Prosentvis prisøkning 2P-Y H25

Prisen for en vare settes opp fra 300 kroner til 315 kroner.

Fasit

5 %

Løsningsforslag

Vi skal finne hvor mange prosent prisen øker med når den går fra 300 kr til 315 kr.

Først finner vi økningen i kroner:

Deretter finner vi hvor mange prosent denne økningen utgjør av den opprinnelige prisen:

Prisen settes opp med \(\underline{\underline{5\,\%}}\).

Prisindeks og sammenligning

I 2024 var indeksen for en vare 120. Varen kostet da 400 kroner. I 2022 var indeksen for den samme varen 90.

Fasit

\(\underline{\underline{300 \, \mathrm{kr}}}\)

Løsningsforslag

Indeksen viser prisen i forhold til et basisår. Siden vi kjenner prisen i 2024, kan vi finne prisen i 2022 ved å bruke forholdet mellom indeksene:

Vi setter inn de kjente verdiene:

Vi forenkler brøken \(\dfrac{90}{120} = \dfrac{3}{4}\), og regner ut:

Varen kostet \(\underline{\underline{300 \, \mathrm{kr}}}\) i 2022.

Modell av Eiffeltårnet

Eiffeltårnet i Paris er 330 meter høyt. Ellen har kjøpt en modell av Eiffeltårnet i målestokk \(1 : 1100\).

Fasit

Modellen er \(\underline{\underline{30 \, \mathrm{cm}}}\) høy.

Løsningsforslag

Målestokk \(1 : 1100\) betyr at én centimeter på modellen svarer til \(1100\) centimeter (altså \(11\) meter) i virkeligheten.

Vi regner om tårnets høyde til centimeter:

For å finne modellhøyden deler vi på målestokktallet:

Modellen er \(\underline{\underline{30 \, \mathrm{cm}}}\) høy.

Pariserhjul statistikk 2P-Y H25

I et pariserhjul er det 20 vogner. Det er plass til 4 personer i hver vogn. Nedenfor ser du hvor mange personer det var i vognene på et tidspunkt.

Stine påstår at fem vogner var tomme.

Fasit

b) Gjennomsnitt: 2,2 personer. Median: 2,5 personer
c) Kumulativ frekvens: 10. Det var 10 vogner med 2 eller færre personer i.

Løsningsforslag

a

Vi vet at det er 20 vogner totalt. Fra tabellen kan vi finne hvor mange vogner som hadde personer i seg:

Antall tomme vogner blir da:

Dette viser at Stines påstand er riktig - det var \(\underline{\underline{5}}\) tomme vogner.

b

Vi skal finne gjennomsnittet og medianen for antallet personer i hver vogn.

Gjennomsnitt:

For å finne gjennomsnittet må vi summere alle personene og dele på antall vogner:

Median:

For å finne medianen må vi sortere alle vognene etter antall personer. Vi har:

• 5 vogner med 0 personer
• 2 vogner med 1 person
• 3 vogner med 2 personer
• 4 vogner med 3 personer
• 6 vogner med 4 personer

Sortert liste: \(0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, \textcolor{steelblue}{2}, \textcolor{seagreen}{3}, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4\)

Siden vi har 20 vogner (et partall), blir medianen gjennomsnittet av vogn nummer 10 og 11:

Gjennomsnittet er \(\underline{\underline{2{,}2}}\) personer per vogn, og medianen er \(\underline{\underline{2{,}5}}\) personer per vogn.

c

Kumulativ frekvens forteller oss hvor mange vogner som har to personer eller færre.

Framgangsmåte:

Vi summerer antall vogner med 0, 1 og 2 personer:

Praktisk tolkning: Den kumulative frekvensen for to personer er \(\underline{\underline{10}}\). Dette betyr at 10 vogner hadde 2 personer eller færre i seg. Med andre ord: halvparten av vognene var enten tomme eller hadde maksimalt 2 personer.

Trekant i sirkel

Regine har tegnet en rettvinklet trekant. Den ene kateten er 6 cm, og den andre kateten er 8 cm. Hun har plassert trekanten inne i en sirkel slik at hypotenusen er en diameter i sirkelen.

Fasit

Arealet av sirkelen er \(\underline{\underline{25\pi \approx 78{,}5 \, \mathrm{cm^2}}}\), som er større enn \(75 \, \mathrm{cm^2}\).

Løsningsforslag

Vi starter med å finne hypotenusen i trekanten ved hjelp av Pythagoras' setning.

De to katetene er \(6 \, \mathrm{cm}\) og \(8 \, \mathrm{cm}\).

Hypotenusen er altså \(10 \, \mathrm{cm}\).

Siden hypotenusen er en diameter i sirkelen, er diameteren \(10 \, \mathrm{cm}\), og dermed er radiusen

Arealet av en sirkel er \(A = \pi r^2\), så

Siden \(78{,}5 \, \mathrm{cm^2} > 75 \, \mathrm{cm^2}\), er arealet av sirkelen større enn \(75 \, \mathrm{cm^2}\).

Priser i tivoli-kiosk

En kiosk i et tivoli selger sukkerspinn, popkorn og softis.

Eva kjøper et sukkerspinn og en bøtte med popkorn. Hun betaler 90 kroner.
Trine kjøper en bøtte med popkorn og en softis. Hun betaler 80 kroner.
Magnus kjøper et sukkerspinn og en softis. Han betaler 70 kroner.

Fasit

Sukkerspinn koster \(\underline{\underline{40 \, \mathrm{kr}}}\), popkorn koster \(\underline{\underline{50 \, \mathrm{kr}}}\), softis koster \(\underline{\underline{30 \, \mathrm{kr}}}\).

Løsningsforslag

La \(s\) være prisen på et sukkerspinn, \(p\) prisen på en bøtte popkorn og \(o\) prisen på en softis.

Vi setter opp tre likninger basert på informasjonen i oppgaven:

Vi legger sammen alle tre likningene:

Nå bruker vi dette til å finne hver pris. Fra likning (1) vet vi at \(s + p = 90\), så:

Fra likning (2) vet vi at \(p + o = 80\), så:

Fra likning (3) vet vi at \(s + o = 70\), så:

Vi sjekker at svarene stemmer:

• Eva: \(40 + 50 = 90 \, \mathrm{kr}\) ✓
• Trine: \(50 + 30 = 80 \, \mathrm{kr}\) ✓
• Magnus: \(40 + 30 = 70 \, \mathrm{kr}\) ✓

Et sukkerspinn koster \(\underline{\underline{40 \, \mathrm{kr}}}\), en bøtte popkorn koster \(\underline{\underline{50 \, \mathrm{kr}}}\) og en softis koster \(\underline{\underline{30 \, \mathrm{kr}}}\).

Kaja sitt serielån

Kaja tar opp et serielån på 400 000 kroner.

• Hun skal betale ned lånet over 8 år, med én termin per år.
• Første innbetaling er om 1 år.
• Renten er \(5{,}0\ \%\) per år, og lånet er gebyrfritt.

Fasit

a) Avdraget er \(\underline{\underline{50\ 000 \, \mathrm{kr}}}\) per termin.
b) Terminbeløp 1: \(\underline{\underline{70\ 000 \, \mathrm{kr}}}\), terminbeløp 2: \(\underline{\underline{67\ 500 \, \mathrm{kr}}}\)
c) Rentene i 3. termin hadde vært \(\underline{\underline{12\ 000 \, \mathrm{kr}}}\)

Løsningsforslag

a

I et serielån er avdraget det samme i alle terminer. Vi fordeler lånet likt på alle terminer:

Avdraget er 50 000 kr per termin.

b

Terminbeløpet er summen av avdrag og renter. Rentene regnes av restgjelden (det som gjenstår av lånet) ved starten av terminen.

Termin 1:

Restgjelden i starten er 400 000 kr.

Termin 2:

Etter første termin er restgjelden redusert med ett avdrag:

c

Dersom nedbetalingstiden hadde vært 5 år, ville avdraget blitt:

Etter to terminer ville restgjelden vært:

Rentene i tredje termin hadde da blitt:

Kaja hadde måttet betale 12 000 kr i renter i tredje termin.

Johanns spareplan

Johann har arvet penger. Han har en plan og har laget programmet nedenfor.

123456789101112konto = 1500000
uttak = 120000
vf = 1.056
år = 0

while konto >= 120000:
	konto = konto * vf - uttak
	år = år + 1

print("Resultat:")
print(år)
print(konto)

Resultat:
22
11183.702579092205

Fasit

Programmet simulerer at Johann tar ut \(120\,000 \, \mathrm{kr}\) per år fra kontoen, med \(5{,}6\,\%\) rente. Etter \(\mathbf{22}\) år har han tatt ut siste gang og da er det ca. \(\mathbf{11\,184} \, \mathrm{kr}\) igjen på kontoen.

Løsningsforslag

Programmet simulerer Johann sin spareplan steg for steg. Vi leser av variablene:

• konto = 1500000 — Johann starter med \(1\,500\,000 \, \mathrm{kr}\) på konto
• uttak = 120000 — han tar ut \(120\,000 \, \mathrm{kr}\) hvert år
• vf = 1.056 — kontoen har \(5{,}6\,\%\) rente per år (vekstfaktor \(1{,}056\))

Hver runde i løkken beregner ny kontosaldo etter ett år:

Det vil si: kontoen vokser med rente, og deretter tas det ut \(120\,000 \, \mathrm{kr}\).

Løkken kjører så lenge konto >= 120000, altså så lenge det er nok penger til å ta ut \(120\,000 \, \mathrm{kr}\).

Hva forteller de to verdiene som skrives ut?

• 22 — Johann kan ta ut \(120\,000 \, \mathrm{kr}\) i 22 år før pengene er nesten oppbrukt
• 11183.70... — Etter det 22. uttaket er det ca. \(11\,184 \, \mathrm{kr}\) igjen på kontoen

Svarsetning: Programmet viser at Johann kan ta ut \(120\,000 \, \mathrm{kr}\) per år i \(\underline{\underline{22 \text{ år}}}\). Etter det 22. uttaket har han ca. \(\underline{\underline{11\,184 \, \mathrm{kr}}}\) igjen på kontoen.

Eksponentiell vekst nettbutikk

Alex lager hårspenner og annen hodepynt. I februar 2025 åpnet han en liten nettbutikk. Tabellen nedenfor viser omsetningen de første fem månedene etter at nettbutikken åpnet.

Alex har som mål å omsette for 20 000 kroner per måned.

Fasit

a) \(f(x)=1267 \cdot 1{,}124^{x}\)
b) 12,4 %
c) I januar 2027 (ca. 23,5 måneder etter februar 2025)
d) 46,4 %

Løsningsforslag

a

Jeg la inn dataene i GeoGebra og brukte regresjon med en eksponentiell modell

Modellen \(\underline{\underline{f(x) = 1271 \cdot 1{,}124^{x}}}\) der \(x\) er antall måneder etter februar 2025 passer godt for Alex' omsetning.

b

Vekstfaktoren \(b = 1{,}124\) tilsvarer \(112{,}4 \,\%\). Siden utgangspunktet vårt er 100 %, så blir økningen 12,4 %.

Omsetningen øker med omtrent \(\underline{\underline{12{,}4\,\%}}\) per måned ifølge modellen.

c

Vi kan enten løse likningen \(f(x)=20000\) i CAS i GeoGebra, eller så kan vi finne skjæringen med linjen \(y=20000\) slik jeg har gjort i figur 1, se punkt \(A\).

Alex kommer til å nå målet etter omtrent \(\underline{\underline{23{,}5}}\) måneder, det vil si i \(\underline{\underline{\text{januar 2027}}}\) ifølge modellen.

d

Vi skal finne hvor mange prosent omsetningen må øke med per måned etter juni 2025 for å nå målet i desember 2025.

Framgangsmåte:

• I juni (måned 4) er omsetningen: \(2032\) kr
• Fra juni til desember er det 6 måneder
• Vi vil nå 20 000 kr i desember

Vi kaller vekstfaktoren til økningen \(x\) og setter opp likningen

Denne vekstfaktoren tilsvarer 46,4 % økning.

Omsetningen må øke med omtrent \(\underline{\underline{46{,}4\,\%}}\) per måned etter juni 2025 for at Alex skal nå målet i løpet av desember 2025.

Befolkningsstatistikk tettsteder

Tabellen nedenfor viser innbyggertallet i de ti største tettstedene i Norge i 2024.

Kine og Håkon diskuterer hvilket sentralmål som er best å bruke for å beskrive datamaterialet.

Håkon mener det er best å bruke gjennomsnittet. Kine mener det er best å bruke medianen.

Gjennomsnittet, medianen og standardavviket for de ti største tettstedene i Danmark er gitt i tabellen nedenfor.

Fasit

a) Median: 123 110, Gjennomsnitt: 232 993, Standardavvik: 308 179, Variasjonsbredde: 1 042 377
b) Medianen er bedre fordi Oslo er en ekstremverdi som trekker gjennomsnittet kraftig opp.
c) Danmark har større spredning i innbyggertall (større standardavvik). Medianen er omtrent lik i Norge og Danmark.

Løsningsforslag

a

Vi skal beregne median, gjennomsnitt, standardavvik og variasjonsbredde for innbyggertallet. Vi bruker regnearket i GeoGebra.

Variasjonsbredde:

Resultater:

• Median: \(\underline{\underline{123\,110}}\)
• Gjennomsnitt: \(\underline{\underline{232\,993}}\)
• Standardavvik: \(\underline{\underline{297\,326}}\)
• Variasjonsbredde: \(\underline{\underline{1\,042\,377}}\)

b

Vi ser at gjennomsnittet er nesten dobbelt så stort som medianen. Dette skyldes at Oslo (1 098 061) er en ekstremverdi som trekker gjennomsnittet kraftig opp.

Når vi har ekstremverdier i datasettet, er medianen et bedre sentralmål fordi den ikke påvirkes like mye av ekstreme verdier. Medianen viser den «midterste» verdien og gir et mer representativt bilde av et typisk stort tettsted i Norge.

Jeg er mest enig med Kine. Medianen er best å bruke fordi Oslo er en ekstremverdi som gjør gjennomsnittet misvisende. Medianen på 123 110 gir et mer representativt bilde av størrelsen på de norske tettstedene.

c

Vi skal sammenligne folketallet i de danske og norske tettstedene.

Sammenligning:

Observasjoner:

1. Gjennomsnittene er ganske like (Danmark litt høyere)
2. Medianen i Danmark er mye lavere enn i Norge (67 832 vs 123 110)
3. Standardavviket i Danmark er mye høyere (388 000 vs 297 326)

Tolkning:

Det høye standardavviket og den lave medianen i Danmark tyder på at København må være ekstremt mye større enn de andre danske tettstedene. I Norge er spredningen mindre - selv om Oslo er størst, er forskjellen til de andre byene ikke like dramatisk.

Danmark har en hovedstad (København) som dominerer mye mer enn Oslo gjør i Norge. De fleste danske tettstedene er relativt små (median 67 832), men København er så stor at den trekker gjennomsnittet opp og gir et svært høyt standardavvik. Norge har en jevnere fordeling av innbyggere mellom de største tettstedene.

Internettbruk i aldersgrupper

Tabellen nedenfor viser hvor mange minutter nordmenn i ulike aldersgrupper brukte på internett en gjennomsnittsdag i årene 2020 til 2024.

Tenk deg at du skal presentere funn fra dette datamaterialet for klassen din.

Fasit

Se løsningsforslaget for eksempler på beregninger og diagrammer.

Løsningsforslag

Jeg skal lage en presentasjon med beregninger, diagrammer og kommentarer om nordmenns internettbruk.

Beregninger og funn:

Funn 1: Ungdom bruker mest tid på internett, og det øker mest for 16-24 år

La meg beregne gjennomsnittlig tid per aldersgruppe og økningen fra 2020 til 2024:

Kommentar: Aldersgruppen 16-24 år bruker mest tid på internett daglig (440 minutter = 7 timer og 20 minutter i 2024). Den største prosentvise økningen ser vi hos de eldste (65-79 år) som mer enn doblet sin internettbruk, men de bruker fortsatt minst tid totalt.

Funn 2: Alle aldersgrupper øker bruken, men mest markant etter 2021

La meg se på den årlige utviklingen:

Gjennomsnittlig tid på nett per dag for alle aldersgrupper:

• 2020: 196 minutter (3 timer 16 min)
• 2021: 213 minutter (3 timer 33 min)
• 2022: 259 minutter (4 timer 19 min) - STORT HOPP
• 2023: 260 minutter (4 timer 20 min)
• 2024: 282 minutter (4 timer 42 min)

Kommentar: Det er et markant hopp i internettbruken fra 2021 til 2022 (46 minutters økning). Dette kan muligens henge sammen med endrede vaner etter pandemien. Fra 2022 fortsetter bruken å øke, men i et roligere tempo.

Oppsummering av to interessante funn:

1. Unge voksne (16-24 år) er mest aktive på nett: De bruker i snitt over 7 timer daglig på internett i 2024, nesten dobbelt så mye som aldersgruppen 45-64 år. Den absolutte økningen (122 minutter) er også størst for denne gruppen.

2. Eldre gjør et digitaliseringshopp: Selv om 65-79-åringer fortsatt bruker minst tid på nett totalt, har de hatt den største prosentvise veksten (112% fra 2020 til 2024). Dette viser at også eldre blir stadig mer digitale, selv om de startet på et lavere nivå.

Investeringer og avkastning

I januar 2020 hadde Fatima, Adrian og Vegard 100 000 kroner hver.

Fatima plasserte pengene sine i et aksjefond. I januar 2025 hadde verdien steget med 36 %.

Adrian satte pengene sine inn på en sparekonto med en årlig rente på 5,7 %.

Vegard investerte pengene sine i ulike aksjer hvert år.

• I 2020 steg verdien av aksjene med 20 %
• I 2021 falt verdien med 11 %
• I 2022 falt verdien med 10 %
• I 2023 steg verdien med 23 %
• I 2024 steg verdien med 17 %

Fasit

Fatima: 136 000 kr
Adrian: 131 940 kr
Vegard: 138 326 kr

Løsningsforslag

Vi skal beregne hvor mye penger Fatima, Adrian og Vegard har ved starten av 2025.

Beregninger:

Fatima - Aksjefond med 36% vekst over 5 år

Adrian - Sparekonto med 5,7% årlig rente

Vegard - Ulike aksjer med årlige endringer

Vi må regne år for år:

Alternativ utregning i ett steg:

Oversikt ved starten av 2025:

Vegard har mest penger til tross for at han hadde to år med tap (2021 og 2022). De gode årene (2020, 2023 og 2024) veide opp for tapene. Adrian tjente minst fordi sparekontoen ga lavest avkastning over tid.

Gjennomsnittsalder i Åseral

Tabellen nedenfor viser aldersfordelingen i Åseral kommune i 2024.

Fasit

a) Vi må anta at alle i hver aldersgruppe har alderen som er midt i intervallet.
b) 42,4 år
c) ca. 51 %

Løsningsforslag

a

Vi må anta jevn fordeling av aldre innenfor hvert intervall. Dermed blir midtpunktet en god tilnærmingsverdi for av gjennomsnittsalderen i gruppen.

b

Vi bruker midtpunktet i hvert intervall:

Gjennomsnittsalderen i Åseral kommune var \(\underline{\underline{42{,}4}}\) år i 2024.

c

Gjennomsnittsalderen er 42,4 år. Vi må finne hvor mange som var eldre enn dette.

Intervallene som er helt over 42,4 år:

• \([50, 67\rangle\): 237 personer
• \([67, 80\rangle\): 103 personer
• \([80, 90\rangle\): 33 personer
• \([90, 100\rangle\): 15 personer

Sum: \(237 + 103 + 33 + 15 = 388\) personer

Men vi må også inkludere noen fra intervallet \([18, 50\rangle\) siden gjennomsnittsalderen (42,4 år) ligger i dette intervallet.

Hvis vi antar jevn fordeling i intervallet \([18, 50\rangle\):

• Intervallet går fra 18 til 50 år (32 år bredt)
• Vi vil ha de fra 42,4 til 50 år (7,6 år)
• Andelen: \(\frac{7{,}6}{32} \approx 0{,}238\)
• Antall personer: \(347 \cdot 0{,}238 \approx 83\) personer

Totalt antall over gjennomsnittet: \(388 + 83 = 471\)

Prosentandel:

Omtrent \(\underline{\underline{51\,\%}}\) av befolkningen i Åseral kommune var eldre enn gjennomsnittsalderen i 2024.

Grus på sti og kjeglehaug

Eva og Per Ivar skal legge grus på en sti fra parkeringsplassen og opp til hytta.

Stien er 25 m lang og 60 cm bred. De vil legge et 75 mm tykt lag med grus på stien.

Når de kommer til hytta, ligger grusen de har bestilt, i en kjegleformet haug på parkeringsplassen. Kjeglen har en diameter på \(2{,}5 \mathrm{~m}\) og er \(1{,}0 \mathrm{~m}\) høy.

Fasit

a) \(\underline{\underline{V_{\text{sti}} = 1{,}125 \, \mathrm{m}^3}}\)
b) Kjeglen har volum \(\approx 1{,}64 \, \mathrm{m}^3 > 1{,}125 \, \mathrm{m}^3\), så de har fått levert nok grus.

Løsningsforslag

a

Vi bruker formelen for volum av et rektangulært prisme (rettvinket firkantet søyle):

Stien er 25 m lang, 60 cm = \(0{,}60 \, \mathrm{m}\) bred, og gruset skal være 75 mm = \(0{,}075 \, \mathrm{m}\) tykt.

De må bestille \(\underline{\underline{1{,}125 \, \mathrm{m}^3}}\) grus.

b

Grusen er levert som en kjegleformet haug. Vi beregner volumet av kjeglen og sammenligner med behovet fra oppgave a.

Kjeglen har diameter \(d = 2{,}5 \, \mathrm{m}\), altså radius \(r = 1{,}25 \, \mathrm{m}\), og høyde \(h = 1{,}0 \, \mathrm{m}\).

Formelen for volumet av en kjegle er:

Vi setter inn verdiene:

Vi sammenligner:

Kjeglen inneholder mer grus enn det som trengs til stien, så de har fått levert nok grus.