R1 eksamen V2023

Oversikt over eksamensoppgavene

Del 1 — 1 time — uten hjelpemidler

№	Navn	Temaer	LF
1-1	Derivasjon av eksponential og logaritme	derivasjon, eksponentialfunksjoner, logaritmer	✔︎
1-2	Grenseverdi når x går mot 2	grenseverdi, derivasjon, funksjoner, asymptoter	×
1-3	Vinkler og vinkelrette vektorer	vektorer, geometri	×
1-4	Optimering av rektangelareal og program	optimering, programmering, derivasjon	×

Del 2 — 4 timer — med hjelpemidler

№	Navn	Temaer	LF
2-1	Timelønn og lønnsvekst	prosent, eksponentialfunksjoner, regresjon, økonomi	×
2-2	Parallellogram og vektorer	vektorer, geometri	×
2-3	Logaritmepåstand	logaritmer	×
2-3	Har alle fjerdegradsfunksjoner ekstremalpunkt	funksjoner, funksjonsdrøfting	×
2-3	Avgjør påstander om funksjoner	funksjoner, logaritmer, derivasjon	×
2-4	Omvendt funksjon fra grafer	funksjoner, tolke grafer, omvendte funksjoner	×
2-5	Lydstyrke fra fly	formler, cas, logaritmer	×
2-6	Avstand fra punkt til linje og graf	vektorer, geometri, optimering, derivasjon	×
2-7	Gjennomsnitt med algoritme og program	programmering, gjennomsnitt, integral	×

Del 1

Oppgave 1-1

Derivasjon av eksponential og logaritme

Oppgave

Deriver funksjonen

\[f(x) = e^x + \ln x \]

Fasit

\(f'(x)=e^{x}+\frac{1}{x}\)

Løsningsforslag

Vi deriverer ledd for ledd.

\[f'(x)=e^{x}+\frac{1}{x} \]

Oppgave 1-2

Grenseverdi når x går mot 2

Bestem grenseverdien

\[\lim_{ x \to 2 } \frac{x^3-8}{x^2-4} \]

Fasit

Løsningsforslag

Ser at både teller og nevner går mot null når \(x\to 2\). Vi kan derfor bruke L'Hopitals regel.

\[\lim_{ x \to 2 } \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{ x \to 2 } \frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{ x \to 2 } \frac{3x^2}{2x}=\lim_{ x \to 2 } \frac{3x}{2}=\frac{3\cdot2}{2}=\underline{\underline{3}} \]

Oppgave 1-3

Vinkler og vinkelrette vektorer

Gitt tre punkt \(A(1, 3)\), \(B(4, 0)\) og \(C(9, 4)\).

Oppgave

Bruk vektorregning til å avgjøre om \(\angle CBA\) er mindre enn, lik eller større enn \(90°\).

Et punkt \(P\) ligger på linjen som går gjennom \(B\) og \(C\).

Oppgave

Bruk vektorregning til å bestemme koordinatene til punktet \(P\) slik at \(\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AP}\).

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 1-4

Optimering av rektangelareal og program

En elev har fått følgende oppgave:

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[f(x) = (x^2 - 9)^4, \quad x \in \langle 0, 3 \rangle \]

Et rektangel \(R\) har hjørner i \((0, 0)\), \((t, 0)\), \((t, f(t))\) og \((0, f(t))\).

Bestem den verdien av \(t\) som gjør at \(R\) har størst areal.

Figur

For å løse oppgaven har eleven laget følgende program:

12345678910def A(x):
    return x*(x**2-9)**4

t = 0
d = 0.01

while A(t) < A(t+d):
    t = t + d

print(t)

Oppgave

Forklar strategien eleven har brukt for å løse oppgaven.
Løs oppgaven eleven har fått.

Fasit

Løsningsforslag

Del 2

Oppgave 2-1

Timelønn og lønnsvekst

Tabellen nedenfor viser timelønnen til en yrkesgruppe for noen år i perioden 2008-2022.

Årstall	2008	2010	2013	2015	2019	2022
Timelønn	272,55	285,50	307,30	314,00	327,60	340,10

Oppgave

Hva har den gjennomsnittlige årlige prosentvise veksten i lønn vært i årene 2008-2022?

Oppgave

Bruk tallene i tabellen til å lage en eksponentiell funksjon \(g\) som er en modell for timelønnen til denne yrkesgruppen \(x\) år etter 2008.

Per og Amalie hadde begge en timelønn på 272,55 kroner i 2008. Per har hatt en lønnsutvikling tilsvarende tabellen i starten av oppgaven, mens Amalies lønn har steget med 2,3 prosent per år. De har begge jobbet 1700 timer per år.

Oppgave

Bestem den samlede lønnen til Amalie i årene 2008 til 2022. Bestem også den samlede lønnen til Per i disse årene.

Fagforeningen til Per krever at han i 2025 skal ha samme timelønn som Amalie. Vi går ut fra at Amalie fortsatt vil ha en lønnsvekst på 2,3 prosent per år.

Oppgave

Hvor mange prosent må lønnen til Per gå opp hvert år dersom dette kravet skal innfris?

Fasit

a) 1,59 %
b) \(g(x)=277{,}8\cdot 1{,}0155^x\)
c) Her kan ulike svar godtas. Amalies samlede lønn er omtrent 8 188 600 kr i perioden. Pers samlede lønn er omtrent 7 906 600 kr
d) Omtrent 2,19 %

Løsningsforslag

a

Timelønna har vokst med \(340{,}10-272{,}55=67{,}55\) kr i løpet av disse 14 årene. Vi kan sette opp dette uttrykket for å bestemme vekstfaktoren \(x\)

\[\begin{aligned} 272{,}55\cdot x^{14} &= 340{,}10\\ x &= \sqrt[14]{ \frac{340{,}10}{272{,}55} }\\ x &=1{,}01594 \end{aligned} \]

Den gjennomsnittlige årlige prosentvise økninga har vært 1,59 %.

b

Jeg brukte regresjon i GeoGebra og fant at en god eksponentialmodell for lønnsveksten er

\[g(x)=277{,}8\cdot 1{,}0155\]

c

Hvis man skal regne Per sin lønn riktig så må man egentlig vite lønna hvert år og summere opp årslønnene som ei rekke. Jeg bruker heller modell \(g\) som en tilnærming til Pers lønn.

For min del er det raskest å legge inn formelen =272,55*1,023^(2008-A2)*1700 i cellene til Amalie for å regne ut hennes lønn, og tilsvarende for Per.

År	Per	Amalie
2008	kr 472 260,00	kr 463 335,00
2009	kr 479 580,03	kr 473 991,71
2010	kr 487 013,52	kr 484 893,51
2011	kr 494 562,23	kr 496 046,07
2012	kr 502 227,94	kr 507 455,12
2013	kr 510 012,48	kr 519 126,59
2014	kr 517 917,67	kr 531 066,50
2015	kr 525 945,40	kr 543 281,03
2016	kr 534 097,55	kr 555 776,50
2017	kr 542 376,06	kr 568 559,36
2018	kr 550 782,89	kr 581 636,22
2019	kr 559 320,02	kr 595 013,86
2020	kr 567 989,48	kr 608 699,17
2021	kr 576 793,32	kr 622 699,25
2022	kr 585 733,62	kr 637 021,34
Sum	kr 7 906 612,22	kr 8 188 601,24

Amalies samlede lønn er omtrent 8 188 600 kr i perioden. Pers samlede lønn er omtrent 7 906 600 kr.

d

Igjen så er det enklest og raskest for meg å bruke målsøking i Excel for å løse oppgaver som dette. Jeg lager en celle med vekstfaktoren til Per og målsøker slik at lønna i 2022 skal bli lik for begge.

Vekstfaktoren ble endret til 1,02185.

Lønnen til Per må stige med omtrent 2,185 % hvert år for at de skal ha lik lønn i 2025.

Oppgave 2-2

Parallellogram og vektorer

Vi har gitt punktet \(A(3, 2)\). Vektorene \(\vec{u}\) og \(\vec{v}\) er gitt ved

\[\vec{u} = [4, 3] \quad \text{og} \quad \vec{v} = [2t, 5t] \]

Et parallellogram \(ABCD\) er bestemt ved at \(\overrightarrow{AB} = \vec{u}\) og \(\overrightarrow{AD} = \vec{v}\).

Oppgave

Bestem koordinatene til \(B\) og koordinatene til \(C\) og \(D\) uttrykt ved \(t\).
Bestem \(t\) slik at skjæringspunktet mellom diagonalene i parallellogrammet blir \(P(8, 11)\).

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 2-3

Logaritmepåstand

Nedenfor ser du tre påstander. Avgjør i hvert tilfelle om påstanden er sann eller usann. Husk å vise tydelig hvordan du argumenterer og resonnerer.

Oppgave

Hvis \(x>0\), så er \((\ln x)^4=4 \ln x\).

Neste påstand finner du her: Har alle fjerdegradsfunksjoner ekstremalpunkt
Påstand c finner du i Sannsynligheter ved lottospill

Fasit

Påstanden er feil

Løsningsforslag

Kommentar

Det er enklest å vise dette ved å tegne opp grafene til \((\ln x)^4\) og \(4 \ln x\). Da ser man at disse uttrykkene ikke er like unntatt for \(x=1\vee x=e^{\sqrt[3]{ 4 }}\). Det er også mulig å løse oppgaven ved å argumentere med tekst slik som jeg har gjort nedenfor.

\((\ln x)^4\) er det samme som \(\ln x \cdot \ln x \cdot \ln x \cdot \ln x\), og dette er ikke nødvendigvis det samme som \(4 \ln x\). Som et konkret moteksempel lar vi \(x=e\).

\[(\ln x)^4 =(\ln e)^4=1^4=1 \]

Hvis vi sjekker \(4 \ln x\) får vi

\[4 \ln x = 4 \ln e=4\cdot1=4 \]

\((\ln x)^4 \neq 4 \ln x\). Påstanden er ikke riktig.

Oppgave 2-3

Har alle fjerdegradsfunksjoner ekstremalpunkt

Nedenfor ser du tre påstander. Avgjør i hvert tilfelle om påstanden er sann eller usann. Husk å vise tydelig hvordan du argumenterer og resonnerer.

Oppgave a finner du her: Logaritmepåstand

Oppgave

Alle fjerdegradsfunksjoner må ha minst ett ekstremalpunkt.

Oppgave c finner du her: Sannsynligheter ved lottospill

Fasit

Påstanden stemmer

Løsningsforslag

En fjerdegradsfunksjon \(f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) har minst ett stasjonært dersom \(f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d\) har minst ett nullpunkt.

Tredjegradsfunksjonen \(f'\) vil alltid ha minst ett nullpunkt. \(f'\) vil oppføre seg på en av to måter

\(\lim_{ x \to \infty } f'(x) = \infty \wedge \lim_{ x \to -\infty } f'(x)=-\infty\). \(f'\) vil altså gå fra \(-\infty\) mot \(+\infty\) når \(x\) vokser.
\(\lim_{ x \to \infty } f'(x) = -\infty \wedge \lim_{ x \to -\infty } f'(x)=\infty\). \(f'\) vil altså bevege seg fra \(+\infty\) mot \(-\infty\) når \(x\) vokser.

Siden \(f'\) må krysse \(x\)-aksen så må det stasjonære punktet være enten et toppunkt eller et bunnpunkt.

En fjerdegradsfunksjon har alltid minst ett toppunkt eller bunnpunkt.

Oppgave 2-3

Avgjør påstander om funksjoner

Nedenfor ser du tre påstander. Avgjør i hvert tilfelle om påstanden er sann eller usann. Husk å vise tydelig hvordan du argumenterer og resonnerer.

Oppgave

Hvis \(x > 0\), så er \((\ln x)^4 = 4 \ln x\).
Alle fjerdegradsfunksjoner må ha minst ett ekstremalpunkt.
For at en funksjon skal ha en omvendt funksjon, må funksjonen være enten strengt voksende eller strengt avtakende.

Fasit

a) Stemmer ikke
b) Stemmer
c) Vet ikke enda

Løsningsforslag

a

\[\begin{aligned} \left( \ln x \right)^{4}&=\ln x\cdot \ln x \cdot \ln x \cdot \ln x \\ 4 \ln x &= \ln x + \ln x + \ln x + \ln x \end{aligned} \]

Det ser ikke ut til at disse er like. La oss finne et eksempel for å motbevise påstanden.

\[\begin{aligned} (\ln e)^{4}&=1^{4}=1 \\ 4 \ln e &= 4 \cdot 1 =4 \end{aligned} \]

Påstanden stemmer ikke. Vi har funnet et moteksempel.

b

En fjerdegradsfunksjon har en tredjegradsfunksjon som sin deriverte. En tredjegradsfunksjon vil alltid krysse \(x\)-aksen i minst ett punkt siden \(x^3\) gjør negative \(x\)-verdier til veldig negative \(y\)-verdier, og den gjør positive \(x\)-verdier til veldig positive \(y\)-verdier.

Siden tredjegradsfunksjonen krysser \(x\)-aksen så må den deriverte bytte fortegn minst en gang. Det betyr at en fjerdegradsfunksjon må ha minst ett ekstremalpunkt.

Påstanden stemmer.

c

Mangler løsning

Jeg husker ikke omvendte funksjoner godt nok til å svare på denne akkurat nå... :^)

Oppgave 2-4

Omvendt funksjon fra grafer

Nedenfor har vi tegnet grafene til fire funksjoner \(f\), \(g\), \(h\) og \(k\).

Grafer

Oppgave

Avgjør og begrunn i hvert tilfelle om funksjonen har en omvendt funksjon.
Bestem definisjonsmengden til den omvendte funksjonen i de tilfellene der den finnes.

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 2-5

Lydstyrke fra fly

Sammenhengen mellom lydstyrken \(L\) (målt i dB) og lydintensiteten \(I\) (målt i \(\mathrm{W} / \mathrm{m}^2\)) er gitt ved

\[L=120+10 \cdot \lg I \]

Menneskets øre har en smertegrense for lydstyrke som ligger omkring \(130 \mathrm{~dB}\).

Oppgave

Bestem lydintensiteten når lydstyrken er \(130 \mathrm{~dB}\).

Oppgave

Hvor mange prosent øker lydintensiteten dersom lydstyrken øker med \(2 \mathrm{~dB}\) ?

Dersom effekten til lyden som sendes ut fra en lydkilde er \(E\), vil lydintensiteten \(I\) på en avstand \(r\) (målt i m) fra denne lydkilden være

\[I=\frac{E}{4 \pi \cdot r^2} \]

Lydstyrken fra et fly er \(140 \mathrm{~dB}\) dersom du er \(50 \mathrm{~m}\) fra flyet.

Oppgave

Bestem den minste avstanden til dette flyet der lydstyrken er lavere enn \(130 \mathrm{~dB}\).

Fasit

a) 10 W/m²
b) 58,5 %
c) 158,12 m

Løsningsforslag

a

\[\begin{aligned} 130 &= 120 + 10 \log I\\ 10\log I&=130-120\\ \log I&=\cancelto{ 1 }{ \frac{10}{10} }\\ { 10^{\log I} }&=10^1\\ I&=10 \end{aligned} \]

Lydintensiteten er 10 W/m² når lydstyrken er 130 dB.

b

Når \(L=132\) blir

\[I=10^{\frac{132-120}{10}}=10^{1{,}2}=15{,}85 \]

Økningen i prosent er

\[\frac{15{,}85-10}{10}=0{,}585=58{,}5 \,\% \]

Når lydstyrken øker fra 130 dB til 132 dB øker lydintensiteten med 58,5 %.

c

Vi vet at \(L=140\) når \(r=50\). Jeg løser for \(E\) og finner (dette gjøres enklest i CAS)

\[\begin{aligned} L&=120+10 \log I\\ L&=120+10 \log \frac{E}{4\pi r^2}\\ 140&=120+10 \log \frac{E}{4\pi 50^2}\\ E&=1 000 000\pi \end{aligned} \]

Jeg tolker formlene slik at et fly lager lyd med effekten \(E=1\,000\,000\pi \,\text{W}\), mens lydintensiteten og lydstyrken avtar med avstanden. Vi setter opp en likning med lydstyrke lik 130 dB og finner avstanden som kreves (dette gjøres også enklest i CAS).

\[\begin{aligned} 130&=120+10 \log \frac{1000000\pi}{4\pi r^2}\\ 10&=10 \log \frac{1000000}{4r^2}\\ 1&=\log \frac{250000}{r^2}\\ 10&=\frac{250000}{r^2}\\ r^2&=\frac{250000}{10}\\ r^2&=25000\\ r&=\vert 158{,}113\vert \end{aligned} \]

Ved 158,113 m så er altså lydstyrken 130 dB. Siden vi skulle finne den minste avstanden hvor lydstyrken var lavere enn 130 dB så runder jeg opp i svaret mitt.

158,12 m fra flyet er den minste avstanden hvor lydstyrken er lavere enn 130 dB.

Oppgave 2-6

Avstand fra punkt til linje og graf

En linje \(\ell\) går gjennom punktene \(A(4, -2)\) og \(B(6, 6)\).

Oppgave

Bestem den eksakte avstanden fra punktet \(P(2, 8)\) til linjen \(\ell\).

Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[f(x) = x^2 + 2x \]

Oppgave

Bestem den eksakte verdien for den minste avstanden mellom grafen til \(f\) og linjen \(\ell\).

Fasit

Løsningsforslag

Oppgave 2-7

Gjennomsnitt med algoritme og program

I denne oppgaven skal du bruke algoritmen nedenfor til å finne en tilnærmet verdi for gjennomsnittet til en funksjon \(f\) i et intervall \([a, b]\).

Algoritme

Velg \(N + 1\) tall jevnt fordelt i intervallet \([a, b]\).

La \(a = x_0 < x_1 < \cdots < x_N = b\) være disse tallene.

Avstanden mellom et av tallene og det neste er da \(\dfrac{b - a}{N}\).

Regn ut gjennomsnittet \(g\) av tallene \(f(x_0), f(x_1), \cdots, f(x_N)\).

Da er \(g\) en god tilnærmet verdi for gjennomsnittet til \(f\) i \([a, b]\).

Denne tilnærmingen blir bedre dess større \(N\) er.

Oppgave

Lag et program som du kan bruke til å bestemme gjennomsnittet til funksjonen \(f\) gitt ved

\[f(x) = \sqrt{x} \]

i intervallet \([0, 1]\). Hva blir dette gjennomsnittet?