skattetrekk på \(18\,\%\).

En måned arbeidet hun 10 timer overtid.

Fasit

Nettoinntekt: \(\underline{\underline{31\,254{,}30 \, \mathrm{kr}}}\)

Løsningsforslag

Jeg kunne brukt regneark her, men jeg synes det er like enkelt å regne denne for hånd.

Steg 1 – Timelønn

Steg 2 – Overtidslønn per time

Overtid gir \(40\,\%\) tillegg, altså \(140\,\%\) av ordinær timelønn:

Steg 3 – Overtidsinntekt

Steg 4 – Bruttolønn

Steg 5 – Pensjonstrekk
Det er vanlig å kun betale pensjonstrekk for den faste lønna.

Steg 6 – Trekkgrunnlag

Steg 7 – Skattetrekk

Steg 6 – Nettoinntekt

Tobines nettoinntekt denne måneden er \(\mathbf{31\,254{,}3 \, \mathrm{kr}}\).

Lag presentasjon om statistikk for tidsbruk på ulike aktiviteter

Tabellen nedenfor viser hvor mange timer menn og kvinner brukte på ulike aktiviteter en gjennomsnittsdag i 1970, 1990 og 2010:

Tenk deg at du skal presentere funn fra dette datamaterialet for klassen din.

Gjør beregninger og sammenlikninger, og lag ulike framstillinger som du kan bruke i en presentasjon. Presentasjonen skal inneholde både beregninger, diagrammer og forklarende kommentarer.

Fasit

Åpen oppgave – se løsningsforslag for eksempel

Løsningsforslag

Dette er en åpen presentasjonsoppgave uten ett fasitsvar. Her er et eksempel på funn og framstillinger:

Beregninger:

Prosentvis endring i inntektsgivende arbeid for menn fra 1970 til 2010:

Prosentvis endring i inntektsgivende arbeid for kvinner fra 1970 til 2010:

Interessante funn:

• Menns tid på inntektsgivende arbeid har gått ned med ca. 24 % fra 1970 til 2010, mens kvinners tid har økt med ca. 57 %.
• Kvinner brukte i 1970 nesten tre ganger så mye tid på husholdsarbeid som menn (5,92 mot 2,22 timer), mens i 2010 er forskjellen mye mindre (3,83 mot 3,00 timer).
• Menn og kvinner bruker omtrent like mye tid på utdanning i alle tre årstall.

Mulig diagram: Et gruppert søylediagram der man sammenligner menn og kvinner for hvert år, eller et linjediagram som viser utviklingen fra 1970 til 2010 for hver kategori.

Forbrukslån med betalingsplan

Julia har tatt opp et forbrukslån som skal betales ned i løpet av de neste 12 månedene.

Hun skal betale ned på lånet hver måned.

Betalingsplanen ser slik ut:

Fasit

• Annuitetslån
• Julia lånte \(\underline{\underline{75\,000 \, \mathrm{kr}}}\)
• Månedlig rente: \(\underline{\underline{1{,}70 \,\%}}\)

Løsningsforslag

Vi bruker betalingsplanen i regnearket nedenfor.

Serielån eller annuitetslån?

Vi ser på terminbeløpet (det Julia betaler hver måned):

• Alle terminbeløp er kr 6 962,00 (unntatt siste måned som er kr 6 961,39 på grunn av avrunding).

Terminbeløpet er konstant gjennom hele nedbetalingsperioden.

Vi ser også at avdraget øker for hver måned (fra kr 5 687 i mnd 1 til kr 6 845 i mnd 12), mens rentene synker.

Dette er kjennetegnet på et annuitetslån: konstant terminbeløp, voksende avdrag og synkende renter.

Julia har et annuitetslån.

Opprinnelig lånebeløp

Det opprinnelige lånet er restlånet etter måned 1 pluss avdraget i måned 1:

Julia lånte \(\underline{\underline{75\,000 \, \mathrm{kr}}}\).

Månedlig rentesats

Rentene i måned 1 beregnes av det opprinnelige lånet:

Vi kan verifisere med måned 2: restlånet etter mnd 1 er kr 69 313,00, og

som stemmer nøyaktig med tabellen.

Den månedlige renten er \(\underline{\underline{1{,}70 \,\%}}\).

Volum og areal for lesehule

En barneskole skal kjøpe lesehuler til de yngste elevene.

En lesehule har mål som vist på tegningen nedenfor. Dybden er 1000 mm.

Lesehulen har en sekskantet inngang. Sekskanten er regulær. Alle sidene i sekskanten er 398 mm.

Fasit

a) \(\underline{\underline{V \approx 1{,}29 \, \mathrm{m}^3}}\)
b) \(\underline{\underline{A \approx 0{,}41 \, \mathrm{m}^2}}\)

Løsningsforslag

Lesehulen har et husformet tverrsnitt (rektangel + trekant) og en dybde på 1000 mm.

GeoGebra bekrefter at tverrsnittsarealet er \(1\,287\,000 \, \mathrm{mm}^2\) (se «Hus = 1287000» i figuren).

a

Vi deler tverrsnittet i et rektangel (veggene) og en trekant (taket).

Rektangel:

Trekant (taket):

Totalt tverrsnittareal:

Volum = tverrsnittareal × dybde:

Vi konverterer til kubikkmeter (\(1 \, \mathrm{m}^3 = 10^9 \, \mathrm{mm}^3\)):

b

En regulær sekskant med sidelengde \(s\) har arealet:

Med \(s = 398 \, \mathrm{mm}\):

Vi konverterer til kvadratmeter (\(1 \, \mathrm{m}^2 = 10^6 \, \mathrm{mm}^2\)):